Исследование периодических движений и структуры фазового пространства фрикционных автоколебаний методом точечных отображений Текст научной статьи по специальности «Физика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (1), с. 156-159

УДК 531.391

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И СТРУКТУРЫ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ФРИКЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

© 2011 г. О.Л. Любимцева

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

та^Ы[email protected]

Поступила в редакцию 04.03.2011

Исследуются области существования и устойчивости периодических решений и структура фазового пространства системы, совершающей одномерные колебания с ударами о неподвижный ограничитель под действием силы сухого трения, которая меняется с изменением относительной скорости по кусочно-линейному закону. В работе показано, что возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы, т.е. данная система является автоколебательной. Задача представляет практический интерес, поскольку рассмотренная схема идеализирует работу вибротрамбовок и бес-пружинных вибромоторов.

Ключевые слова: точечное отображение, неподвижные точки, устойчивость.

В различных областях современной техники широко используются устройства с соударяющимися элементами. По сравнению с анализом конкретных динамических систем с непрерывным изменением переменных, где удается для простых систем достичь полной ясности при изучении качественной структуры и ее зависимости от параметров, в динамических системах с ударными взаимодействиями ситуация иная даже для простых модельных систем. Изучению таких систем посвящено большое число работ, в которых были найдены, в основном, области существования (в пространстве параметров) разнообразных типов движения. Однако в целом пространства параметров исследованы не были, тогда как изменившиеся представления о возможностях динамики систем с ударными взаимодействиями позволяют с иной точки зрения взглянуть на конкретные динамические системы и получить ряд новых интересных закономерностей и выводов, имеющих важное значение для практики (см., например, [1-3]).

Примером динамической системы с ударными взаимодействиями может служить осциллятор, совершающий фрикционные автоколебания в зазоре под действием силы сухого трения, которая меняется с изменением относительной скорости. В работе [3] в предположении о малой крутизне характеристики силы сухого трения с помощью приближенных методов (разложением соответствующих функций в степенные ряды) определены значения коэффициента восстановления скорости тела при ударе о стенки зазора, при которых в системе возможен устой-

чивый периодический режим. В данной статье изучается структура пространства параметров осциллятора с одним неподвижным ограничителем (рис. 1). При этом использование метода точечных отображений оказалось естественным и достаточно эффективным.

1. Уравнение движения. Рассмотрим следующую механическую систему с одной степенью свободы: имеется масса т, которая двигается горизонтально с помощью ленточного механизма. Если обозначить смешение тела через х, а его скорость через X, то сила трения, действующая на массу т, как функция относительной скорости (V - X) может быть записана: F(V) = = F (V - X), ¥0 — постоянная скорость ленты [4]. Движение массы т перемежается ударами о неподвижную твердую стенку. Удары предполагаются мгновенными и характеризуются коэффициентом восстановления R, который может находиться в промежутке 0 < Я < 1. Математическая модель этой системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка с соответствующими граничными условиями: тх = F (vо - х|)зign (уо - X) при х < 0, X Ф У0,

X = 0 при х < 0, X = У0, х- = -Ях+ при х = 0. где х-, х+ — скорости тела до и после удара соответственно.

Будем считать [3], что F(V) определяется выражением (см. также рис. 2)

ГF0 -5У, 0 < V < У,,

F (V) =

Fо-5^, V > V..

5 = сопб! > 0

Рис. 1

н

Рис. 2

Рис. 3

После удара сила трения F (V) растет до полной остановки тела (F(V) = F(V,,)). Далее, при движении тела вправо F(V) > F(¥0). Введем безразмерные переменные у, т и параметры ц, п0:

Fn а 0 Fnа 0 1 -а

•У = *-ттЬ т = ^-ІГ71, Ц = -

V - V

0 По = К° Кі

F (Уо).

