CC BY
51
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 6 (1), с. 134-142
УДК 534.014
ДИНАМИКА КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО МЕХАНИЗМА С УЧЕТОМ МАССЫ ПОРШНЕЙ-УДАРНИКОВ
© 2012 г. В.С. Метрикин1, И.В. Никифорова1
1 НИИ ПМК Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
tsii@list.ru
Поступила в редакцию 03.09.2012
Приведены результаты численно-аналитического исследования динамики виброударного механизма с кривошипно-шатунным возбудителем колебаний при учете масс поршней. Представленные бифуркационные диаграммы и области устойчивости периодических режимов движения в пространстве параметров механизма позволили провести сравнительный анализ влияния масс поршней-ударников на динамику механизма. Показано, что массы поршней-ударников стабилизируют периодические движения системы.
Ключевые слова: метод точечных отображений, устойчивость, бифуркационная диаграмма, коэффициент восстановления скорости при ударе.
В [1] изучена динамика виброударного механизма с кривошипно-шатунным возбудителем колебаний без учета масс поршней-ударников.
Однако настройка механизма на рабочий режим работы, очевидно, зависит от выбора всех параметров и, в частности, от масс поршней-ударников. В этой связи в настоящей работе исследуется динамика механизма при учете масс поршней-ударников. Математическая модель при этом представляет собой существенно нелинейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменной структурой.
Уравнения движения
Схема рассматриваемого механизма представлена на рис. 1а, где 1 - корпус механизма, 2 - маховик, 3 - кривошипы с регулируемыми эксцентриситетами г, 4 - шатуны (длиной Іі), имеющие стационарный сдвиг фаз ф ,5 - поршни-ударники, 6 - неподвижный ограничитель, 7 -эксцентриковый вал, 8 - направляющая гильза, 9 - направляющая штанга корпуса, 10 - наковальня (шабот).
Обозначая через х координату центра масс М корпуса, а через х і (і = 1,2) - координаты масс ті где введены следующие °б°значения: т = га?.
г 1 *2 1 *2
Ь =—Мх +— т,х , +— тх ,-
2 2 1 р1 2 2 р 2
-Щх - т1 gxpl - т2gxp2 .
Воспользовавшись уравнениями Лагранжа второго рода [2] и связью между координатами корпуса и поршней-ударников (см. рис. 1б)
хр1 = х - 51 + r1cosю t -у! 112 - r^sin1юt,
хр2 = х - s2 + Г2С08(ю/ - ф) - ф),
а также используя очевидные соотношения г1 << /, г2 << /, считая /. «/, . = 1,2, уравнения движения механизма можно представить в виде
d2 х
dx'
dx
dx
-- |aA,jCOST- 2 cos(x — ф) + p = 0
(x > f(x)X
= — R0X.
dx
+ (1 + R)
df
df (x) dx
(x = f (x), x --r< 0), dx
f (x) = max( fi(x), f2(x)) ,
x
f (x) = s — ^cosx, f2 (x) = —|aycos(x — ф),
(1)
(2)
поршней-ударников и составляя выражения для кинетической V и потенциальной П энергий
тг 1*,г-2 1 *2 1 *2
V =—Мх н— т,х , + — тх ,,
2 2 1 р1 2 2 р
П = Щх + т!gxp1 + т2gxp2 , представим функцию Лагранжа в виде
x =
x — — l
стар 2
s =
m.
(i = 1,2),
r
r
l
l
Рис. 1
dx
dт
= х
dx
dт
= х - скорости непосредст-
венно после и до удара.
