CC BY
31
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 20)14-, № 1 (1), с. 229-238
УДК 534.014
ДИНАМИКА ТРЕХПОРШНЕВОГО ВИБРОУДАРНОГО МЕХАНИЗМА С КРИВОШИПНО-ШАТУННЫМ ВОЗБУДИТЕЛЕМ КОЛЕБАНИЙ
© 2014 г. В.С. Метрикин, И.В. Никифорова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского tsii@list.ru
Поступила в редакцию 24.10.2013
Приведены результаты численно-аналитического исследования динамики трехпоршневого вибро-ударного механизма с кривошипно-шатунным возбудителем колебаний при учете массы поршней. В пространстве параметров математической модели механизма приведены области устойчивости периодических режимов движения, бифуркационные диаграммы, позволившие указать значения параметров, при которых существуют движения с произвольной сложностью включая стохастические, выявлены наиболее чувствительные параметры, влияющие на работу механизма. Проведен сравнительный анализ областей существования периодических и стохастических режимов движения механизма для различного числа поршней ударников.
Ключевые слова: метод точечных отображений, устойчивость, бифуркационная диаграмма, коэффициент восстановления скорости при ударе.
Ниже исследуется динамика виброударного механизма, схема которого отличается от рассмотренной в работе [1] наличием в конструкции механизма трех поршней-ударников, позволяющих, как отмечено в изобретении [2], более рационально и эффективно использовать его в качестве вибротрамбовки грунта и другого материала (бетона, песка и т.п.). Математическая модель такого механизма представляет собой сильно нелинейную неавтономную динамическую систему.
1. Уравнения движения
Схема рассматриваемого механизма, представленная на рис. 1, состоит из корпуса 1, в котором в подшипниках установлен вал 2 с маховиком 3 и кривошипами - основным 4, первым 5 и вторым 6. К кривошипам шарнирно прикреплены шатуны 7. К ним шарнирно крепятся поршни-ударники - основной 8 и дополнительные первый 9 и второй 10. Под поршнями-ударниками расположены наковальни 11, 12 и 13 основного, первого и второго ползунов-ударников соответственно. Корпус 1 соединен со стойками 14, которые жестко скреплены с шаботом 15.
Вращательное движение вала с помощью кривошипно-шатунного механизма преобразуется в возвратно-поступательное движение корпуса относительно шабота. При этом поршни-ударники попеременно наносят удары по соответствующим наковальням, и создаваемое та-
ким образом ударно-вибрационное воздействие передается через шабот уплотняемому материалу.
Обозначая (рис. 2) через х координату центра масс М корпуса, через хрі (і = 1,3) - координаты масс ті поршней-ударников и составляя выражения для кинетической V и потенциальной Пэнергий
П = Щх + g ^ тхр1,
/=1
представим функцию Лагранжа в виде
1 1 3 3
Ь = -Мх2 + -^ щхр -Mgx - g^тхР1.
2 2 1=1 1=1
Воспользовавшись уравнениями Лагранжа второго рода и связью между координатами корпуса и поршней-ударников (см. рис. 2б)
хр1 = х- si + Г С08(юt - ф,)-^11 - Г-8т2(и^-ф,), а также учитывая соотношение г «I и полагая I 1 «I, I = 1,3 , преобразуем функцию Лагранжа к виду
Ь = —Мх2 + — т1 (х- г,а 8т(ю/-ф,))2 -
2 2 ,=1 3
-Mgx - Г т^(х - s, + г С08(аt - ф,) -1).
,=1
Тогда уравнения движения механизма можно записать следующим образом:
d2 х dт
2 А cos(т-Ф) + р = 0 (х > f (х)), (1)
-х
dх
= - Я
dх
dх
+ (1 + Я)
-/
-/ (х) dх
(2)
(х =Т(х), х - —< 0), dх
f (х) = тах( fl(х), f2(х), fз(х)),
./і (х) = Єі -ЦУіс^(х-фг ), і = 1 2, 3
где
А = л/ а2 + Ь2,
*ёФ = т, фі = 0, Ї1 = 1, Є 2 = о ь
, х = ЮҐ , фг - сдвиг по
фазе между эксцентриками, з, - расстояние от точки крепления /-го шатуна до основания I -го поршня-ударника, г\ - длины эксцентриков, 11 -
длины шатунов, а = 2лу - циклическая частота вращения маховика, V - число оборотов в единицу времени,
Ц = т, У і = , Р =
Є =
т.