' ' а0 ' '° ^0

а ° характеризует крутизну

зависимости F(У) при V = Vо. Тогда уравнения движения массы т преобразуются к виду 1

У =

Fо а о

F Ы1 - у|) sign(1 - У)

(1)

(2)

при у < 0, у Ф1, у = 0 при у < 0, у = 1,

У- = -Ку+ при у = 0. (3)

В дальнейшем будем предполагать, что ^0 =-1. Тогда V1 = 2У0, и рабочим является только падающий участок характеристики силы трения. С другой стороны, должно выполняться условие F0 - 5 V > 0. Поскольку 5 =

(1 - а 0)F0

- 00 и V = 2У0 , это условие эквива-

мы двумерно: (у,у). Область движения изображающей точки ограничена в фазовом пространстве линией ударного взаимодействия у = 0. Целесообразно поэтому для изучения решений системы (1)—(3) исследовать точечные отображения этой поверхности (см., например, [4]).

2. Точечное отображение. Обозначим через А (0 , у0) начальную, а через В (0 , у) - конечную точку точечного преобразования Т (рис. 3). Ударными взаимодействиями (3) точка А переводится в точку С ( 0, - Яу0), затем точка С переводится фазовыми траекториями уравнения (4) в точку В. Таким образом, у = Т (у0). Найдем общее решение уравнения (4), удовлетворяющее в начальный момент времени условиям у(0) = 0 , у(0) = -Яу0. Путем замены у = г уравнение приводится к виду у = г г = 1 + ц г.

Г-Р dz 1 + Ц 2

Т огда — =----------------------—

откуда с учетом на-

лентно неравенству а0 > —. Так как ц=ц(а0) —

убывающая функция а0, то неравенство а0 > 1

(а значит, и неравенство F0 -5^ > 0) выполняется тогда и только тогда, когда ц < 1. Далее, так как V < У1 (по предположению) и у < 1, то уравнение (1) приводится к виду

у = 1 + цу . (4)

Если при достижении поверхности у = 0 значение у > 0, то в системе происходит ударное взаимодействие, при котором у_ = -Яу+. Фазовое пространство рассматриваемой систе-

му г чальных условий находим

1Г • п • 11 1 - я цу 0

у = -I у + Яу0 +_^—• ц I ц 1 + цу

Положив в (5) у = 0, получим уравнение отображения у = Т (у0) для случая у0 < 1:

(5)

у + Ку 0 +-----------1п

1 1 - К Цу 0

= 0.

(6)

ц 1 + цу Неподвижные точки этого преобразования (рис. 4) получаются как решения у 0 уравнения

(1 + К ) у 0 +

^1п 1 - К Цу 0 = 0.

(7)

ц 1 + цу 0 Вычислив значение производной функции у

в соответствии с (6) в неподвижной точке у0

Лу ( у , ) = Я 2(1 + цу 0* )

dу

1 - К Цу 0*

где а0 =

0

158

О.Л. Любимцева

ил О2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 № 0,9

Рис. 6

у 1,6

1А 1,2 1

ш

0,6

0,4

0,2

О

Рис. 7

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,3 0,9 1 Уъ

Рис. 8

заметим, что точка у0 является устойчивой, если

К (1 + Ц у 0* )

< 1.

(8)

1 - я ц у 0

Так как точечное преобразование является монотонно возрастающей функцией (при ц <1 ), то могут существовать лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости [6].

3. Периодические движения системы. Рассмотрим случай, когда скорость тела т достигает скорости ленты до поверхности удара, т.е. у0 = 1 (рис. 5). Из уравнения движения (5) следует, что если существуют устойчивые периодические движения у = у0 = 1, то должно выполняться неравенство

Последнее неравенство выполняется для всех 0 < у < 1. Это означает, что, начиная с некоторого момента времени (другими словами, начиная с некоторого значения у < 0), движение тела т подчиняется уравнению (2). Таким образом, имеем у = 1. Следовательно, в системе имеются устойчивые периодические движения у = у0 = 1 в том и только том случае, если выполняется неравенство (9). Решения неравенства (9) образуют область ^), указанную на рис. 6. Для любой пары (Я, ц) из этой области существует вышеуказанный тип периодических движений. Точки (Я, ц0), принадлежащие разделительной кривой, есть решения уравнения

1 + К + ііпі-ЦК < 0.

1 V 1 1 1 - ЦК п 1 + К + — 1п-------------— = 0.

(9)

ц 1 + ц

Обратно, пусть выполнено неравенство (9). Заметим, что функция / (у) = у + Я + — ¡п1——

ц 1 + цу

является возрастающей, поскольку /'(у) = 1 ------1— > 0. Тогда, полагая в (5) у0 = 1, будем

1 + цу

иметь

1 Г • „ 1,1 - цЯ

у = -! у + я + — 1п-—— ц I ц 1 + цу

< 1

1,1 - ЦК

1 + К +—1п—— Ц 1 + Ц

Л

< 0.