Уравнение (1) описывает свободное движение механизма, уравнение (2) - ударное взаимодействие одного из поршней с наковальней. Отметим, что функция Лагранжа при сделанных выше предположениях запишется в виде
1.2 1 / . . \2
Ь = — Мх +— т1 (х - г1ю 8тюТ) +
+1 т2 (х - г2ю 8т(юТ - ф))2 -Mgx -
- т1 g (х - я1 + Г1008ЮТ - / )-- т2g (х - я2 + г2 сов(юТ - ф) - /)
Фазовое пространство
Фазовое пространство Ф( х > f (т), х, т ) системы (1)-(2) трехмерное в координатах х, х, т усечено по х. Поверхность S( х = / (т) ) представляет собой «гофрированную» цилиндрическую по т поверхность, образованную пересечением, при
условии 8 > ^(1 - уеоэф)2 + у2БШ2ф , двух цилиндрических поверхностей х = У1(т), х = /2(т) . Все фазовые траектории располагаются либо на поверхности S, либо выше ее (х > / (т) ). Случай х > f (т) соответствует свободному движению механизма, а х = f (т) - ударному взаимодействию одного из поршней-ударников с ограничителем (шаботом).
Точечные отображения
Исследование динамики механизма, описываемого дифференциальными уравнениями (1), (2), проведено, как и в [1], с помощью метода точечного преобразования. За секущую поверхность выберем поверхность S.
Пусть
М0(т = ^ х = f1(т0), х = х0) £ ^1(х = f1(т)), М!(т = ^ х = f2(т1), х = -х1) £ £ 2 (х = f2(т)),
М 2(Т = Т 2, х = Л(т 2 ), х = х2) £
- три последовательные точки, принадлежащие поверхности х = f (т) , тогда преобразование
точек Мп
->Мт можно
записать в виде
- цусоэ^ - ф) = -цА,1 (cosт1 - cosт0) -
- (х1 - хо)(К^пто + М"У^2^п(хо - Ф)) -
- цуА,2 (cos(т1 - ф) - cos(т0 - ф)) -
Т1
(3)
(Х1 -хо)2 ' 2
+ .х0(т1 -т0) + 8-ц,cosт0;
х1 = - ^(ц,^ ^іп^ - sinт0) + цуХ^т^ - ф) -
- ^п(хо - ф)) - РК -то) + хо) +
+ (1 + ^цуэт^ - ф);
8 - ЦСОЗТ2 = -цХ1 (cOST 2 - COST1) -
- (т2 -^ХцА^іп^ + цуА,2sin(т1 -ф)) -
- 2(со^т2 - ф) - сО^т1 - ф)) -
(4)
(5)
(Х2 -Т1)2 2
+ хд^2 -^1) - цусоэ^! -ф);
х2 = -^(цА,1 ^іпт2 - sinт1) + цуА,2 (sin(т2 - ф) -
- вт( Т1 -ф)) - р(т2-Т1) + ^) + (6)
+ (1 + ^)ц^іпт2.
В связи с усеченностью фазового пространства по фазовой координате точечное преобразование Т будет определено, если выполнены следующие неравенства
8 - ДеО8Т0 > -дуе08(т0 - ф),
- ДуСО8(т1 - ф) > 8 - ДеО8Т1,
8 - ДСО8Т2 > -ДУС0Б(т2 - ф),
х(т) > f (т) для т0 < т < т1, т1 < т < т2.
а
Первое неравенство системы (7) означает, что в начальный момент времени т = т0 изображающая точка принадлежит поверхности S( x = f1 (т)) (это условие соответствует ударному взаимодействию первого поршня с шаботом), второе неравенство означает, что в момент времени т = т изображающая точка принадлежит поверхности S( x = f (т)) (это условие соответствует ударному взаимодействию второго поршня с шаботом), третье неравенство означает, что в момент т = т2 изображающая точка вновь попадает на поверхность x = f1 (т) (вновь происходит ударное взаимодействие первого поршня с шаботом). Четвертое неравенство отражает очевидный факт принадлежности изображающей точки подпространству x > f (т).
