CC BY
23
УДК 629.4.017
Волкова В.Е., к.т.н. доцент (ДИИТ, Днепропетровск) Жижко В.В., с.н.с. (ДИИТ, Днепропетровск)
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕМПФЕРА ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Введение. При теоретических исследованиях реальных физических процессов приходится абстрагироваться от ряда побочных явлений и рассматривать только основные факторы, влияющие на интересующую сторону процесса. Необходимость идеализации вызвана, прежде всего, проведением соответствия между сложностью задач и вычислительными возможностями, а также получением достаточно простых и легко анализируемых решений. Так как требования точности и простоты конечных соотношений почти всегда являются противоречивыми, то задачей исследования является выбор некоторой оптимальной для данного случая математической модели или расчетной схемы. Они должны одновременно достаточно близко в качественном и количественном соотношении описывать реальный физический процесс и позволять сравнительно просто и быстро получать решение поставленной задачи. Очевидно, что практически невозможно, и более того, совершенно нецелесообразно сведение всех задач динамики механических систем к одной универсальной математической модели или расчетной схеме.
Современное состояние методов идентификации механических систем. Последние два десятилетия проблемы построения математических моделей и прогнозирования динамического поведения механических систем по экспериментальным данным вызывают повышенный интерес. Задачи идентификации различаются между собою как по своей цели (установление значений отдельных параметров динамической системы или определение преобладающего источника возмущения), так и по объему известной информации. Наиболее ответственными и актуальными являются задачи качественной идентификации - выявления динамической модели колебаний элементов конструкций [1].
В 80-гг ХХ столетия коллективом Института технической механики НАН Украины совместно с Отраслевой научно-исследовательской
лабораторией динамики подвижного состава Днепропетровского института инженеров транспорта (в настоящее время Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта) был выполнен ряд работ по разработке алгоритмов идентификации механических систем по экспериментальным записям скоростей и ускорений исследуемого объекта. Решен ряд задач по декомпозиции и построению модальных моделей механических систем и установлена исключительная роль ускорений в идентификации модальных параметров [7].
Идентификация нелинейных динамических систем представляет собой скорее субъективные навыки, чем прямое применение некоторого частного метода теории систем. Несмотря на то, что существует множество аналитических методов, единый подход к выявлению, классификации или моделированию соотношений между внешним возмущением и откликом системы отсутствует.
Область применения большинства классических методов идентификации ограничена одночастотными динамическими процессами. Данные методы идентификации основаны на использовании внешнего возмущения особой формы - прямоугольного импульсного или ступенчатого знакопеременного [1]. Подобные виды внешнего возмущения весьма сложны в реализации. Поскольку вместо внешнего возмущения, соответствующего нормальному режиму эксплуатации, для реализации данных методов требуется возмущение особого типа, то становится очевидным, что эти методы предполагают идентификацию модели механической системы вне условий нормальной эксплуатации. Таким образом, данные методы применимы только к линейным стационарным системам, в которых соотношение между внешним возмущением и откликом системы сохраняется для всех других типов возмущения.
Большинство современных методов качественной идентификации работают во временной области. Так, объектом их исследования являются временные процессы, а именно, записи изменения перемещений точек исследуемых систем во времени. Данные методы ориентированы на применение вейвлет преобразования, рядов Винера и Гаммерштейна. Данные подходы громоздки в реализации и предполагают применение вычислительной техники [2-4], а также необходимость хранения значительного объема исходной информации. Базисные функции, лежащие в основе этих методов, оперируют производными высших порядков (четвертого, пятого и шестого). Необходимость многократно численно дифференцировать исходный сигнал, содержащий шум, необратимо
приводит к увеличению ошибок накопления и усечения, что оказывает существенное влияние на точность построения модели.
Объект исследования. Объектом данного исследования являются одномассовые виброударные демпферы. Динамические гасители колебаний предназначены для снижения уровня вибраций, они могут быть разделены на две большие группы - линейные и нелинейные. По типу материала упругие связи делятся на следующие основные группы: металлические, резиновые, или резинометаллические, пневматические и комбинированные. Материал упругих связей должен обеспечивать заданную упругость, усталостную прочность и отсутствие остаточных деформаций в процессе работы. Наибольшее распространение получили упругие связи в виде металлических пружин или листовых рессор. Применение резиновых и резинометаллических упругих связей ограничено их чувствительностью к изменениям температуры и частоты внешнего возмущения. Другим недостатком данного вида упругих связей является то, что их упругие характеристики существенно зависят от формы образца.
