Фрикционные автоколебания в виброударной системе с сухим трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.391

ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В ВИБРОУДАРНОЙ СИСТЕМЕ

С СУХИМ ТРЕНИЕМ

SELF-EXCITED FRICTIONAL OSCILLATIONS IN VIBROIMPACT SYSTEM

EXHIBITING DRY FRICTION

О. Л. Любимцева

O. L. Lyubimtseva

ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет», г. Нижний Новгород

Аннотация. Исследуется горизонтальное движение тела с ударами, которое осуществляется посредством подвижной массы, располагающейся на теле, при наличии сил сухого трения. Методом точечного отображения найдены области существования и устойчивости периодических движений системы.

Abstract. The article examines the horizontal motion of the body with punches. The motion is performed by the moving mass that is located on the body under the dry friction forces. The domains of existence and stability of periodic motions of the system are revealed by the method of point mapping.

Ключевые слова: динамическая система, точечное отображение, периодическое движение, устойчивость.

Keywords: dynamic system, point mapping, periodic motion, stability.

Актуальность исследуемой проблемы. В различных областях современной техники широко используются устройства с соударяющимися элементами. Они применяются в машиностроении, строительстве, при механизации различных работ в сельском хозяйстве и т. д. В этой связи целью нашей работы является исследование области существования, устойчивости периодических решений и структуры фазового пространства системы, совершающей одномерные вынужденные колебания с ударами о неподвижный ограничитель под действием силы сухого трения.

Материал и методика исследований. Динамические системы с ударными взаимодействиями представляют собой сильно нелинейные системы, характерная особенность которых состоит в наличии скачкообразных изменений скоростей в определенных конфигурациях. Указанные особенности делают малоприемлемым применение для их изучения известных методов типа гармонической линеаризации, малого параметра и усреднения. Напротив, использование метода точечного отображения оказалось естественным и достаточно эффективным, что нашло подтверждение в данной работе.

Результаты исследований и их обсуждение.

1. Уравнения движения. В системе с одной степенью свободы неизменяемое тело массы m движется горизонтально с помощью ленточного механизма под воздействием

силы сухого трения Г (V), зависящей от значения относительной скорости V = V0 - х , где V, - постоянная скорость ленты, причем движение перемежается ударами тела о неподвижный недефор-мируемый ограничитель В (рис. 1).

Удары предполагаются мгновенными и характеризуются коэффициентом восстановления в промежутке 0 < Я < 1. Математическая модель этой системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка с соответствующими граничными условиями (сравни [1]):

тх = Г (V) при х < 0, х ф V0, х = 0 при х < 0, х = V,, х- = -Ях+ при х = 0.

Здесь х - перемещение тела т, отсчитываемое от ограничителя. Будем считать, что Г(V) = Г0е_1(^°-х), где Г0,1 - постоянные (рис. 2). Введем безразмерные переменные у, Т и параметр /л :

Г (V)

у =

Гр

V2 т

х, т = -

m=1Vo.

В этих переменных уравнения движения преобразуются в вид (точка означает дифференцирование пот):

у = е “л(1-у) при у < 0, у ф 1, (1)

у = 0 при у < 0, у = 1, (2)

у- = -Яу+ при у = 0. (3)

Если при достижении ограничителя у > 0, то в системе происходит ударное взаимодействие по формуле у- = -Яу+ . Фазовое пространство рассматриваемой системы двумерно (у, у). Область движения изображающей точки ограничена в фазовом пространстве поверхностью ударного взаимодействия у = 0. Поэтому для изучения решений системы (1)-(3) целесообразно исследовать точечные отображения этой поверхности (см., напр., [2]).