Условия существования и устойчивости неподвижных точек точечного отображения T, соответствующих периодическим двухударным режимам движения
Уравнения для нахождения координат неподвижных точек точечного отображения Т, соответствующих двухударным (с поочередными ударом каждым поршнем-ударником) периодическим движениям, получаются путем добавления к (3)—(6) условий периодичности [3]
x^ = x+= x*, т2 =т0 + 2%n (п = 1,2,...). (8)
Разрешая систему (3)-(6), (8) относительно x, xx, т0, т1, получим
x = Лц^1(1 + ^)(sin(To + 0 - sin^o) , x - - “г
1 - R
+ R^Y^2(1 + R)(sin(^0 +a) - sin(^0 -ф)) +
1 - R2
+ pR(2%n - E,(1 + R)) + (1 + R)p.(sim0 -Rysin(i0 + a))
+ 1-R2 ’
x = -R^1(1 + R)(sin(To +£) - sin,Q - (9)
1 1 - R2
R|iy^2 (1 + R)(sin(x0 + a) - sin(x0 - ф))
1 - R2 +
+ pR(E, - R(2%n - E,)) + (1 + R)^(ysin(x 0 + a) - Rsinx 0)
+ TR2
(a=£^ ^ = т1 -то),
Ad - Bb Ac - aB
cos^ =--------------, Бттп=-
|a(ad - bc)'
|a(ad - bc)'
где
a = (1 - R)(1 - ycosa) +
+Ry%sina + X1 ((1 - R)(cos% -1) - %Rsin%) --yX 2 (^(sin9 + Rsina)) - (1 - R)(cosa - cos9));
b = %(1 - Ry cosa) - (1 - R)ysina + X1 (%(1 --Rcos%) - (1 - R)sini) + yX 2 ((1 - R)(sina + +sin9) + %(Rcosa - cos9)); c = (1 - R)(1 - y cosa) + (2nn - %)ysina -
- Xj ((1 - R)(1 - cos%) + (2 ли - ^)sin^) --yX2 ((2 ли - i)(sina + Rsinip) +
+(1 - R)(cos9 - cosa)); d = (2nn - %)(R - y cosa) - (1 - R)ysina + +X1 ((1 - R)sini + (2 ли - i)(cos% - R)) + +yX 2 ((1 - R)(sin(p + sina) +
+(2ли - %)(cosa - Rcos9));
A = (1 - R) s +
(2%nR -% (1 + R)2); (1 + R) 2
D ,, n. p(2%n -£)
B = (1 - R) s + —---------— x
2(1 + R)
x((2rcn -E,)(1 + R2) - 2RE,) .
При этом неравенства (7) перепишутся в виде:
s >
(1 - ycos(p)(Ad - Bb) - ysinip(Ac - Ba)
s <
ad - Ьс (со8^ - уcosa)(Ad - ВЬ) ad - Ьс
- уsina)(Ac - Ва) ad - Ьс
х(т) > f (т) для т0 < т < т1, т1 < т < т0 + 2%п. (10) Устойчивость в малом неподвижной точки определяется, как известно [4], величиной корней характеристического уравнения %(г) = 0 , которое в нашем случае имеет вид
%(Z) = bub22Z2 + (a11b22 + a22b11 - a21b12 )Z +
(11)
где
a11 = R(1 + R)^,ycos( x 0 + a) + Rp + + (X - |aysin(x0 + a)) +
+ цRX1 (R(sin(X0 + %> - sinX0) -
+ |ayRX 2 (-
- (1 + R)cos(x0 + i)) + R(sin(x0 + a) - sin(x0 - ф))
- (1 + R)cos(x0 + a));
a12 = R- (^sinx0 - x);
R
a21 = (2 ли - i) — (x - ^ysin(x0 + a)) + %
+(2ли - %)(1 + R)^ycos(x0 + a) +
+ana22 - a12 a21
+(2лп -4) р - х1 + цу8ш(т о + а) +
Я
+ (2та - ^)ц^1 (— (втСт о + 4) - втт о) -
-(1 + Я)С°8(Хо + 4)) -я
- (2яп - 4)цу^2 (— (8т(хо - ф) - вт(Xо + а)) + +(1 + Я)соб(то + а)) ; а22 = Я (2лп - 4)(цбіпхо - х) ;
ьи =1 (Р4 - х + №іп(х о + а))-4
- 1 (8Ш(хо +4) - 8Іпхо ) +
4
+1 цу^ 2 (^п(х о- ф) - 8іп(х о + а)) ;
4
Ь12 = V (х - р4-ЦСО8Хо )-4
- (Яр + (1 + Я)ЦСОБТо ) +
+ц^ (1 + Я)собто + цуХ2 (1 + Я)соб(то - ф) ; Ь22 = х1 - р(2лп - 4) - цбіпхо +
+ цА^ (бІпхо - БІп(X о + 4)) -- цуА2 (бІп(Xо + а) - БІп(Xо - ф)) .