м + Х
ё
ю2/ ’
(і = 1,3).
т.
Отметим, что дифференциальное уравнение (1) описывает свободное движение механизма, а алгебраическое соотношение (2) (гипотеза Ньютона) - ударное взаимодействие одного из поршней с наковальней.
2. Описание структуры фазового пространства
Фазовое пространство ¥ системы (1), (2) трехмерное в координатах х, х, х , усечено по х и цилиндрично по х . Поверхность S( х = f (х)) (рис. 3), образованная пересечением трех поверхностей х = (х), , = 1, 2, 3, делит фазовое
пространство на два подпространства Ч>(х > /(х), х, х) и Т2(х < /(х), х, х). Все фазовые траектории располагаются в подпространстве Т1, то есть либо на поверхности S, либо выше ее. Качественный вид фазовых траекторий приведен на рис. 3.
В случае ударных движений системы при R ф 0 изображающая точка движется в фазовом пространстве Т1 следующим образом: перемещаясь в области G(х > /(х)), она попадает на поверхность S в некоторую точку М0(х0, х0 = /(х0),х0), затем мгновенно перемещается по поверхности S в некоторую точку
м 0
1Г
х0, х0 = /(хо), ^ =-Ях0 + (1 + Я)-Т-
dх
х0 у
и, покинув S, движется согласно уравнениям (1) в G до тех пор, пока вновь не попадет на поверхность S в некоторую точку М 1(х1, х1 = = / (х1), х1) Таким образом, изображающая точка каждый раз будет попадать на поверхность S.
В случае абсолютно неупругого удара (Я = 0) изображающая точка, попав из области G на поверхность S в точку М0, мгновенно перемещается в точку
М'
х0 у
и затем, если ускорение
-х2
меньше -р
х=х0 2
уходит в область G , если же
-х2
больше
-р , то изображающая точка движется по поверхности S до момента х = хв пока либо вы> -р , либо до
полняется соотношение
момента удара следующего поршня. Описанный выше класс траекторий соответствует длительной остановке одного из поршней либо последовательному «топтанию» поршней. Следу-
+
а
і=1
і=1
х=х
0
/
Х=Т
в
Рис. 2
ет отметить, что указанный на рис. 3 вид поверхности 8 может иметь место лишь тогда, когда имеется пересечение поверхностей У1(т), У2(т) и У2(т), У3(т). Условия пересечения этих поверхностей можно записать в виде
£12 ^2(У2 + 1 - 2У2С08 Ф2),
^ ^ Ц2(у2 + у2 - 2у2уз Мфз - ф2)).
(3)
ц
ц
2
- sin2 ф2 + cos ф2 - у3 cos(ф3 - ф2)
Ц
у з >-
22 4 sin Ф2
3. Точечные отображения
На рис. 4 при у3 = 3,ф3 = І.І и различных значениях угла ф2 = 0.3 (верхняя поверхность), 0.У и І (нижняя поверхность) приведен вид поверхностей s 2
-Jr = (у2 - cosф2)2 + sin2 ф2,
+ (У3 Э1п(Ф3 Ф2 ))2, выделяющих область значений параметров О согласно условиям (3), при которых возможны режимы движения механизма с поочередным соударением каждого поршня-ударника с наковальней. Эти значения, несомненно, послужат достаточно удобному настрою механизма на требуемый режим движения. Из этого рисунка следует, что размеры области, в которой возможны движения механизма с поочередными ударами каждым из трех поршней-ударников, с увеличением параметра ф2 уменьшаются. Следует отметить, что вертикальная поверхность слабо меняет свое положение при изменении угла ф2. Поэтому увеличение области О возможно при изменении параметров у3, ф3. Так, если С08(ф3 -ф2) > 0, размеры области О будут увеличиваться с ростом у 3, ф3 при выполнении неравенства
С°э ф2 + 7 М Ц)2
Ш^фз Ф2)
Из описания структуры фазового пространства и поведения фазовых траекторий в нем очевидно, что исследование динамики рассматриваемого механизма можно провести с помощью изучения свойств точечного преобразования [3] поверхности S в себя.