, (10) ц 1 + Ц

Они разбивают пространство параметров (К, ц) на две области и являются бифуркациями этого пространства. Для каждой точки (К, ц ) имеется полуустойчивый цикл у* = 1. Заметим, что для значений К < Кёд « 0.59 (рис. 6) не найдется значения ц < 1, при котором в системе имеется предельный цикл, отличный от тривиального устойчивого цикла у* = 0. Далее предполагаем, что К > Ккр .

1) Пара (К, ц) не является решением неравенства (9) (область (Н) на рис. 6; точки (К, Ц) для определенности будем выбирать на верти-

кальной прямой, содержащей точку ц0 ). В этом случае ц < ц0 и точечное преобразование у = Т (у0) имеет только одну неподвижную точку - устойчивую точку у0 = 0 . Действительно, так как (9) не выполнено, то в системе могут быть лишь неподвижные точки, для которых у0 < 1. Если у* ф 0, то из равенства ц° = цу° получим у* > 1, что невозможно. Характерный вид диаграммы Кенигса-Ламерея для этого случая представлен на рис. 7 при Я = 0.8; ц = 0.2. Заметим, что изображающие точки фазовых траекторий стремятся к у* = 0 , т. е. имеем затухающие движения.

2) Пусть точка (Я, ц) является решением неравенства (9) (область ^) на рис. 6). При этих значениях параметров Я и ц точечное преобразование имеет три неподвижные точки, две из которых являются устойчивыми: у0* = 0 и

у0*2 = 1, а третья — неустойчивой 0 Ф у*1 < 1. Последнюю точку можно найти из равенства ц* = цу0 (в этом случае ц* < ц). Покажем, что она является неустойчивой. Действительно, если у0* устойчива, то, согласно (7), имеем Я 2(1 + цу 0*) Я 2(1 + ц*)

1 - R Цу 0 1 - R Ц

< 1.

точке ц :

Если R

1

1 + Ц

-, то R(1 + ц*) - 1 <

Легко показать, что последнее неравенство

эквивалентно условию Я < —. Используя

1 + ц

равенство (10), вычислим производную Я' в

R;(ц*) = - R) *, (R(1+ ц*) -1). ц R (1 + ц )

<----- (1 + ц *) -1 = 0. Но тогда функция Я(ц)

1 + ц

возрастает в точке ц , что противоречит убыванию Я(ц) для всех 0 < Я < 1 (рис. 6). Следовательно, точка 0 Ф у0* < 1 является неустойчивой. Соответствующая диаграмма Кенигса-Ламерея приведена на рис. 8 при Я = 0.8; ц = 0.6. Заметим, что в этом случае изображающая точка фазовой траектории при 0 < у0 < у01 приближается к точке у0* = 0 . Если у0 1 < у0 < 1, то изображающая точка приближается к точке у 02 = 1.

Автор выражает благодарность Баландину Д.В. и Горбикову С.П. за постановку задачи и внимание к работе.

Список литературы

1. Горбиков С.П. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 3. С. 23—26.

2. Горбиков С.П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с зазором и неподвижным ограничителем // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 44—50.

3. Баландин Д. В. Фрикционные автоколебания в зазоре // Изв. РАН. Сер. «Механика твердого тела». 1993. № 1. С. 54—60.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

5. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. № 1, 2.

6. Гаушус Э.В. Исследования динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука,

1976.

1

<

INVESTIGATION OF PERIODIC MOTIONS AND PHASE-SPACE STRUCTURE OF FRICTIONAL SELF-OSCILLATIONS BY POINT MAPPING METHOD

O. L. Lyubimtseva

We study the existence and stability of periodic solutions and the phase space structure of a system performing one-dimensional forced oscillations with impacts on the fixed stopper under the influence of dry friction force which varies with the relative velocity by piecewise-linear law. The problem is of practical interest since the scheme considered idealizes the performance of vibrorammers and springless vibration motors.

Keywords: point mapping, fixed points, stability.