К теории неавтономной динамической системы с трением наследственного типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 534.014

К ТЕОРИИ НЕАВТОНОМНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ НАСЛЕДСТВЕННОГО ТИПА

© 2012 г. М.В. Зайцев 1, В.С. Метрикин 2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 НИИ ПМК Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в рсдаацию 19.10.2011

Изучается динамика простейшей системы с учётом сил трения наследственного типа при наличии внешней периодической силы. Приведённые бифуркационные диаграммы позволили выявить основные перестройки периодических и стохастических режимов движения в зависимости от параметров системы (амплитуда и частота внешнего воздействия, скорость тела и формы функциональной зависимости, описывающей изменение величины коэффициента трения относительного покоя).

Ключевые слова: математическая модель, точечные отображения, бифуркационная диаграмма, трение наследственного типа.

Постановка задачи

Опубликование в [1] А.Ю. Ишлинским и И.В. Крагельским гипотезы о том, что коэффициент трения относительного покоя (КТОП) при движении двух трущихся тел не является постоянной величиной, а зависит от времени их совместного движения с одинаковыми скоростями, привлекло - правда, с большой временной задержкой - внимание учёных, занимающихся исследованием систем с трением (смотри [2-4] и приведённую в них литературу). В этих работах на примере простейших нелинейных автономных динамических систем приведён ряд новых результатов. Было показано, что, по сравнению с известными исследованиями систем с постоянным КТОП, в системах с переменным КТОП существуют сколь угодно сложные периодические и стохастические движения. Однако до сих пор нет достаточно полных исследований даже таких автономных систем.

Физическая система, послужившая основой для составления математической модели, представляет собой массу т, находящуюся на движущейся с постоянной скоростью V шероховатой ленте. Масса прикреплена пружиной жёсткости k к неподвижной опоре (рис. 1а). На массу действует периодическая по времени сила //)

и сила сухого трения. При движении двух шероховатых тел, находящихся в контакте, приходится учитывать два вида сил трения: силу трения скольжения и силу трения относительного покоя. В работе предполагается, что коэффициент трения относительного покоя, согласно гипотезе А.Ю. Ишлинского и И.В. Крагельского [1], не является постоянной величиной, а есть монотонно возрастающая функция времени tk длительного контакта (совпадение скоростей массы и ленты) этих тел (рис.1б). В качестве математической модели сил трения в работе выбрано трение Кулона - Амонтона.

Математическую модель рассматриваемой системы можно записать в виде

тх = / ({)- кх - / /^п (х - V) , х Ф V, (1)

| кх - А()|^ /аа (!к )р , х = ¥, (2) где первое уравнение описывает закон движения тела с учётом коэффициента трения скольжения /* со скоростью, отличной от скорости ленты, а второе неравенство устанавливает соотношение сил, при выполнении которого происходит движение тела со скоростью, равной

скорости ленты, с учётом формы КТОП-------/от&к)

(рис.1б). Отметим, что при //) = 0 уравнение (1) совпадает с соответствующим уравнением работы [1].

т

к

^ал4гп

V

ік

Рис. 1

Рис. 2

После введения безразмерных времени т = ґш0,

~ ь к [к

переменной 4 = х-------- и параметров ю0 = л — ,

/* Р \ш

0 = У

4кш

/~Р

уравнения (1), (2) примут вид

где є(тк)=

4 + 4 = F(т) - sign(4 - 0) , 4 Ф 0 (3)

| 4 - F(т) |< 1 + г(тк) , 4 = 0 (4)

/оп (т к )- /•

/*

— безразмерная харак-— безраз-

мерная внешняя сила.