Пусть
М0(т = V х = f (^оХ Х = Х0) е S1(х = f СОХ
М 1^ = ^ х = х = Х1) е S2( х =
м 2(Т = Т 2, х = f3(T 2), х = х2) е S3( х = ЛСОХ
м 3(Т=Т3, х = /1 (Т3), х = хз) е S1( х = f1(T))
- четыре последовательные точки, принадлежащие поверхности х = / (т) . Тогда преобразование
T = T3T2 T1 точек М 0 ——— М1 ——— М 2 ——— М 3 можно записать в виде
- цу2 cos(т1 - ф2) = Ат1 (х0 - рАт1 / 2 -
- Asin(T0 - Ф)) - A(cos(t - Ф) -
T \ - cos(т0 - Ф)) + s1 - ^cost0 ; (4)
х1 = R( рАт1 - х0 + A(sin(T - Ф) -
Г sin(T0 - Ф))) + (1 + R)MY2sin(T1 - ф2 ), (5)
s3 - цу3 cos(t2 - ф3) = Ат1 (х1 - рАт2 /2 -
- A sin(т1 - Ф)) - A(cos(t2 - Ф) -
T2 I - COs(T1 - Ф)) - цу2 COs(T1 - ф2); (6)
х2 = R( рАт1 - х0 + A(sin(T1 - Ф) -
- sin(Т0 - Ф))) + (1 + R)^2 sin(T1 - Ф2 X (7)
s1 - ц cos т3 = Ат3 (х2 - рАт3 /2 -
- A sin(T2 - Ф)) - A(cos(t3 - Ф) -
T3■< - cos(т2 - Ф)) + s3 - цу3 cos(t2 - ф3); (8)
х3 = R(рАт3 - х2 + A(sin(T3 - Ф) -
- sin(т2 - Ф))) + (1 + R)ц sin т3. (9)
В связи с усеченностью фазового пространства по фазовой координате х точечное преоб-
2
2
£
+
разование Т будет определено, если выполнены следующие неравенства:
81 - ЦСОБх0 > (-цу2С°б(х0 - ф2),
83 -цу3С°5(х0 -ф3));
- цу 2С0Б(х1 - ф2) > (81 - ЦС0Бх1,
8 3 -цу 3С08(х1 -ф 3));
83 - цу3С0$(х2 - ф3) > (8, - цС0Бх2 > (10)
>-цу2С0$(х2 -ф2));
81 - цС0Бх3 > (-цу2С0Б(х3 - ф2) >
>83 - цу3С08(х3 -ф3)); х( х) >;[ (х), где х, < х < х,+1, г = 0, 1, 2.
Первые три неравенства системы (10) означают, что в моменты времени х = х,, \ = 0, 1, 2, изображающая точка принадлежит поверхности 8(х = f (х), , = 1,2,3) (эти условия соответствуют ударному взаимодействию ^-го поршня с шаботом), четвертое неравенство означает, что в момент времени х = х3 изображающая точка вновь принадлежит поверхности 8(х = f1 (х)) (это условие соответствует ударному взаимодействию первого поршня с шаботом). Пятое неравенство отражает очевидный факт принадлежности изображающей точки подпространству х > f (х) (свободное движение механизма).