Динамика однопоршневого механизма
Полагая в уравнениях (1), (2) 8 = 0, у = 1, ф = 0, X 2 = 0, получим систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику однопоршневого механизма
нения (12), (13) в виде
2 =Ц^1СО8Х- р, х >-ЦСОБх,
й2 х йх dx йх
х = -ЦСОБх, х - ЦБІПх < о.
= - я^ йх
+ (1 + Я)Ц8ШТ,
й2 z йх
2 = асоБх - р, z > о,
dz
йх
= - я*
йх
z = о, Z < о.
(14)
15)
Заметим, что уравнения (14), (15) совпадают с точностью до обозначения с уравнениями работы [5].
Исследование динамики однопоршневого механизма проведем с помощью точечного преобразования плоскости г = 0 в себя. Так, если М0(т = т0, г,, = 0, г = г;,), М/Т = Т1,г = 0,г = ¿1) - две последующие точки, принадлежащие плоскости г = 0, тогда точечное преобразование Т точек М0 ^ М1 запишем в виде г- = а - siпт0) - р(т1 -т0) - R¿-;
,(т1 -т 0)2
о = -а (сОБх1 - собхо) - р- (asinх о + К і - )(х1 -хо).
2
(16)
После добавления к уравнениям (16) условий периодичности г- = г- = г*, Т1 = т0 + 2пп можно получить соотношения для определения координат неподвижной точки
.* 2 л пр
і = -- ■
(1 + я)
asmх0 = -
1 - я
1 + К
(17)
ппр.
Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид:
х( і) = і2 +
(1 + К)2 а . 2
----------СОБТо - 1 - Я
р
І + Я2 = о. (18)
(12)
(13)
Вводя новую переменную г = х + т и безразмерный параметр а = ц(Х1 -1), запишем урав-
Из (17) следует, что существуют две неподвижные точки М 1(г*, т0 с [0, п/ 2])), М2 (г*, т0 с [п, п/ 2])), соответствующие двум
периодическим движениям с различными начальными фазами. Однако из характеристического уравнения (18) непосредственно следует, что первая неподвижная точка М1 всегда неустойчива.
+
*
Граница области существования и устойчивости неподвижной точки М2 в параметрическом виде, соответствующая одноударному периодическому режиму движения, задается, как известно [3], поверхностями N+, N_, Жф:
N :
1 - R
а——— % n p
(1 + R)
= 1;
N_ : 2(1 + R2)-
(1 + R)2 а
cosx„ = 0;
(19)
Nф : R = 1,
а область устойчивости в плоскости параметров (p / |а|,R) с использованием (17), (19) можно записать в виде
p 1+r
а (1 - R)%n
(1 + R)2
(20)
|И| Л/4(1 + Я 2)2 + (^и)2(1 - Я2)2 ’
0 < Я < 1.
Из (20) следует, что размеры области устой-
Р — Р—
чивости Д = —— при фиксированном Я
И
определяются соотношением
(
Л=-
1 + R
(1 - R)%n
1 --
1 + 4
1 + R2 1 - R2
(%n)2
(21)
Дополнительный удар может произойти в момент т' (т0 < т' < х0 + 2%n), который находит-
ся из системы
( ' *. (т'-т0)2
- a(cosx - cosx0) - p------------
- (asinx0 + Rz*0 )(т' - т0) = 0, a(sinx' - sinx¡) - p(x' - т0) - Rz*0 = 0.
(22)
Из (21) с учетом (19) следует, что границы N+, Ы— не пересекаются.
Известно [3], что при непрерывном изменении параметров периодический режим движения может исчезнуть либо из-за нарушения условий устойчивости (20), либо из-за выхода фазовой траектории периодического движения из области определения соответствующего точечного преобразования (16).