Структура фазового пространства

Так как система неавтономна и описывается дифференциальным уравнением второго порядка с переменной структурой, то её состоянием является тройка {<4,4,т}, а фазовое пространство соответственно трехмерное. Оно плоскостью П (4 = 0) разделено на два полупространства ф1(4,4 > 0,т) и Ф2(4,4 < 0 , т) , поведение фазовых траекторий в которых описывается соответственно уравнениями

4 + 4 = F(т) -1 при 4 > 0, (5)

4 + 4= F(т) +1 при 4<0. (6)

Можно показать, что в плоскости П существует пластинка скользящих движений [5] Пс, ограниченная кривыми Г и Г2:

Г,: [4 = 1+ Е(т)

14=0

Г2: [4 = -1+ F(т)

(7)

(8)

Л=6

При попадании изображающей точки на плоскость Пс ее движение будет изменяться по закону

4(т)=6(т - т „) + 4р,

4(т) = 0, (9)

где трIе Пс ,т ^ Тр •

Качественный вид поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве системы, включая участки, когда скорости ленты и тела равны (длительные относительные «остановки» (ДОО)), при переменной внешней силе приведён на рис. 2. Из этого рисунка видно, что в фазовом пространстве системы возможен тип траекторий без ДОО, для которых выполняется

неравенство 4 < 6 .

В связи с тем что в системе имеется трение, изображающая точка во всех случаях, отличных от описанного выше, попадает на пластинку скользящих движений и движется по ней согласно уравнению (9) вплоть до момента тк+1,

определяемого из уравнения 14р (тк) - Р(тк+1) | = = 1 + 8(тк+1). Поэтому динамику системы можно исследовать с помощью изучения свойств точечного отображения границы Г1 (Г2) в себя либо свойств числовой последовательности, элементы которой равны временам тк, к = 1, 2, 3..., ДОО, как показано на рис. 3, где стрелками в плоскости Пс обозначены траектории изображающей точки при ДОО.

б

а

В работе в дальнейшем рассмотрены следующие форма внешней силы F(t) и скорости ленты: F (t) = Acos(Qt), 0 = const.

Безразмерная функциональная зависимость КТОП е(х^) от времени Tk длительного контакта принималась в виде монотонно возрастающей кусочно-непрерывной функции

f £*Tk,Tk — £*,

8*,T k — 8*.

где

s * (t) = -

+ (-iy+1)sinx,. + Sp (T),

Л

-cos(Qt).

(-1)“ + Р(тк+1,с ) + (_1)“ е(тк+1,с ) -= 0(т к+1,с - Т р ) + 4 р (т0,т1,...,т п,Т к ,с X » - 1, 2,

где т, (хг+1 > т,) определяются из решения следующей системы уравнений

'4 ,+1(т ,+1)- С2<-1 + С2< яп(т,.+1) +

(10)

Исходя из того, что уравнения (5), (6) линейны, их общие решения будут записываться, как известно, в виде

|4, (Т) - С2,-1 С0в(Т) + С2, 8Ш(т) + (-1)1' + 4Р (Т),

^[4, (Т) - С2,-1 + С2, С°8(Т) + 4р (Т),

(-1У 4 < (-1У 0(т), ,= 1,2;

С2,-1 = (4, - 4Р (Т,) + (-1)'+1)С08Т, -- (4 + 4 Р (Т Х^тт,. + 4 Р (т) + (-1У,

си =(4, + 4р (т, ))с°эт, +(4, - 4р (т,) +

+ (-1)' +-

A

-cos(QT'+i),

1 - О2

Основываясь на этом, для каждого конкретного случая поведения фазовых траекторий, указанного выше, можно получить уравнения границ пластинки скользящих движений Г и Г2, а также длительности времен тк, к = 1, 2,..., движения изображающей точки по пластинке скользящих движений.

Пусть Мі(ті, 4ь 0), І = 0,1,.,п, - последовательность точек на плоскости П, не принадлежащая пластинке скользящих движений, определяемая уравнениями (5) для І = 2к < п, к = = 1, 2,., и (6) для І = 2т+1 < п, т = 0,1,., причем координатами начальной точки М0 являются х = х0, 4 = 1 + е(хкс) + Е(х0),4 = 9 . Тогда найдется такое п, что следующая за Мп точка Мп+1(тр, 4р, 0) будет обязательно принадлежать пластинке скользящих движений Пс, а ее движение - подчиняться уравнению (9) до тех пор, пока выполняется соотношение (4). Обозначим через Т+ преобразование точек М2к+І ^ М2к+2, к = 0,1,2,.. < п, а через Т_ - преобразование точек М2т ^ М2т+і, т = 1,2,.. < п. Очевидно, что изображающая точка Мп+1(тр, 4р, 0) попадет на пластинку скользящих движений после п преобразований вида Т1(/', I, п) = ((Т_)7 (Т+/)[, I, / = 0,1,.,п. Тогда уравнения, связывающие два последующих момента времени ткс, тк+1с движения изображающей точки по пластинке скользящих движений до «плавающей границы», можно записать в виде