Для наиболее эффективного гашения колебаний используются виброударные гасители, имеющие нелинейные упругие связи. Нелинейности упругих характеристик возникают по двум причинам: во-первых, из-за нелинейности характеристик материала; во-вторых, из-за конструктивных особенностей исследуемой системы. В первом случае имеем, как правило, незначительные нелинейные эффекты - такие упругие характеристики принято относить к классу систем со слабой нелинейностью. Во втором же случае степень нелинейности может изменяться в неограниченных пределах. Нелинейные виброударные гасители колебаний повышают устойчивость работы системы, а также позволяют снизить требования к их регулированию и настройке. Недостатком нелинейных виброударных гасителей колебаний является их высокая чувствительность к начальным значениям перемещений, скоростей и ускорений, а также виду внешнего возмущения.
В состав виброударных демпферов входят специальные ограничители хода - буфера, создающие излом упругой характеристики. Конструктивно упругие связи выполняются в виде комбинации упругих амортизаторов [5]. Ввиду того, что излом характеристики оказывает доминирующее влияние на поведение системы, то нелинейными эффектами, зависящими от материала упругой связи, практически можно пренебречь без ущерба для точности получаемого решения [5]. Поэтому в дальнейшем упругие характеристики виброударных гасителей будем
принимать кусочно-линейными. По типу конструктивного исполнения эти устройства могут быть симметричными или несимметричными.
Предположим, что свободные колебания исследуемой системы могут быть описаны дифференциальным уравнением вида
где т - масса; у, у, у - обобщенные перемещение, скорость и ускорение массы соответственно;
я(у) - восстанавливающая сила.
Отображения фазовых траекторий на плоскость «ускорение -перемещение». Качественное исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве. Основы качественной теории исследования динамических процессов были созданы Пуанкаре. Исключительная роль в развитии качественных методов исследования динамических систем принадлежит А.А. Андронову Е.А. Леонтовичу. И.И. Гордону. А.М. Ляпунову [1]. Основной задачей классической теории качественного исследования является определение динамических свойств систем без получения замкнутого аналитического решения. С этой целью широко использовались фазовые траектории на плоскости (у, у).
Область применения данных методов не ограничивалась задачами автономных колебаний. Фершингом в работе [9], были использованы фазовые траектории на плоскости (у, у) для нахождения периода
аэроупругих колебаний пластины. Известны также попытки применить данные траектории в решении обратной задачи механики - идентификации. Так, известны работы, в которых, на основе метода графического интегрирования Шеффера были получены численные оценки диссипативных характеристик в отдельных точках фазовых пространства [11]. В отличие от указанных выше работ, целью данного исследования является получение не численных оценок параметров диссипативных характеристик, а их обобщенного графического образа, который более удобен для последующей обработки.
Одновременно с классической качественной теорией дифференциальных уравнений в основополагающих работах А.Пуанкаре появился метод точечных отображений, дальнейшее развитие метод получил в работах Н.В. Бутенина, Ю.И. Неймарка, Шильникова и др. [12].
(1)
Н (у) - диссипативная сила;
Точечные отображения стали формой описания динамических систем, удобных для конкретных счисленных исследований.
Отметим, что фазовое пространство динамических систем многомерно. Возможен и иной выбор параметров фазовых плоскостей. Впервые попытка применить фазовые траектории на плоскостях (у, у) и
(у, у) к исследованию динамических систем была сделана в монографии
[4]. Как следует из полученных результатов, фазовые траектории на плоскости (у, у) могут быть весьма эффективно использованы для
идентификации динамических систем. В монографии [9] представлены результаты качественного исследования колебаний консервативных систем, имеющих нелинейные диссипативные и упругие характеристики различных видов.
Впервые отображения фазовых траекторий на плоскости (у, у) были
применены для процедуры идентификации неизвестных упругих и диссипативных характеристик в работе [6], и впоследствии данный метод непараметрической идентификации был задекларирован патентом на изобретение [10].
В дискретные моменты времени (к = 1,..., п), удовлетворяющие условию с = Р (го ) = Р ), измерим значения ускорений, скоростей и
перемещений точек исследуемой системы. Обозначим, данное множество точек, {пк } = {ук, ук, ук}. Таким образом, получим набор точек
параметрически связанных по времени гк. Данные точки в расширенном фазовом пространстве (у, у, у) образуют поверхность, которая может быть описана уравнением
Предварительно пренебрегая влиянием диссипации, можно предполагать, что характеристика упругой силы может быть определена из соотношения
Построение отображений фазовых траекторий на плоскости (у, у) близко к методу обработки временных процессов по пикам. Оценка
т Ук + к (ук, ук) + г (ук )= Р (Ч),
(2)
г (ук) = с - т1ук .