Выход фазовой траектории из области определения точечного отображения может быть связан с появлением дополнительных ударов за период движения. Бифуркационная поверхность N. [3], соответствующая такому поведению фазовой траектории, определяется из уравнений, описывающих касание фазовой траекторией поверхности г = 0. Это означает, что область существования устойчивых периодических движений с одним ударом за период ограничена поверхностями (19) и поверхностью N., которая может отсекать некоторую часть из области устойчивости в пространстве параметров, определяемой неравенствами (20).
Обозначая х' - х0 = £ , получим
£2
(р£ - лир)2 + (acosx^ - р — + лпр£)2 = a2. (23)
Определяя £ = £(a,p,R) из (23) и подставляя эту зависимость в одно из уравнений (22), получим параметрическое уравнение
P(a, р, R) = 0 границы Nc. Так, на рис. 3 в
плоскости (R, р/|а|) приведены границы областей существования устойчивых периодических движений N+, N- и бифуркационная граница Nc, отсекающая от области устойчивости небольшую часть, а на рис. 4 - размер области устойчивости с учетом (точечные линии) при ц = 0.12, X1 = 0.6 и без учета (сплошные линии) при ц = 0.12, X1 = 0 массы поршня.
На рис. 5 а представлена бифуркационная диаграмма, где по оси абсцисс приведены значения параметра р, а по оси ординат - значения доударных скоростей для следующего набора параметров: ц = 0.12, Xj = 0, R = 0.5, а на рис. 5б
- бифуркационная диаграмма для этих же значений ц и R, но при X1 = 0.3 . Из рис. 5 а видно, что хаотический режим движения наблюдается при частотах 0.01 < р < 0.076 , а периодический режим с одним ударом за период внешней силы
- при 0.076 < р < 0.115.
Сравнивая бифуркационные диаграммы, приведенные на рис. 5 а, 5б, можно заключить, что учет массы поршня приводит к смещению области существования хаотических и устойчивых периодических движений в сторону меньших частот.
Результаты численных экспериментов для двухпоршневого механизма
Исследование сложной динамики двухпоршневого механизма проведено с помощью численных экспериментов с использованием программного комплекса, разработанного в среде Borland C++ Builder 6.
1
2
1
R
Рис. 3
Обозначим через В (т1, т2) область существования и устойчивости периодических движений в пространстве параметров, где т1 - число ударов первым поршнем о шабот, т2- число ударов вторым поршнем о шабот.
На рис. 6 в плоскости (р, R) представлена область В(1,1) (заштрихованная область) для следующих значений параметров: (ц = 0.12,
в = 0.018, у = 3, ф = 3.14, Х1 = 0, X2 = 0)и бифуркационная граница Ыс. В области В(т1, т2), где т1 и т2 не равны одновременно 1, существуют движения с несколькими (больше двух) ударами каждым из поршней. На рис. 7 приведена область существования и устойчивости периодического движения для указанных выше значений параметров ц, є, у, ф , но при
Х1 = 0.2, X2 = 0.3. Заметим, что область В(т1, т2) практически отсутствует (т1 Ф т2 Ф Ф 1).Таким образом, увеличение масс поршней-ударников приводит к некоторому увеличению области устойчивости В(1,1).
Рис. 4
На рис. 8 изображены бифуркационные диаграммы, построенные для того же набора параметров, что и рис. 7, но при R = 0.5 . На диаграмме на оси абсцисс приведены значения частотного параметра р , а по оси ординат - значения послеударных скоростей х+ є f (х) . Рисунок 8а соответствует диаграмме с ударами первым поршнем, х+ є f (х), рисунок 8б - с ударами вторым поршнем, х+ є f2(х). Из рисунка видно, что для 0.175 < р < 0.18 и 0.142 < р < 0.156 существует периодическое движение с m1 = 1, m2 = 1; для 0.134 < р < 0.141 m1 = 1, m2 = 0, происходят периодические удары только одним поршнем; для 0.122 < р < 0.134 тх = 2, m2 = 0; для 0.118 < р < 0.122 тх = 4, m2 = 0 ; в интервале 0.1 < р < 0.118 наблюдается хаотический режим движения. При р = 0.122 и р = 0.134 наблюдается процесс удвоения числа ударов первым поршнем.