2. Точечное отображение. Обозначим через А ( 0 , у0) начальную, а через В ( 0 , у) -конечную точки точечного преобразования Т (рис. 3). Ударными взаимодействиями (3)

точка А переводится в точку С ( 0, -Яу0), затем точка С переводится фазовыми траекториями уравнения (1) в точку В . Таким образом,у = Т(у0). Найдем общее решение уравнения (1), удовлетворяющее в начальный момент времени условиям у(0) = 0 , у(0) = -Яу0. С помощью замены у = 2 уравнение приводится к виду

т(1 - г)

сЬ

Тогда — = 2е т(1-2) . Откуда с учетом начальных условий находим уравнение дви-су

жения массы т в промежутке между двумя последовательными ударами:

У = -

У + — Є т

т(1-У)

,т(і+ яУо)

(4)

Положив в (4) у = 0, получим уравнение отображения у = Т (у0)

1 -лЯу0 - (1 + лу)ет ^ = 0. (5)

Заметим, что отображение (5) определено для значений л, Я, у0, таких, что 1 - тЯу0 > 0 . В противном случае, как видно из общего решения (4), для любых значений у имеем у < 0 . Последнее означает, что сила трения Я^) достаточно мала для того, чтобы тело вернулось к ограничителю за конечное время.

Неподвижные точки точечного отображения (рис. 4) получаются как решения у * уравнения

1 -ту о- (1+т& о)є

-тУо(і+к) _

= 0.

Последнее уравнение перепишем в виде

1 + ■

1

ту о

йу

я -

1

ту о

тУо(1+я) _

= о.

(6)

я У о (1 + тУ)

Так как

> о, то ото-

су 0 у (1 - Я ту 0)

бражение у = Т (у 0) является монотонно возрастающей функцией и может иметь лишь неподвижные точки чередующейся устойчивости [3]. При этом неподвижная точка у * является устойчивой, если выполнено условие

Я 2(1 + ту 0*)

1 - яту *

< 1.

(7)

+

3. Фаза совместного движения тела и ленты.

Рассмотрим случай, когда скорость массы т достигает скорости У0 ленты до удара об ограничитель, т. е. у = 1 (рис. 5) при у < 0 . Из уравнений (4) и (5) следует, что если существуют устойчивые периодические движения у = у0 = 1, то с необходимостью должны выполняться неравенства

1 + — + [ Я - —

т(1+ Я)

> 0; 1 - /иЯ > 0 .

(8)

и \ и

Покажем, что выполнение условий (8) достаточно для существования вышеуказан-

ных движений. Для этого заметим сначала, что функция /(у) =

(

у+-

\

еи у) является

убывающей функцией от у, так как /'(у) = -цуем(1 у) < 0 . Тогда, полагая в (4) у0 = 1, имеем

у=

1

у + -Г и

1

<-1 и

и

1 + — + [ я - — Ги(1+Я)

и

< 0.

,и(1-У) +Я -^^и(1+Я')

Последнее неравенство выполняется для всех 0 < у < 1. Это означает, что начиная с некоторого момента времени (другими словами, начиная с некоторого значения у < 0) движение массы т подчиняется уравнению (2). Таким образом, имеем у = 1. Следовательно, в системе имеются устойчивые периодические движения у = у 0 = 1 тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (8). Решения неравенств (8) образуют область О , указанную на рис. 6.

Для любой пары (Я,/и) из этой области имеется вышеуказанный тип периодических движений. Точки (я,и*), принадлежащие кривым (1) и (2), разбивают пространство параметров (Я, и) на три области и являются бифуркациями этого пространства. При этом кривая (1) есть и = ^, а точки (2) являются решениями уравнения

С

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Риг. й К

1 + — + и

и(1+Я) _

=0.

(9)

4. Классификация движений системы. Пусть точка (я,и) не является решением неравенств (8) и выполнено условие 1 - иЯ > 0 (область (Н) на рис. 6; точки (Я, и) для определенности выбираем на вер-

Ч-/ Ч-/ Ч-/ * \

тикальной прямой, содержащей точку и ). В этом случае и<М* и точечное преобразование у = Т (у 0) имеет только одну неподвижную точку - устойчивую точку у * = 0 .