4. Условия существования и устойчивости неподвижных точек точечного отображения Т, соответствующих периодическим режимам движения с поочередным ударом каждого поршня о шабот
4.1. Уравнения для нахождения координат неподвижных точек точечного преобразования Т, соответствующих периодическим движениям с поочередными ударом каждым поршнем-ударником, получаются путем добавления к (4) -(9) условий периодичности [3]
х3 = х0 = х, х3 = х0 + 2лп (п = 1, 2, ...). (11)
Разрешая систему (4)-(9), (11) относительно х, х„ х2, получим их зависимости от времени х = х, \ = 0, 1, 2, и параметров в виде 1
х =
{Яр (х 0 -х 2 + 2^п) - Я р (х 2 -х1) +
+ Яр (х1 - х0) - Я ^(б1п(х1 - Ф) - 8ш( х0 - Ф)) +
+ Я2 ДБт(х 2 - Ф) - бш(х1 - Ф)) - (12)
-ЯЛ(б1п(х0 - Ф) - бш(х2 - Ф)) +
+ ц(1 + Я)(Я2у 281П( *1 -ф2 ) -
-Яу3б1п(х2 -ф3) + Бтх„)};
1
х, =
1 1 + Я3
{Яр(х1 - х0) - Я р(х0 - х2 + 2^п) +
+ Я р(х2 - х1) - ЯДбш^ - Ф) - б1п(х0 - Ф)) -
- Я3 Дбш(х 2 - Ф) - б1п(х1 - Ф)) +
+ Я2Дбш(х0 - Ф) - Бт(х2 - Ф)) -
- ц(1 + Я)(Ябшх0 - Я у 3Бш(х2 - ф3) -
-у 2§1п(х1 -ф 2 ))};
1
(13)
{Яр(х 2 -х1) - Я р(х1 -х 0 ) +
+ Я р(х 0 - х 2 + 2яп) +
+ Я2ДБт(х1 -Ф) - бш(х0 -Ф)) - (14)
- ЯЛ(Бт(х2 - Ф)б1п(х1 - Ф)) -- Я3 ДБт(х0 - Ф) - бш(х2 - Ф)) +
+ ц(1 + Я)(Я2 Бт х0 - Яу 2 бш(х1 - ф2) +
+ у3 б1п(х2 -ф3))}.
х2 =
Подставляя (12), (13), (14) в (4), (6), (8) соответственно и производя ряд преобразований, получим систему трех трансцендентных уравнений для нахождения времен х0, х1, х2 следующего вида:
х - х
^(Ъ х2 ) = / р30 {RP(хo -х2 + 2лп) -І + R
23
- R p(х2 -х1) + R p(X1 -х0) -
- R3 A(sin(х1 -Ф) - sin(х0-Ф)) + + R2A^in^2 - Ф) - sin(х1 - Ф)) -
- RA(sin(х0 - Ф) - sin^2 - Ф)) + + ц(1 + R)(R2у2 sin(х1 -ф2) -
- RуЗsin(х2 -ф3) + sin х0) -
p(l + R3), 2 '
х (х1 - х0) - A(1 + R3)sln(х0 - Ф)} -
- A(cos(х1 - Ф) - cos^,, - Ф)) +
+ є1 - цcos х0 + цу2 cos(х1 - ф2) = 0,
х - х
F2 (х1, х 2 ) =-Т^г№(х1 -х0) -
І + R
- R2p(х0 -х2 + 2%n) + R3p(х2 -х1) - (16)
- RA (sin^ - Ф) - sin^ - Ф)) -
- R3A^in^ - Ф) - sin^ - Ф)) +
+ R2A^in^,, -Ф) - sin^ -Ф)) -
- ц(І + R)(R sinх0 -R2у3 sin(х2 -ф3) -
-У2 ^п(хі -ф2)) - p
(І + R3)^ -хі)
2
-A(1 + R3)sin(х1 -Ф)}-A(cos(х2 -Ф)-
- cos(х1 - Ф)) - цу2 cos(х1 - ф2) - є3 +
+ цу3 cos(х2 -ф3) = 0,
СҐ Ч х0 -х2 + 2%n
F3(X1, х2) =----7—^3-------{Rp (х 2 -х1) -
І + R
-R2p^1 -х0) + R3p(х0 -х2 + 2nn) +
+ R2A(sin(х1 - Ф) - sin^,, - Ф)) -
- RA(sin(х2 - Ф) - sin^ - Ф)) -
- R 3 A(sin( х0-Ф) - sin(х2-Ф)) + (І7) + ц(1 + R)(R2 sin х0 - Rу2sin(х1 -ф2) +
+ У3 sin(х2 -Фз)) -
p(i + R3) 2
(х0 - х2 + 2nn) -
(19)
(ІЗ)
- A(1 + R ) sin(T2 - Ф)} - A(cos(T0 - Ф) -- cos(T2 -Ф)) + s3 - цу3cos(T2 -ф3) --s1 + ц cos т0 = 0.