X,
Рис. 5
R
и n-J D(1’1)::: N—[ ^/' N+-
. I Ne/
Ш0
Í '•/'!
/. І::::::/;
ÍMIÜA *
::/\D(mi,m2) fr
Рис. б
Ы-
R
Р
Рис. 7
Хі
—\— Ч - N
’............. -Щ'.
,';т г,!%>.Фч’А "
0,1 0,105 0,11 0,115 0,12 0,125 0,13 0,135 0,14 0,145 0,15 0,155 0,16 0,165 0,17 0,175 0,18
а)
Р
0,1 0,105 0,11 0,115 0,12 0,125 0,13 0,135 0,14 0,145 0,15 0,155 0,16 0,165 0,17 0,175 0,18
б)
Рис. 8
На рис. 9а приведена осциллограмма для следующего набора параметров: Я = 0.5,
р = 0.13, у = 3, є = 0.018, ц = 0.12, ф = 3.14, Х1 = 0.2, X2 = 0.3 а на рис. 9б - осциллограмма при том же наборе, но Х1 =Х2 = 0. Из рис. 9 следует, что учет масс поршней приводит к стабилизации периодических движений. Так, на рис. 9а видно, что при учете масс поршней существует периодический режим с двумя ударами первым поршнем (т1 = 2, т2 = 0), тогда как при Х1 =Х 2 = 0 наблюдается хаотический режим движения. На рис. 10а представлены бифуркаци-
онные диаграммы, где по оси абсцисс приведены значения параметра р , а по оси ординат - значения послеударных скоростей для следующего набора параметров: ц = 0.12, є = 0.018,
у = 3, ф = 3.14, Х1 = 0.05, X2 = 0.08, Я = 0.5, а на рис. 10б - бифуркационные диаграммы для этих же значений параметров, но при Х1 =Х2 = 0 . Из рис. 10а видно, что хаотический режим движения наблюдается при частотах 0.155 < р < 0.164, а периодические режимы с различным числом ударов за период внешней силы при следующих значениях частоты: 0.165 < р < 0.172 - периодический режим движе-
а)
б)
Рис. 9
0.12 0,125 0,13 0,135
0,165 0,17 0,175 0.18 0,185 0.1» 0,195 0.2 0,205 0.21
0,105 0,11 0,115 0.12 0,125 0,13 0.135 0.14 0.14S 0.15 0.1S5 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18
ния с набором ( m1 = 2, m2 = 6 ), 0.172 < p < 0.191-периодический режим движения с набором (m1 = 1, m2 = 3), 0.201 < p < 0.21 - основной периодический режим движения, m1 = 1, m2 = 1.
Из рис. 10 следует важный практический вывод: учет масс поршней-ударников приводит к стабилизации периодических режимов на большом интервале частот.
Список литературы
1. Метрикин В.С., Никифорова И.В. К теории виброударной системы с кривошипношатунным возбудителем колебаний //Вестник Ни-
жегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010. № 5(1). С. 185-192.
2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Том 2: Динамика. М.: Наука, 1979. 544 с.
3. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 285 с.
4. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.
5. Быховский И.И., Дорохова А.Д., Зарецкий Л.Б., Лукомский С.И. О некоторых периодических движениях и структуре фазового пространства ударноколебательной системы с постоянной восстанавливающей силой //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 2. С. 161-165.
CRANK GEAR DYNAMICS WITH THE EFFECT OF PISTON-STRIKER MASSES
V.S. Metrikin, I. V. Nikiforova
Results have been given of a numerical-analytical simulation of the dynamics of a vibro-impact mechanism with a crank gear vibration exciter taking into account piston-striker masses. The bifurcation and stability diagrams of periodic motion modes in the mechanism parameter space make it possible to carry out a comparative analysis of the influence of piston-striker masses on the crank gear dynamics. The piston-striker masses have been shown to stabilize the periodic motions of the system.
Keywords: point mapping method, stability, bifurcation diagram, impact-velocity restitution coefficient.
