CC BY
35
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 2 (1), с. 184-189
УДК 531.391
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ С ВИБРИРУЮЩИМ ОГРАНИЧИТЕЛЕМ
© 2012 г. О.Л. Любимцева
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет
Поступила врбдакцию 10.01.2012
Исследуются устойчивые периодические движения тела, расположенного внутри контейнера, который совершает прямолинейные гармонические колебания. Само тело совершает одномерные колебания с ударами под действием силы сухого трения, которая меняется с изменением относительной скорости по кусочно-линейному закону. Аналитически найдены условия существования и устойчивости периодических движений системы в режиме движения, не включающего фазу нулевой относительной скорости тела. Существование и устойчивость периодических движений системы в режиме движения, имеющего вышеупомянутую фазу, исследуются численно. Задача представляет практический интерес, поскольку рассмотренная схема идеализирует работу вибротрамбовок и беспружинных вибромоторов.
Ключбвыб слова: точечное отображение, периодическое движение, устойчивость.
Динамические системы с ударными взаимодействиями представляют собой сильно нелинейные системы, характерная особенность которых состоит в наличии скачкообразных изменений скоростей в определенных конфигурациях. Указанные особенности делают мало приемлемым применение к их изучению известных методов типа гармонической линеаризации, малого параметра и усреднения. Напротив, использование метода точечного отображения оказалось естественным и достаточно эффективным, что находит подтверждение в данной работе.
1. Уравнения движения
Принимаемая для исследования модель приведена на рис. 1. Она состоит из подвижного тела массой т, расположенного внутри контейнера, которое движется горизонтально с помощью ленточного механизма за счет силы сухого трения, зависящей от относительной скорости F(V), где V = У0 — х, У0 - постоянная скорость ленты. Будем считать (см., например, [1])
F (V) =
F0 -5^
0 < V < 2К.
5 = const > 0 .
т(х + ^іп ют )"=р V - х), х < 0, X < V0,
т
X = 0, х < 0, X = V0, Х+ = -Лх~, х = 0,
(1)
(2)
(3)
тела имеют вид (координата х отсчитывается от тела):
где R — коэффициент восстановления скорости
тела при ударе; х+ и х- — скорость тела после и до удара соответственно, т - время, А, ю - постоянные. Для поступательного движения массы т к ограничителю (и от ограничителя после удара) должно быть выполнено условие Аю2 < F0. При
1—а.
этом х < V0. Тогда величина ц = -
<1, где
а„
р0 -5 VI, V > 2^.
Естественно предположить, что х < V0, тогда V < 2^. Движение тела перемежается с ударами об ограничитель - правую стенку контейнера, который совершает прямолинейные гармонические колебания. Уравнения движения
РБ)
-, характеризует крутизну зависимо-
сти Р(У) при V = У0. Нетрудно видеть, что
(
Р(К - х) = р0 ас
і х^
1 + ц— V
V *0 у
. Тогда уравнение (1)
т .. , х тю А . принимает вид ------х = 1 + ц---+ —----8ІП ют .
Р а
1 0^0
Введем безразмерные переменные y =
mra
F a
і o^-o
mra2 A F0a0
t = ют; параметры є =----------, q = ц-----— и пе-
Fa J 0^0
репишем систему (1)-(3):
maV„
•• , • ^ • ц
y = 1 + qy + є sin t, y < 0, y < —,
Ц
y = 0, y < 0, y = -
q
y + =-Ry-, y = o.
(1')
(2')
(3')
X (t) =
( 1 1 1 -(eqt -1)
q
0 eqt
J=
-R
где u+ = 1 + qx2 + s sin t0, t0 - момент удара. Тогда, согласно [2, стр. 224], матрица Z = X {2im)-J =
- R +
(e27nq-1)(u ++ Ru-)
qx-
e2mq (u ++ Ru^)
R
-Л (e 2юя1 -1) q
- e2™1 R
Л
представляет собой линейную часть отображения Пуанкаре в окрестности неподвижной точки. Характеристическое уравнение имеет вид: р2 — Я1р + а2 = 0, где
а1 = trZ = -R(e "nq +1) +
(e2wni-1)(u ++ Ru-)
qx2
a = det z = R2e 2™q
(4)
Условие асимптотической устойчивости |pij2| < < 1 можно записать в виде [2] |a1 < 1 + a2 < 2, т.е.