е

Действительно, так как (8) не выполнено, то в системе могут быть лишь неподвижные точки, для которых у0 < 1. Если у0 Ф 0, то из равенства ц * = МУ 0 получим у0 > 1, что невозможно. Характерный вид диаграммы Кенигса - Ламерея для этого случая представлен на рис. 7 при Я = 0,8; ц = 0,2. Заметим, что изображающие точки фазовых траекторий

стремятся к точке у0 = 0 , т. е. имеем затухающие движения.

Пусть точка (Я,л) является решением неравенств (8) (область О на рис. 6). При этих значениях параметров Я и /л точечное отображение имеет три неподвижные точки, две из которых устойчивы (у * = 0 и у02 = 1), а одна - неустойчива (0 Ф 1у01 < 1). Последнюю точку можно найти из равенства /л = /лу0 (в этом случае /л < /л), где /л - решение уравнения (9). Проверим, что точка у 01 - неустойчива. Допустим противное: у 01 - устойчива. Тогда выполнено неравенство (7), которое принимает вид:

я 2(1+т 01) = я 2(1+л) < 1

1 - Ялу0 1 - Ял* '

Нетрудно заметить, что множество решений этого неравенства совпадает с множе-

1

ством решений неравенства Я < -

■. Используя равенство (9), вычислим производную

Я',,

в точке

т

ят т) = -

(1 + Я)

т* я (і + т*)

(я (і + т*) -1).

я (і + т*) -1 <

Если Я < 1

1

то

і + т (і + т*) -1 = о.

Но тогда функция Я(л) возрастает в точке /л* (кривая 2), что противоречит убыванию Я(л) для всех 0 < Я <1 (рис. 6). Следовательно, точка 0 Ф у0 < 1 является неустойчивой. Соответствующая диаграмма Кенигса - Ламерея приведена на рис. 8 при Я = 0,8; л = 0,6. Заметим, что в этом случае изображающая точка фазовой траектории при 0 < у0 < у01 приближается к точке у0 = 0 . Если у01 < у0 < 1, то изображающая точка приближается к точке * 1 у02 =1 .

Пусть точка (Я, л) не является решением неравенства (8) и выполнено 1 - лЯ < 0 (область О на рис. 6). Тогда точечное отображение имеет непод-

вижную устойчивую точку у0 = 0 и неподвижную неустойчивую точку у01 Ф 0 , которая

* • * ГТ1 1 ^

находится из соотношения ц = цу0. Т от факт, что вторая точка неустойчивая, доказывается аналогично второму случаю. Заметим также, что в рассматриваемом случае существует значение у0 , такое, что для всех у0 > у0 имеет место взрывная неустойчивость.

0кр 0 0 кр

При этом тело после отскока от ограничителя не может вернуться к нему за конечное время. Характерный вид диаграммы Кенигса - Ламерея приведен на рис. 9 для Я = 0,8; и = 2. Значение у0 находится из соотношения 1 - иЯу0 = 0 и при заданных зна-

0кр ' 0кр

чениях параметров равно примерно 0,625.

Резюме. Таким образом, можно выделить значения параметров рассматриваемой динамической системы, при которых в системе имеется периодический режим движения. При этом устойчивые периодические движения возможны только в режиме с участками, когда относительная скорость тела равна нулю. Поскольку рассмотренная схема идеализирует работу беспружинных вибромолотов, то области устойчивости периодических режимов и зависимость типа установившегося движения от начальных условий должны надлежащим образом учитываться при разработке указанных машин.

В заключение автор выражает благодарность Д. В. Баландину за постановку задачи и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баландин, Д. В. Фрикционные автоколебания в зазоре / Д. В. Баландин // Изв. РАН. Серия: Механика твердого тела. - 1993. - № 1. - С. 54-60.

2. Неймарк, Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю. И. Неймарк // Изв. высш. уч. завед. Радиофизика. - 1958. - Т. 1. - № 1, 2.

3. Гаушус, Э. В. Исследования динамических систем методом точечных преобразований / Э. В. Гау-шус. - М. : Наука, 1976. - 368 с.