Для того чтобы найти решения системы (15)-(17), используем следующий способ. Так как для времен т выполняются очевидные соотношения
х+1 > х., х. е (х0; х0 + 2тсп], х0 е [0;2тсп], (18)
то, фиксируя, например, х0 е [0;2лп], можно получить из (15)—(17) систему двух нелинейных уравнений относительно х1, х2 (например, из
(15), (16)) .
Для решения полученной таким образом системы двух уравнений применим следующий метод. А именно: пусть задана система двух нелинейных уравнений
gх2) = 0 х2) = 0,
решения которой в некоторой ограниченной области G для переменных необходимо найти. Для этого сформируем, например из первого уравнения системы (19), дифференциальное уравнение первого порядка
*2 . (20)
с1х1 дg / Эх 2
Решение этого уравнения определяет однопараметрическое семейство кривых на плоскости (х1, х2), и только некоторая из них удовлетворяет первому уравнению системы (19). Для того чтобы зацепиться за нужную кривую, определяемую первым уравнением системы, находим
* * для фиксированного х10 значение х20, такое,
чтобы g(х*0, х*20)=0. После этого, решая дифференциальное уравнение (20) каким-либо приближенным методом (допустим, методом Рун-ге-Кутта) с начальными условиями ** х10 = х10, х20 = х20 и следя за изменением знака ^(х1,х2)в точках решения уравнения (20), можно определить с некоторой точностью корни системы (19) хь.,х2. в области (18). Вычисляя значения функции F3(х0, хь., х2. ) и сравнивая их с малым 8,
либо получаем решение системы (15)—(17), либо нет. Если выполняется второй случай, то присваиваем х0 новое значение (х0 +Дх0)е е [0; 2т] и повторяем процесс поиска корней (19) заново. Если же выполняется первый случай, то получаем тройку чисел х0., хь., х2., которые удовлетворяют системе уравнений (15)—(17).
4.2. Устойчивость в малом неподвижной точки определяется, как известно [3], величиной корней характеристического уравнения Х(г) = 0 , которое в нашем случае имеет вид
%(г) = Аг2 + Вг + С = 0. (21)
Коэффициенты А, В, С подсчитываются после линеаризации уравнений точечного преобразования (4)-(9) в окрестности найденных в п. 4.1 не-
0,6- / It \
ом ... j!| I;; Я I ж
, Nil ■ i 11 !|1 'ifil! i I
0,5- ( D(l, 1.1) ) 1
0,4- \ У i
Nc S "•'"Nil
ОД- Л “аз ,А S—:—
о» г/
Г А
0,2- V
0,1- Y f/ /
а) б)
Рис. 5
подвижных точек т 0i, т1. , т 2i. В связи с громоздкостью выражений A, B, C они не приводятся.
Граница области существования и устойчивости неподвижных точек точечного отображения Т определяется, как известно [3], поверхностями N+, N_, N, уравнения которых получаются подстановкой в (21) z = 1, z = -1, z = exp(±/ф), 0 < ф < 2л соответственно. Уравнения этих границ здесь также не приводятся из-за их громоздкости.
5. Результаты численных экспериментов
В связи с тем, что исследование всех периодических и непериодических режимов движения представляет собой достаточно сложную и в настоящее время невыполнимую задачу, дальнейшее исследование динамики трехпоршневого механизма проведено с помощью численных расчетов с использованием программного комплекса, разработанного в среде Borland C++ Builder 6.