- R(e ~q+1)+ (‘"щ- 1)(u ++ Ru І
qx-
(5)
< 1 + R2e2mq < 2.
Учитывая, что
2. Периодические движения без участка совместного «скольжения» тела и ленты
Для нахождения условий существования и устойчивости периодических режимов применим метод «сглаживания» ударных взаимодействий [2]. При этом предполагаем, что наложенная на систему неудерживающая односторонняя связь у < 0 проявляет себя лишь в моменты соударений. В этом случае условия удара в момент t = t0 таковы: у(^ - 0) = 0, у(/0 — 0) = у— > 0 . Будем сопоставлять с периодическим движением пару целых чисел (п,М), если его период 2пп и тело испытывает в течение этого времени k ударов. Рассмотрим случай
• — М
k = 1. Пусть сначала у < —, т.е. исключим из
q
рассмотрения фазу относительного покоя тела т. Перепишем уравнение (1') в виде
[ Х2 = 1 + qx2 + s sin t. Фундаментальная матрица решений линейной системы X = AX выглядит так:
u ++ Ru = 1 - Rqx2 +s sin t0 +
+ R(1 + qx- + s sin t0) = (1 + R)(1 + s sin t0), и раскрыв модуль в соотношении (5), приведем его к виду
(1-R){Rell'm -1) <
< (1+R)(1+Re27™1), 1- RV^ > 0.
(e2mq-1)(1 +R)2(^sinf„) 2nnq
(6)
Найдем значения скорости х2 и момента удара t0, при которых существует периодическое движение рассматриваемого типа. Решение уравнения (1') с начальными условиями у(^) = 0, у(?0) = у($ 0 + 0) имеет вид
уЦ) = —Ц- (— qh(t0) + h(t0) + qh(t) — h(t)) +
1 + q2
1
+ — q
y(to + 0) + (qh(to) + h(to))+ -1 x (7)
і 1 ~ qJ
1+q
x(eq(t-to) - 1)--1 (t - to),
Матрица удара в соответствии с [2, формула (7.49)] имеет вид
С - R 0 ^ u + + Ru ~
где h(t) = є sin t. При этом
y(t) = --г1-^ (qh(t) + h(t)) + (y(t o + 0) +
1 + q
(8)
+ A ^(O + h(0)) + - e л('-'0) - -
1 + q q q
Для периодического движения с периодом T имеем
y(t0 + T - 0) = x2 =
1
Л
h(t o) + qh(t o)
+
+1 (eqT -1)+ eqTy(t0 + 0) q
или
x
q
<
<
x1 = x2
x
2
x
2
1 + q
~т (h(to) + qh(t0))+1 |х
Тогда
х(е1Т — 1)—Ях— е1Т.
И — (h(to) + цк« 0))+-1
\ 1 + ц ц
1 + Яе1Т
С другой стороны, + Т) =
х(еqT — 1)+(еqT — 1)у (to + 0) — т = 0,
откуда
---2 (^ 0) + qh(to))+ _](е1Т —1)
2 1 + R 1 + R
Далее, учитывая (11), из (10) имеем
2жп + 2%?Я (е21'пЦ — 1)
Лк)+ллс/е)) 1 1 + я ( '
1+1
1_+Я_
2япц
или
cos t0 + ц sin t0 =
1 е2яп1 —1
(2лпц^1 —1)(1 + ц2) еЦ
1 + Re2%rщ
где ^ ;--------------. Из (12) находим
^ (е2™1—1)(1 + R) 1 '
sin(а +10) =
д/1 + 12 (2%пц^ — 1)
еЦ
а = arcsln
л/1
+ 1
Окончательно для момента удара имеем
. ^1 + 12 (2^пц^1 — 1)
еЦ
1
— arcsm
V1
. -у/1 + 12 (2%пц^1 — 1)
еЦ
— arcsm
V1
+1
е > -
-^1 + ц2 2%пцЕ,1 —1|
Заметим, что границу К+1 существования
е = -
^1 + ц2 2%пцЕ,1 —1|
(16)
-. (9)
2^0, + qh(to )/ +- „
1+1 ц; (10)
= т + Ях2— (е1Т — 1).