1 - О2

0 - -С2,-1 ^Т,^ + С2, +

АО

+(-1)"-1 - о2 5’'п(От' ■ 1

(-1) 4<(-1)' 0 ,, = 1,2.

Вводя в рассмотрение функции

у(х) - Р(Т) - е(т) + 0(т - тр ^

ф(т) - 1 - (-1У 4Р (То,Т1,...,Тп ,Т ), ] - 1,2,...,

2(] -1) < е(т) < 2j, можно записать связь между двумя последовательными временами тк, тк+1 совместного движения тела с лентой (ДОО)

у(Тк+0 = ф(Тк).

При Р(т) = 0 функции у(т) и ф(т) выглядят следующим образом [4]

¥(т)- е(т) + 0(т - тр),

ф(т) -1 - (-1)[е(т) - 2j +ГЪ 2и -1) < е(т) < 2]. Здесь j - количество точек Мj й П с. Вид функций у(т), ф(т) приведен на рис. 4. Из него видно, что в системе могут существовать периодические движения с произвольным числом длительных остановок. В этой связи можно утверждать, что любое периодическое движение можно характеризовать числами к1 - число длительных остановок, к2 - число оборотов изображающей точки около плоскости П, к3 - кратность периода периодического режима движения периоду внешней силы. Так, на рис. 5 приведен вид фазовых траекторий, соответствующих к1 =1, к2 = 2, к3 = 1.

Рис. 4

-6 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Рис. 5

Для исследования динамики рассматриваемой системы с использованием функции последования разработан программный продукт на платформе Java, позволяющий при различных значениях параметров системы производить расчеты и построение в трехмерном фазовом пространстве фазовых траекторий, определять явный вид функции последования и бифуркационных диаграмм и др. При расчётах все переменные и параметры представлены форматом чисел с плавающей точкой двойной точности. При расчёте конкретной траектории по уравнениям, соответствующим типу движения в начальной точке, последовательно вычисляются конечные точки участка траектории, исходящего из начальной точки, с временным приращением, увеличивающимся на заданный пользователем шаг для каждого следующего элемента последовательности. Участки траектории вычисляются до тех пор, пока конечная точка не окажется в области с отличным от начальной законом движения (т.е. при попадании на пластинку Пс или выходе с пластинки скользящих движений, или переходе через плоскость

П(4 = 0)). В этом случае более точное время смены закона движения на вычисляемом участке траектории определяется методом половинного деления с заданной пользователем точностью. После этого точка вычисляемого участка траектории с найденным временем запоминается как конечная точка этого участка и используется как начальная точка для вычисления следующего участка траектории, уже с новым законом движения. Новые участки траектории вычисляются до тех пор, пока время T или число участков на пластинке скользящих движений (по выбору пользователя) не превысит заданный пользователем предел.

0.0 0.5 1.0 1 5 2.0 2.5 3.0 3.5

Рис. 6

Для построения бифуркационных диаграмм для каждого значения выбранного параметра вычисляется своя траектория с общей заданной начальной точкой и общими пределами числа участков на пластинке скользящих движений и времени Т (предел по времени неотключаем для предотвращения «подвисания» расчёта). Из рассчитанных для каждой траектории времён совместного движения тела с лентой берётся заданное число (обычно 30) последних, и они используются для построения графика.

Результаты численных расчетов

На рис. 6 приведен вид функциональной зависимости тк+1 = g(тk), соответствующий периодическому движению с четырьмя длительными остановками тела (скорость тела равна скорости ленты) при 0 = 1.2, Р(т) = 0.