Обозначим через D(m1, m2, m3), где mt -число ударов i-м поршнем о шабот, область существования и устойчивости периодических движений в пространстве параметров:
5.1. На рис. 5а в плоскости (р, R) представлена область D( 1,1,1) (заштрихованная область) для следующих значений параметров: ц = 0.12, е1 = 0.018, в3 = 0.02, у2 = 3, у3 = 3, ф2 = 0.2, ф3 = 1.1,
X1 = 0.1, X2 = 0.2, Х3 = 0.3 и бифуркационная граница Nc [3] существования точечного отображения Т. В D(m1, m2, m3), где m1, m2 и m3 не равны одновременно 1, для параметров, выбранных из этой области, существуют сложные, включая стохастические, режимы движения механизма. На рис. 5б для аналогичного набора параметров
ц = 0.12, 81 = 0.018, у2 = 3, ф2 = 0.2, Х1 = 0.2, X2 = 0.3 приведена область существования и устойчивости периодического режима движения с поочередными ударами поршней о шабот двухпоршневого механизма [1]. Сравнивая эти области устойчивости, можно отметить, что размеры области устойчивости и ее конфигурация существенно зависят от количества поршней-ударников механизма. Так, например, при малых значениях р для механизма с тремя поршнями-ударниками область устойчивости отсутствует, тогда как для двухпоршневого механизма она существует для большого диапазона коэффициента восстановления скорости при ударе. Существует наложение областей устойчивости.
5.2. На рис. 6 изображены две бифуркационные диаграммы для трехпоршневого механизма, построенные для следующих наборов параметров:
ц = 0.12,81 = 0.018,83 = 0.02, у2 = 3, у3 = 3, ф2 = 0.2, ф3 = 1.1, Х1 = 0.1,
X 2 = 0.2, X 3 = 0.3 и различных Я, равных 0.2 (рис. 6а) и 0.4 (рис. 6б). На диаграмме по оси абсцисс отложены значения частотного параметра р, а по оси ординат - значения послеударных скоростей поршней-ударников. Из рис. 6а видно, что при частотах 0.13 < р < 0.15 и 0.16 < р < 0.28 существует периодическое движение с ш1 = 1,
. = 1, 2, 3, тогда как при частотах 0.11 <
< р < 0.12 и 0.15 < р < 0.16 наблюдается хаотический режим движения; р = 0.13 - бифуркационное значение параметра, при значении которого наблюдается процесс удвоения числа ударов первым, вторым и третьим поршнями.
Из рис. 6б видно, что при частотах 0.2 < р < 0.3 наблюдается периодическое движение с ш1 = 1, . = 1, 2, 3, а при 0.18 < р < 0.2 существует движение с двумя ударами первым поршнем, одним ударом вторым и двумя ударами третьим поршнем; при 0.14 < р < 0.18 на-
. Бифуркационная диаграмма для 1 -го поршня
Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня
• Бифуркационная диаграмма для 3-го поршня
Бифуркационная диаграмма для 1-го поршня
. Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня
Бифуркационная диаграмма для 3-го поршня
Рис. 6
блюдается движение с двумя ударами первым поршнем, тремя ударами вторым и двумя ударами третьим поршнем; при 0.11 < р < 0.14 наблюдается хаотический режим движения.
Таким образом, сравнивая рис. 6а и рис. 6б, можно сделать вывод, что периодический режим движения ^( 1,1,1) с увеличением R смещается в сторону больших значений частотного параметра р.
5.3. На рис. 7 также приведены бифуркационные диаграммы по частотному параметру р, построенные для следующего набора параметров: ц = 0.12, є1 = 0.018, є3 = 0.02, у3 = 4, ф2 = 0.2, ф3 = 1.1, Х1 = 0.1,
X 2 = 0.2, Х3 = 0.3, Я = 0.5 и различных у2 (отношение длин эксцентриков), равных 3 (рис. 7а) и 2 (рис. 7б).
Из рис. 7а видно, что при частотах 0.14 < р < 0.22 наблюдается режим с одним ударом первым поршнем и одним ударом третьим поршнем, второй поршень ударов не совершает; при 0.22 < р < 0.3 существует периодическое движение с ті = 1, і = 1, 2, 3 ; при 0.11 < р < 0.13 наблюдается хаотический режим движения; р = 0.14 - бифуркационное значение частотного параметра, при значении которого наблюдается процесс удвоения числа ударов первым поршнем.