Подставив (10) в выражение (9), получим
— Т 2%п
(11)
можно было найти из соотношения 1 — а1 + а2 = 0 [3], где коэффициенты а1 и а2 определены в (4). Границу (16) также легко получить непосредственно из уравнения (12). Далее, при подстановке значения (16) в характеристическое уравнение р2 — а1р + а2 = 0 с учетом (11) и (13) полу-
1 г> 2 2ппп
чим корни р1 = 1; р2 = R е , что согласуется с общей теорией.
Найдем границу устойчивости К—1. Из (6) имеем
1+е Ш> 2т;0- Я)Я 1 ”;—О. (17)
0 (е2 ”"’ — Щ + я)
Исключив фазу ^ и разрешив неравенство
(17) относительно е, получим
^ ^(2лпц^1 — 1)2 +16%2п2ц4^2 ,
е <-
где £ 2 =
(1 + Я 2е2дп1)2
(12)
(е2жпЦ — 1)2 (1 + Я)4 '
Границу К—1 устойчивости
^ (2%пц^1 — 1)2 +16%2п2ц4^2 (18)
е = -
(13)
можно было найти из соотношения 1 + а1 + а2 = 0 [3], где коэффициенты а1 и а2 определены в (4). При подстановке значения (18) в характеристическое уравнение р2 — а1р + а2 = 0 с учетом (11) и (13) получим корни р1 = —1; р2 = —Я2е2™л, что согласуется с общей теорией.
Итак, в случае движений, не включающих участок совместного «скольжения» тела и ленты, имеем аналитическое описание периодических движений системы:
а) вид однократных неподвижных точек отображения Пуанкаре, соответствующих движениям (1, п):
— 2%п
1 + Я
(14)
, • л/1 + 12 (2топП^1—1) • 1 (*)
t0 = arcsm---------------------arcsl^^^=, (*)
е1 л/1+12
— 2%п
1 + Я ’
Найдем границу К+1 области существования неподвижной точки. Из (6) имеем
{е2кщ —1)(1+R)(l + еslnt0 )< (1+Яе2яп1)2ли1. (15) Исключив фазу ^ и разрешив неравенство (15) относительно е, получим
и = % — arcsm
. д/1 + 12 (2%пц^1 — 1)
ец
(**)
— arcsm
V1
х2 =
х2 =
1
1
х2 =
1
где £і =-
1 + Re
2лпц
(e2mnq -1)(1+R)
_ ц 2лпі
; х,<- (т.е. Ц>—); 1 1+R
б) вид их N+1 границ существования [З]
Vі + q2 |2лп1^1 -1 є =--------------1 = f (n R, q);
q
в) вид границ устойчивости (N-1 граница) є = ^ 1 -J(2лпі£, 1 - і)2 + 16л2п2q4£,2 =
= fi(n, R, q),
(l + R 2e2mq)2
(е2nnq -1)2 (1 + R)4 ’ г) характеристическое уравнение для неподвижных точек (*) и (**) имеет вид
р2 + [R(е2яил +1)- (1 + R) X
V ’ 2%nq (19)
x (е2xnq -1)1 + s sin t0 )]р + R2e2™q = 0. Заметим также, что если неподвижная точка (**) существует при е > fn, R, п), то она является седлом (pi > 1, 0 < р2 < 1, pi, р2 - корни (19)). Неподвижная точка (*) в области существования вблизи границы fn, R, п) является устойчивым фокусом (0 < |p1,2| < 1, р 1,2 е C). При переходе через границу f1(n, R, п) она превращается из устойчивого фокуса в седло
(p1 < - 1, - 1< p2 < 0) и, согласно общей теории [3], из нее рождается пара двукратных устойчивых неподвижных точек. Затем устойчивая двукратная неподвижная точка может прийти на свою границу устойчивости N-1, и из нее рождаются 4-кратные неподвижные точки и т.д.