(3)
значений ускорений и перемещений выполнялась в дискретные моменты времени, удовлетворяющие условию с = Р(го) = Р(гк) [7].
Идентификация динамической модели виброударного демпфера.
Для сопоставления результатов теоретического исследования и натурного эксперимента воспользуемся экспериментальными данными, полученными Отраслевой научно-исследовательской лабораторией динамики и прочности подвижного состава Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна под руководством профессора Е.П. Блохина. В отчете этой лаборатории [8] были представлены результаты натурных динамических испытаний виброударного демпфера. Целью испытаний являлась проверка соответствия динамических показателей, а именно частот и амплитуд колебаний, нормативным документам. При проведении испытаний измерялись горизонтальные перемещения и ускорения, а также осуществлялась запись этих процессов на магнитные носители, позволяющие судить о качественном характере внешнего стохастического возмущения.
Процесс работы виброударного демпфера можно разделить на несколько этапов. В начале движения, до тех пор, пока зазор не выбран, колебания происходят в системе с линейными характеристиками. При дальнейшем увеличении амплитуды колебаний, как только амплитуда превысит величину зазора, в работу вступают упругие ограничители хода. Если нарастание частоты внешнего возмущения происходит быстро, то не исключена возможность того, что максимальная амплитуда колебаний не превысит резонансного стационарного значения.
Первичная обработка временных процессов, характеризующих динамическое поведение виброударного демпфера, включала следующие этапы:
- разбивку процессов и их группирование по отдельным режимам работы;
- статистическую обработку отдельных групп процессов. Определение математического ожидания, дисперсии и получение спектральных характеристик.
Результаты динамических испытаний показали, что фактические значения собственных частот колебаний виброударного демпфера значительно превышают паспортные значения. Принимая во внимание сложность исследуемой механической системы и невозможность построения точной математической модели, возникает необходимость выполнения процедуры идентификации.
Математические модели механических систем должны описывать геометрическую конфигурацию всех типов колебаний, которые возможны в механической системе, адекватно отражать нелинейность характеристик реальной конструкции и позволять относительно легко выполнять корректировку в случае изменения начальных параметров системы.
Следует отметить, что выполнить оценку параметров упругой характеристики путем обращения точных аналитических решений невозможно ввиду их отсутствия. Применение известных методик на основе метода наименьших квадратов также невозможно из-за отсутствия численных оценок внешнего возмущения.
Первый этап идентификации состоит в выявлении типа математической модели. Далее рассмотрим более подробно предлагаемый порядок идентификации. Уравнение (1) в каждый момент времени связывает величины у(;), у(;) и у(;) с внешним возмущением Г(;) (рисунок 1).
Необходимо по заданным значениям у(;) и у(;) установить тип упругой характеристики с учетом предположения о наличии вязкого трения в исследуемой системе.
Для этого по данным стохастических процессов были построены отображения фазовых траекторий на плоскость (у, у), здесь каждой точке фазовой плоскости соответствуют значения горизонтальных ускорений и перемещений для пиковых значений внешнего стохастического возмущения (рисунок 1).
Обработка записей случайных процессов в значительной степени отличается по целям и методам от обработки стационарных процессов. При действии случайных внешних возмущений нельзя ожидать устойчивых областей резонанса. Обработка записей, как правило, осуществляется с целью выявить статистические характеристики, свойственные преобладающему количеству колебательных процессов.
До начала измерений выполнялась разметка, прежде всего, выделялись и нумеровались рабочие циклы, а затем выбирались и нумеровались соответствующие пики внешнего возмущения. При построении отображений фазовых траекторий на плоскости (у, у) принимались 7-9 наиболее значимых пиков, исходя из общего их количества в рабочем цикле.
Следующей стадией обработки являлось измерение значений амплитуд горизонтальных перемещений и ускорений, соответствующих пикам внешнего возмущения. Как правило, определялись значения
амплитуд, соответствующих пикам внешнего возмущения, превышающих некоторую величину.