Из рис. 7б видно, что периодическое движение с ті = 1, і = 1, 2, 3, отсутствует. Однако при значениях частотного параметра 0.18 < р < 0.3 наблюдается режим с одним ударом первым
поршнем и одним ударом третьим поршнем; при 0.11 < р < 0.13 наблюдается хаотический режим. Сравнивая рис. 7а и рис. 7б, можно заметить, что с изменением параметра у2 заметнее изменяется динамика второго поршня. А именно, при частотах 0.15 < р < 0.18 и у2 =3 удары вторым поршнем вообще отсутствуют, тогда как при у2=2 при этих же частотах наблюдается режим с одним ударом поршня, а при 0.16 < р < 0.18 - режим с двумя ударами поршня. Таким образом, с уменьшением параметра у2 пропадает периодический режим с поочередным соударением поршней-ударников.
5.4. На рис. 8а,б приведены бифуркационные диаграммы по частотному параметру р для следующих наборов параметров:
^ = 0.12, є1 = 0.018, є3 = 0.02,
У2 = 3 У3 = 3 Х1 = 01,
X2 = 0.2, X3 = 0.3,Я = 0.6 и различных ф2, ф3, равных 0.2, 1.1 (рис. 8а) и 0.2 и 0.8 (рис. 8б) соответственно.
Из рисунка 8а видно, что при частотах 0.1 < р < 0.12 наблюдается режим с одним ударом первым поршнем и хаотическим режимом для второго и третьего поршней; при 0.12 < р < 0.14 наблюдается хаотический режим для всех трех поршнем; при 0.14 < р < 0.17 наблюдается режим с двумя ударами первым поршнем, тремя ударами вторым и двумя ударами третьим поршнем; при 0.17 < р < 0.2 наблюдается режим с двумя ударами первым и третьим поршнями и одним ударом вторым
а)
б)
Рис. 7
поршнем; при 0.2 < р < 0.3 существует периодическое движение с ті = 1, і = 1, 2, 3 .
На рис. 8б при 0.1 < р < 0.18 наблюдается хаотический режим для всех трех поршней; при 0.18 < р < 0.19 наблюдается режим с четырьмя ударами первым поршнем, тремя ударами вторым и тремя ударами третьим поршнем; при 0.19 < р < 0.2 наблюдается режим с четырьмя ударами первым и вторым поршнями и двумя ударами третьим поршнем; при 0.2 < р < 0.21 наблюдается режим с двумя ударами первым и вторым поршнями и одним ударом третьим поршнем; при 0.21 < р < 0.225 наблюдается хаотический режим для всех трех поршней; при 0.225 < р < 0.3 существует режим с тремя ударами первым и двумя ударами вторым и третьим поршнями.
Сравнивая рис. 8а,б, можно заметить, что уменьшение ф3 приводит к исчезновению периодического режима с поочередным соударением поршней и увеличению интервала значений параметра р, при которых наблюдается хаотический режим.
5.5. На рис. 9а,б приведены бифуркационные диаграммы по частотному параметру р для следующих наборов параметров:
^ = 0.12, є1 = 0.018, є3 = 0.02,
У2 = 3 У3 = 3 Х1 = 01,
X2 = 0.2, Х3 = 0.3,Я = 0.6 и различных ф2, ф3, равных 0.1, 0.8 (рис. 9а) и 0.6 и 0.8 (рис. 9б) соответственно.
На рис. 9а при 0.1 < р < 0.14, 0.16 < р < 0.18 , 0.22 < р < 0.23 наблюдается хаотический режим для всех трех поршней; при 0.14 <
< р < 0.16и 0.26 < р < 0.3 существует периодическое движение с ті = 1, і = 1, 2, 3 ; при
0.18 < р < 0.2 наблюдается режим с тремя ударами первым и вторым поршнями и четырьмя ударами третьим поршнем; при 0.21 < р < 0.22 наблюдается режим с двумя ударами первым и вторым поршнями и одним ударом третьим поршнем; при 0.23 < р < 0.26 существует режим с четырьмя ударами первым и третьим поршнями и двумя ударами вторым.