На рис. 7 приведен вид бифуркационных диаграмм. На рис. 7а, б по оси абсцисс отложен параметр е, е [0,10] при 0 = 1; 1.2 соответственно. Из этих рисунков с очевидностью следует, что при 0 =1 существуют периодические движения с одной длительной остановкой. Причем имеются интервалы по параметру е*, в которых продолжительность длительных остановок постоянна. Это согласуется с характером изменения функции ф(т) при тк > е*. С увеличением скорости ленты возникают хаотические движения (см. рис. 7в, г), появление которых происходит в соответствии с известным процессом удвоения периода Фейгенбаума [7]. Значения характеристики КТОП на этих рисунках выбраны соответственно 3 и 5.

1.3 1.4 1.5 1.(

в

1.7 1.8 1.9 2

Рис. 7

Рис. 8

б

г

б

а

в

г

На рис. 8а-в при О = 2 приведены бифуркационные диаграммы по параметру в * для различных значений амплитуды внешней силы 0.1;

0.5; 0.8 соответственно и скорости 0 = 1. Из этих рисунков видно, что с увеличением амплитуды внешней силы при малых в * наблюдаются периодические движения со многими длительными остановками, а при достижении некоторого порога по в * наблюдается уменьшение числа длительных остановок и переход к периодическим движениям с одной длительной остановкой в небольшом интервале по параметру в * (2< в *<3.7). Это явление с очевидно-

стью наблюдается на рис. 8г, где приведена бифуркационная диаграмма при в *= 4 по амплитуде внешней силы.

На рис. 9а приведен вид бифуркационной диаграммы при О = 4.5 по параметру в *. Из него видно, что с увеличением частоты внешней силы периодические движения с конечным числом длительных остановок переходят в хаотические движения. Переход к хаотическим движениям наглядно представлен на бифуркационной диаграмме по частоте внешней силы на рис. 9б.

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

• •••*•••

Г'

•V

Г:

\

Ж...

Рис. 9

1. С увеличением амплитуды внешней силы происходит «размывание» бифуркационных диаграмм (по сравнению со случаем отсутствия внешней силы), то есть появление хаоса в ограниченных пределах амплитуды внешней силы. С дальнейшим увеличением амплитуды внешней силы происходит рождение периодических движений с одной длительной остановкой. В последнем случае рассматриваемая система ведет себя как система в отсутствие внешней силы.

2. Увеличение частоты внешней силы приводит к хаотизации движения, а при больших частотах происходит рождение периодических движений с конечным числом длительных остановок. На рис. 9б при О > 4.5 можно усмотреть периодический режим с двумя длительными остановками.

Список литературы

1. Ишлинский А.Ю., Крагельский И.В. О скачках при трении // Журн. техн. физики. 1944. Е.14. Вып. 4/5. С. 276-282.

2. Кащеневский Л.Я. Стохастические автоколебания при сухом трении // Инж.-физ. журн. 1984. Т.47. № 1. С. 142-147.

3. Ветюков М.М., Доброславский С.В., Нагаев Р.Ф. Автоколебания в системе с характеристикой сухого трения наследственного типа // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1. С. 23-28.

4. Метрикин В.С., Нагаев Р.Ф., Степанова В.В. Периодические и стохастические автоколебания в системе с сухим трением наследственного типа // ПММ. 1966. Т. 60. Вып. 5. С. 859-864.

5. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 285 с.

6. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

7. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 237 с.

б

а

ON THE THEORY OF A NONAUTONOMOUS DYNAMICAL SYSTEM WITH HEREDITARY-TYPE DRY FRICTION

M.V. Zaitsev, V.S. Metrikin

Dynamics of the simplest system with hereditary-type dry friction and an external periodic force is examined. The bifurcation diagrams presented have made it possible to reveal the basic transformations of periodic and stochastic modes of motion depending on the system parameters (the amplitude and frequency of the external force, body's velocity and the form of functional dependence describing the change of the static friction coefficient).

Keywords: mathematical model, point mappings, bifurcation diagram, hereditary-type dry friction.