На рисунке 1 представлены отображения фазовых траекторий на плоскость «ускорение - перемещение». Анализируя данный график можно предположить, что исследуемая механическая система имеет ломаную характеристику упругой силы, т.е. на отдельных участках она сохраняет линейность, но имеет разные коэффициенты жесткости, изменяющиеся скачкообразно в точках переключения упругой характеристики. Сопоставление полученных отображений с их эталонами [9] позволило сделать заключение о виде упругой характеристики и предложить расчетную схему (рисунок 2). Так, установлено, что исследуемая модель принадлежит к классу систем с кусочно-линейной упругой характеристикой, а именно к трехзвенным системам с жесткими ограничителями.
0123456189 10
Г
Рисунок 1 - Временные процессы и отображения на фазовую
плоскость (у, у)
На динамическое поведение исследуемого класса механических систем существенное влияние оказывают величины зазоров, которые в значительной степени определяют соотношения между значениями амплитуд первой гармоники и третьей субгармоники. Как показывают исследования [5], наиболее оптимальным является выбор величины зазора, равный половине амплитуды резонансных колебаний на первой гармонике.
Такое решение приводит к оптимальной конструкции упругих связей,
обеспечивая минимальную жесткость упругих ограничителей хода.
Однако, во многих случаях величины зазоров назначаются из условий прочности.
^ЧАЛАДАИ ^\ЛЛЛ/1
а
Ь
с
к1
к
2
[\ЛЛЛ/
а
/
Ь
с
Рисунок 2 - Расчетная схема виброударного демпфера
Учитывая то, что отображения на плоскости «ускорение -перемещение» (у, у) обратно симметричны графику изменения упругой силы Я(у), параметры жесткости к1 и к2 и величины зазоров а и Ь были определены графически из анализа фазовых отображений на плоскости
(у, у) [10].
Для проверки соответствия предложенной математической модели физическому аналогу было выполнено сравнение экспериментальных и расчетных значений максимальной и минимальной частот свободных колебаний виброударного демпфера.
Выводы. Во многих случаях возникает необходимость проверки виброударного демпфера на отсутствие срыва колебаний, который может происходить при монотонном увеличении частоты внешнего возмущения по достижению резонансного значения амплитуд колебаний демпфера, либо вследствие внезапного изменения внешнего возмущения при неблагоприятных начальных условиях. С этой целью были установлены резонансные значения амплитуд колебаний на частоте основного тона и субгармоники порядка ю/ 3. Таким образом, был предложен и математически описан метод качественной идентификации демпфера.
Список литературы
1. Плахтиенко Н. П. Методы идентификации нелинейных механических колебательных систем // Прикладная механика. - 2000. - Т. 36, № 12. - С. 38-68.
2. . Kulisiewics M. Modelling and identification of non-linear mechanical systems under complex load. - Wroclaw (Poland): Oficyna wydawnicza Politechniki Wroclawickiej, 2005. - 190 p.
3. Masri S. F., Caughey T. K. A nonparametric identification technique or non-linear dynamic problems // Trans. ASME, J. Appl. Mech. - 1979. - Vol. 46. - P. 433-447.
4. Tjahjowido T., Al-Bender F., Von Brussel H. Identification of backlash in mechanical system// Proc. of the ISMA 2004. - P. 2195-2209.
5. Крюков Б. И. Динамика вибрационных машин. - К.: Наукова думка, 1967. -
210 с.
6. Volkova V. E., Schneider K. Qualitative theory and identification of dynamic system with one degree of freedom // Прикладная механика. т - 2005. - Т. 41, № 6. - С. 134-139.
7. Редько С. Ф, Ушкалов В. Ф., Яковлев В. П. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров. - К.: Наукова думка, 1985. - 216 с.
8. Проведение испытаний магистральной автомотрисы для инспекторских поездок по железным дорогам/ Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта - ОНИЛ ДППС; PL 10912678383103/0111 - 91.297 -Д.:2005.-138с.
9. Казакевич М. И., Волкова В. Е. Фазовые траектории нелинейных динамических систем. Атлас. - Д.: Наука и образование, 2002. - 94 c.
10. Пат. № 70561А Украша, МКИ 001Н1/00. Споаб визначення динамiчних характеристик пружних мехашчних систем за даними перехщних процеав / В. С. Волкова. Заявл. 09.12.2003; Опубл. 15.10.2004.
11. Кононенко В. О., Плахтиенко Н. П. Методы идентификации механических нелинейных колебательных систем. - К.: Наук, думка, 1976. - 114 с.
12. . Shilnikov L., Shilnikov A., Turaev D., Chua L. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics // World Scientific. Ser. A.: Nonlinear Sciences. - P. 2, Vol. 5. Singapore, 2001. - 587 p.