3. Периодические движения, включающие участок совместного «скольжения» тела и ленты
2rcnq
Если ц <------- и существует периодическая
1 + R
траектория, то она необходимо включает интервал «скольжения» (т.е. интервал совместного движения тела и ленты). В этом случае непод-
( - Ц
вижной точкой является пара I х2 =—, t0 I, где
I q )
t„ - начальная фаза. Тогда, согласно (8), должно быть разрешимо уравнение
y(t) = - —Ц- (q h (t) + h(t))+
1 + q2
+ I - R Ц +
—(qh('o)+h('o))+ -1
1 + q qJ
+q
eq('- 'o) -1 = Ц q q
относительно t на интервале (^, t0 + 2пп). Если * / \ * t - корень (20) , то при t > t скорость тела т
М
постоянна и равна скорости ленты — . При этом
1
должно выполняться условие у^ ) < 0. Получим соотношение, из которого находится начальная фаза ^. Если ^ < t < {, то тело движется согласно уравнению (7). Далее, при { < t < ^ + 2пп движение тела описывается уравнением
у«) = ^ — t *) № *) + уЦ *)
или
^ — t * ) — + * ).
При замыкании траектории имеем
у(^ + 2%п) = (^ + 2%п — t *)— + у ^ *) = 0,
1
откуда получаем
уЦ*) = ^*- to - 2%п)ц. (21)
q
Таким образом, можно найти искомую начальную фазу ^, совместно решая уравнения (20) и (21). При этом выразить в явном виде ве-
* *
личины t и t0 не представляется возможным. Найдем условия существования и устойчивости периодических режимов, включающих участок относительного покоя тела т. В работе [4, стр. 220] приведена формула для вычисления скачков матрицы фундаментальных решений Х(і) при переходе к фазе «скольжения»
(1 0 ^
X (t *+ 0) =
v0 0J
X (t *- 0).
В нашем случае
Г1 01
v 0 0 J
X (t *+ 0) =
Л ґ
1 - (eq' - і)
q
0
e
q'
1 - (eq' -1)
q
0 0
Л
где t > t . Снова используя [2, формула (7.49)], получим матрицу удара
Г — я 0 ^
J=
-R
- + - Ц
где u = 0, u = 1 - Ria + єsin'0; x2 = —.
q
Тогда
+ -|x (20) q
z = X (2лп) • J =
Г- r + (e2ni - l)(l - R^‘ + є sinto) - R (e2^qn -Ц Ц
x
2
л
Условие асимптотической устойчивости
можно записать в виде
- Я +
(е271^ - 1)(1 - Яц + Є 8ІП t0)
ц
< 1.
Дальнейшее аналитическое исследование вряд ли целесообразно, и следует обратиться к численным экспериментам. В результате последних (см. ниже) было установлено, что если в некоторой области параметров е, п, ц точечное отображение имеет неподвижные точки, то их
две: \ —, t01 | и \ —, t02 |, одна из которых устой-
и ; и ;
чива, другая - нет. При этом неустойчивая имеет начальную фазу ^*2 е ; устойчивая точ-
. Г 3%|
ка t01 е I %,~ I, что вполне согласуется с качественными соображениями (см., например, [5, стр. 37-41]).
4. Численное исследование областей существования и устойчивости периодических движений системы
Пусть Я и п фиксированы, параметр п удовлетворяет нижнему из неравенств (6). Обозначим через G область существования и устойчивости периодических движений, не включающих участок относительного покоя тела т. Выше было доказано, что если точка (ц, е) е G, то
г * л-. * 2—711
для всякого значения —е [— ;1], где — =-------,
1+ Я
точечное отображение имеет устойчивую неподвижную точку (х—; t0). Координаты х— и t0 вычисляются согласно (11) и (13). В результате численных экспериментов было установлено, что для каждой точки (ц, е) е G найдется значе-*
ние ц < ц из некоторого интервала, для которого в системе существует устойчивое периодическое движение, включающее участок относительного покоя тела т. Таким образом, при подходящих ц для любой точки из области G в системе имеются устойчивые периодические движения обоих типов. Пусть Н - область существования и устойчивости периодических движений, включающих участок относительного покоя тела т. Тогда G с Н и для точек (ц, е) е Н \ G в системе имеются устойчивые периодические движения, включающие участок совместного «скольжения» тела т и ленты. Для каждой такой точки существует интервал ц* < ц < < ц*, такой, что точечное отображение имеет
^ . — * . устойчивую неподвижную точку \ —; t0 |, где
начальная фаза t0 находится из системы уравнений (20), (21).
