CC BY
26
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 217-218
УДК 531.391
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И СТРУКТУРЫ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ФРИКЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© 2011 г. О.Л. Любимцева
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет
Поступила в редакцию 16.05.2011
Исследуются области существования и устойчивости периодических решений и структура фазового пространства системы, совершающей одномерные вынужденные колебания с ударами о неподвижный ограничитель под действием силы сухого трения, которая меняется с изменением относительной скорости по кусочно-линейному закону. Задача представляет практический интерес, поскольку рассмотренная схема идеализирует работу вибротрамбовок и беспружинных вибромоторов.
Ключевые слова: точечное отображение, неподвижные точки, устойчивость.
1. Уравнения движения
Рассмотрим следующую механическую систему с одной степенью свободы (рис. 1): имеется подвижная масса т, которая двигается горизонтально с помощью ленточного механизма за счет силы сухого трения, зависящей от модуля относительной скорости F(V), где V = | У0 -х |, У0 - постоянная скорость ленты.
а
Vo
m
D
"СТ
Рис. 1
Движение массы m перемежается ударами
о неподвижную твердую стенку. Удары предполагаются мгновенными и характеризуются коэффициентом восстановления R, который находится в промежутке 0 < R < 1. Считаем [1], что F(V) определяется выражением
ГF0 -8V, 0 < V < V,,
F (V) = |F V V V 5 = const > 0.
[Fo -8V„ V > V„
Уравнения движения такой массы можно при соответствующих предположениях, если только рабочим является падающий участок характеристики силы сухого трения (т.е. V1 > 2 V0), записать в безразмерном виде:
у = 1+ цу при у < 0, у Ф1 , (1)
у = 0 при у < 0, у = 1 , (2)
y+=-Ry- при у = 0.
Здесь и в дальнейшем у = xF0а0 /(тР^2), т = tF0 х ха0/(т10) - безразмерное время, ц= (1 - а0) / а0 < < 1, ^0 = (Vo - V,)/V < -1, а0 = F*/Fo; F* = F(Vo); а0 характеризует крутизну зависимости F(V) при
V = V,
2. Точечное преобразование
Обозначим через А(0, у0) начальную, а через 5(0,у) конечную точку точечного преобразования Т. Ударными взаимодействиями (3) точка А переводится в точку С(0, - Яу0), затем точка С переводится фазовыми траекториями уравнения (1) в точку В. Таким образом, у = Т(у0).
Общее решение уравнения (1), удовлетворяющее в начальный момент времени условиям у(0) = 0, у(0) = -Яу0, имеет вид:
у=
(
у + RУo +— ln
1 1 - Rw(
\
1 + Му
(4)
Положив в (4) у = 0, получим точечное отображение у = Т(у0) для случая у0 < 1:
у + RУo +—ln
11 - RMy0
= 0.
(3)
ц 1+цу
Неподвижные точки этого преобразования получаются как решения у0 уравнения
(1 + Я) у 0 +-1п ‘-Яцу° = 0.
Ц 1 + цу0
Неподвижная точка у* является притягивающей при выполнении неравенства
Я 2(1 + цу )/(1 - Я^) < 1 .
X
3. Периодические движения системы
В работе доказано, что в системе существуют устойчивые периодические движения су = = у0 = 1 тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
1 + Я + < 0. (5)
ц 1 + ц
Решения неравенства (5) образуют область (О), указанную на рис. 2. Для любой пары (Я, ц) из этой области имеется вышеуказанный тип периодических движений. Точки (Я, ц*), принадлежащие разделительной кривой, есть решения уравнения
1+Я+^пЬ^ = 0. (6)
ц 1 + ц
Они разбивают пространство параметров (Я, ц)
на две области и являются бифуркациями этого
пространства. Для каждой точки (Я, ц*) имеем
• * 1
полуустойчивый цикл у0 = 1.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 R
Рис. 2
Заметим, что для значений R < Кр * 0 59
рис. 2) не найдется значения ц < 1, при котором в системе имеется предельный цикл, отличный от тривиального притягивающего цикла у0 = 0. Далее везде Я > Якр.
Пусть пара (Я, ц) не является решением неравенства (5) (область (Н) на рис. 2; точки (Я, ц) для определенности будем выбирать на вертикальной прямой, содержащей точку (Я, ц*)). Тогда точечное преобразование имеет только одну неподвижную точку — притягивающую точку у0 =, = 0, т.е. имеем затухающие движения. Если точка (Я, ц) является решением неравенства (5) (область (О) на рис. 2), то точечное отображение имеет три неподвижные точки, две из которых являются притягивающими (у0 = 0 и у02 = 1), а третья — отталкивающая (0 Ф у 01 < 1). Последнюю точку
и * /
можно найти из равенства ц = цу0 , (в этом случае ц* < ц), где ц* — решение уравнения (6). Заметим, что в этом случае изображающая точка фазовой траектории для значений 0 < у0 < у 01 приближается к притягивающей точке у0 = 0. Если же у01 < у0 < 1, то изображающая точка приближается к притягивающей точке у^2 = 1. Все вышесказанное можно наглядно проиллюстрировать на соответствующих диаграммах Ке -нигса — Ламерея.
Список литературы
1. Баландин Д. В. Фрикционные автоколебания в зазоре // Изв. РАН. Сер. Механика твердого тела. 1993. № 1. С. 54—60.
2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1, № 1, 2.
THE STUDY OF PERIODIC MOTIONS AND THE STRUCTURE OF THE PHASE SPACE OF FRICTIONAL SELF-OSCILLATIONS USING THE METHOD OF POINT MAPPINGS
O.L. Lyubimceva
The paper investigates the existence and stability of periodic solutions and the structure of the phase space of the system undergoing a one-dimensional forced oscillation with impacts on a fixed limiter under the influence of dry friction force, which varies with the relative velocity according the piecewise-linear law. This problem is solved by point maps under the assumption that the falling portion of the characteristic of the dry friction force works. Using the method described above, the values of the coefficient of restitution of the velocity of the body impacting on the limiter, and the coefficient which characterizes the steepness of the dependence of the friction force for which can a stable periodic regime is possible in the system. The problem is of practical interest, since the considered scheme idealizes the work of vibrating tampers and springless vibration motors.
Keywords: point mapping, fixed points, stability