На рис. 9б при 0.1 < р < 0.11существует режим с одним ударом первым поршнем и тремя ударами третьим, удары вторым поршнем отсутствуют; при 0.11 < р < 0.125 наблюдается режим с двумя ударами первым и третьим поршнями, удары вторым поршнем отсутствуют; при 0.125 < р < 0.21 наблюдается режим с одним ударом первым и третьим поршнями и отсутствием ударов вторым поршнем; при
0.21 < р < 0.3 наблюдается хаотический режим для всех трех поршней. Таким образом, сравнивая диаграммы на рис. 9а и 9б, можно заметить, что уменьшение значения параметра ф2 приводит к исчезновению периодического режима с поочередным соударением поршней-ударников.
В заключение следует отметить, что представленные результаты компьютерного моделирования при различных значениях параметров позволяют четко проследить процессы пе-
Бифуркационная диаграмма для 1-го поршня Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня Бифуркационная диаграмма для 3-го поршня
Хі
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
*------
- ........
—I—^—I—I—.—.—1-^—,—I—I—
0,1 0,15 0,2 0,25
<л)
Бифуркационная диаграмма для 1-го поршня Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня Бифуркационная диаграмма для 3-го поршня
Х\ Х2 Хч
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
І®?ы .....
ЙШ
-т -----------•{ -
____.
ІіШІ іі/ V >
-0,1
-0,2
-0,3
ШІ^Щ
ШШ, кт
11 ' • ...V Л.*-'
Щг-/-
р
б)
Рис. 8
Бифуркационная диаграмма для 1-го поршня • Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня -Л Бифуркационная диаграмма для 3-го поршня XI Л,--
0,3
0,25
0,2
0,15-Ю 0,1 0,05
;< Ш : їй, ............................
0,1
0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3
Р
а)
11 - АиЗ ■ . ':/•
.0,,. - к':/ ^------------------------------------------------
■ &Л, Iі "
і -.у-р-^ і у.-.- ? ^ТуТг. У.Т г : ■ Її,- г і у.-.тг : т
0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3
Р
• Бифуркационная диаграмма для 1-го поршня. Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня • Бифуркационная диаграмма для 3-го поршня V .V-—.-.—.—... .. —.-----------------.— „. М '
0,5 ---------------------------------------
0 25 0 3 °-21 О-22 °.23 °-24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29
' Р ’ Р
б)
Рис. 9
рестройки от периодических движений произвольной кратности к стохастическим.
Список литературы
1. Метрикин В.С., Никифорова И.В. Динамика кривошипно-шатунного механизма с учетом массы поршней-ударников // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 6. С. 134—142.
2. А.с. 1020479 СССР, Вибротрамбовка/ Шилков В.А., Савалюк А.Д., Метрикин В.С., Поляков А.А., Шабардин А.К., Алехин А.И., Омененко И.Я. (СССР). № 3376593/29-33; заявлено 05.01.82; опубл. 30.05.83, Бюл. № 20.
3. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 285 с.
4. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.
OPTIMAL STRATEGIES OF RESOURCE ALLOCATION IN NETWORK STRUCTURES
М.Kh Prilutskii, Е.А. Kumagina
The problem of optimally allocating limited resources in canonical and hierarchical network structures is considered. A general mathematical model is built, an optimization problem of resource allocation is formulated and its solution algorithm is proposed based on recurrence relations of dynamic programming.
Keywords: resource allocation, network structure, optimality principle of dynamic programming.
References
1. Metrikin V.S., Nikiforova I.V. Dinamika krivo-shipno-shatunnogo mehanizma s uchetom massy porshnej-udarnikov // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2012. № 6. S. 134-142.
2. A.s. 1020479 SSSR, Vibrotrambovka/ Shil-kov V.A., Savaljuk A.D., Metrikin V.S., Poljakov A.A., Sha-
bardin A.K., Alehin A.I., Omenenko I.Ja. (SSSR). № 3376593/29-33; zajavleno 05.01.82; opubl. 30.05.83, Bjul. № 20.
3. Fejgin M.I. Vynuzhdennye kolebanija sistem s ra-zryvnymi nelinejnostjami. M.: Nauka, 1994. 285 s.
4. Nejmark Ju.I. Metod tochechnyh otobrazhenij v teorii nelinejnyh kolebanij. M.: Nauka, 1972. 471 s.