Пример. Пусть Я = 0.6; п = 1. Второе из неравенств (6) выполнено при п < 0.163. Область G находится из условий (16), (18) (см. рис. 2). 2%п1
Для всех — > —* = ——— точечное отображение имеет устойчивую неподвижную точку (х—; 10), такую что х— < — ; t0 е | %, 3% |. Так, для п = 0.12
q
имеем: 0.429 < є < 1.031; ц* =
2%nq 1 + Я
0.471. Ес-
ли ц > 0.471, то, например, для є = 0.7 в системе существует устойчивое периодическое движение: х- « 3.927 ; t0 ~ 4.229.
Для нахождения области Н (рис. 2) существования и устойчивости периодических движений с участком относительного покоя тела т перебирались значения є с шагом 0.001. Далее, для различных значений параметра ц < ц из системы уравнений (20), (21) находилась начальная фаза t*1, соответствующая устойчивой
неподвижной точке
—;С |. Так, если е = 0.7 е
е G с Н; п = 0.12, то для любого значения — е (0.407;0.471) в системе существуют устойчивые периодические движения с участком «скольжения». Например, если ц = 0.47, то точ-
(
ка
ц = 047 ц = 002
: 3.917;С « 4.218
Л
является ус-
тойчивой неподвижной точкой отображения Пуанкаре при движении, включающем участок относительного покоя тела т. При этом а1 = = 0.356 < 1.
Если точка (п, е) попадает в область H\G, то в системе имеются устойчивые периодические движения только при наличии участка относительного покоя тела т. Например, если п = 0.12; е = 1.3 е Н \ G, то для любого значения — е (0.215;0.284) в системе имеются устойчивые периодические движения только при наличии «скольжения». Так, если ц = 0.25, то имеем:
х2— =—=—И2.083, ^ И3.809 (Ы = | - 0.396| < 1 0.12
< 1). Кроме того, как отмечалось ранее, для тех же значений параметров существует и неустойчивая неподвижная точка. В данном случае это
точка | — « 2.083;« 3.006 |. Тогда имеем а\ =
а =
Динамика изменения величины интервала параметра ц при изменении е, при которых в системе существуют устойчивые периодические движения при наличии «скольжения», изображена на рис. 3. Начиная с некоторого значения параметра п длины |ц1, ц2| таких интервалов уменьшаются. В частности, если Я = 0.6; п = 1, то начиная с п ~ 0.85 для всех значений е имеем |ц1, ц2| < 0.001 (на рис. 2 область Н построена именно до этой «границы»).
Заметим в заключение, что при увеличении п и Я области G и Н уменьшается «критическое» значение п в соответствии со вторым неравенством (6) (на рис. 2 эти области при п = 2 отмечены пунктирной линией). При уменьшении параметра Я указанное значение параметра п увеличивается, а соответствующие интервалы для е уменьшаются, что подтверждается численными экспериментами.
В заключение автор выражает глубокую признательность Баландину Д.В. за постановку задачи и внимание к работе.
Список литературы
1. Баландин Д. В. Фрикционные автоколебания в зазоре // Изв. РАН. Сер. «Механика твердого тела». 1993. № 1. С. 54-60.
2. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: «Международная программа образования», 1997. 336 с.
3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1972. 472 с.
4. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. 304 с.
5. Кобринский А.А., Кобринский А.Е. Двумерные виброударные системы. М: Наука, 1981. 336 с.
PERIODIC MOTION STABILITY OF A SYSTEM WITH A VIBRATING STOPPER
O.L. Lyubimtseva
We study stable periodic motions of a body placed inside a container that performs rectilinear harmonic oscillations. The body itself performs one-dimensional oscillations with impacts under the action of dry friction force which varies with the relative velocity following the piecewise-linear law. We have found analytically the conditions of existence and stability of system periodic motions in a mode of motion that does not include the phase of the body zero relative velocity. The existence and stability of periodic motions of the system in a mode of motion that includes the above-mentioned phase are investigated numerically. The problem is of practical interest, since the considered scheme idealizes the performance of vibrorammers and springless vibration motors.
Keywords: point mapping, periodic motion, stability.
