CC BY
20
_Ичвестия вуюа. МАШИНОСТРОЕНИЕ_37
№ 8 2008
Т РАН СIIО РТ Н О Е И ЭНЕР Г Е Г И Ч ЕС КО Е МАШИНОСТРОЕНИЕ
621.436
ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ КЛАПАНА ПРЕЦИЗИОННОГО ДОЗАТОРА ЖИДКИХ СРЕД
Д-р техн.наук, проф. С. Ф. Я ЦУМ. <)-р техн.наук. проф.Ж. Т ЖУСУБЛЯИЕВ. д-р техн. наук, проф В. С. ТИТОВ. Гшксаавр С. К). ЧЕВЫЧЕНОВ. бакалавр О. В. ЕМЕЛЬЯНОВА'
В соответствии с регламентом конкретных технологических процессом па различных стадиях производства требуется точная подача одного или нескольких исходных, промежуточных либо конечных продуктов.
В зависимости от условий и степени автоматизации производства тга задача может быть решена с помшцыо систем автоматического дозирования, используемых в качестве исполнительного и регулирующего устройства. Устройство, обеспечивающее стабильную подачу, рассматривается как дозатор, предназначенный для автоматического отмеривания и выдачи заданного количества вещества в виде порций или постоянного расхода с погрешностью, не превышающей установленного класса точности.
При автоматизации производственных процессов стабилизация и изменение по определенному закону расходов жидких сред в химической, медицинской, фармакологической, пищевой, биохимической и других отраслях промышленности имеет первостепенное значение, гак как в большинстве случаев основным условием качественного проведения процесса в каком-либо аппарате является подача в него различных сред в определенном стехиометрическом соотношении и высокая точность дозировки [1,2].
Из всего многообразия систем автоматического дозирования остановимся па импульсных системах. Интерес к ним в последнее время значительно возрос и связан как с запросами биомеханики, фармакологии, медицины, так и с исследованиями в области нано-технологий.
В основе импульсных методов дозирования лежит объемный или весовой способ формирования дозы. Объемный способ дозирования применяют при незначительных вариациях
. Исслеловаии* выполнены при поллержке 1'ФФИ гр.шг 06-024-00365
№ 8
2Ю
свойств жидкостей, хотя весовой эталон был бы предпочтительнее по точности. Однако весовые дозаторы по сравнению с объемными сложны, что предопределяет их малую эксплуатационную надежность.
В общем случае величина дозы У(1 определяется как интеграл расхода 0(1) за определенный интервал времени:
где У0 - объем единичной дозы: 0(1) - значение мгновенного расхода в момент времени /: (/,,/,) - ин тервал времени формирования дозы, зависящий от закона движения клапана.
При этом величина 0(/) определяется законом движения вытесняющих органов или характером изменения давления в рабочей области.
При импульсном дозировании оперирование с непрерывными величинами заменяется оперированием с дискретными величинами, что оказалось плодотворным во многих отраслях пауки и техники. Форма импульса может быть любой: прямоугольной, треугольной и т.д. Обычно используются импульсы прямоугольной формы, которые характеризуются следующим набором модулируемых параметров [3.4]: амплитуда импульса: фаза импульса; длительность импульса (ширина): длина тактового интервала, что эквивалентно частоте следования импульсов. Для изменения расхода по заданному закону в дозировочных системах возможно применение трех способов изменения среднего расхода: амплитудно-импульсный, частотно -импульсный, широтно импульсный.
При амплитудио-импульсном способе изменения расхода управляющим параметром служит амплитуда импульса.
При частотно-импульсном способе изменение производительности систем дозирования осуществляется за счет изменения частоты подачи доз.
Широтно-импульсный способ изменения расхода осуществляется изменением длительности импульсов. Амплитуда импульсов, при этом, остается постоянной.
11ри дозировании жидкостей наиболее ответственным звеном системы импульсного дозирования является исполнительное устройство, находящееся в непосредственном контакте с дозируемой жидкостью. Исполнительные устройства систем дозирования с электромагнитным приводом, рассматриваемые в данной статье, обладают большим быстродействием электромагнитных клапанов, герметичностью по сравнения с пневмоуправляемыми и М01ут работать при повышенных давлениях.
Постановка задачи. Целью данной работы является изучение закономерностей движения клапана системы автоматического дозирования с учетом вязкого и сухого трения, а также исследование влияния колебаний клапана на величину отмериваемых доз.
К, = ¡О(0Ж,
(I)
№8
2008
Импульсная система дозирования (рис. I) состоит из корпуса I. в котором поступательно движется клапан 2 под действием электромагни тного привода 6. Клапан 2 периодически о ткрывает впускное отверстие 3 и жидкость под напором гидростатического столба ¡\ поступает в мерную емкость 4. к которой жидкость находится под давлением При перекрытии клапаном 2 отверстия 3 процесс подачи прекращается.
О
Рис. I. Схема лочатора с гчектромапштным приколом: I - корпус дозатора: 2 - кланам: - входной мпуиер: -4 - мерная полость: Л - пружина: 6- >дсктро.магннты: О - положение статического равновесия клапана
'ис. 2. Диаграмма работы системы импульсного дозирования
Т -
2 71
№ 8 200,Ч
На рис. 2 приведены зависимости перемещения клапана от времени / и мгновенного расхода при импульсном способе подачи жидкости. Данные графики получены для гармонических возмущающего воздействия. На рис.2 приняты следующие обозначения: А - амплитуда перемещения клапана, Т - период колебаний, w - частота внешнего воздействия; ¿) - параметр, оп-
_ ^
ределяющий положение впускног о отверстия, причем 0 < S < А или, если S - —. то
А
0 < 8 < 1,
где vr, Fll(), 5 - параметры, управляющие процессом дозирования.
В качестве расчетной схемы дозатора примем модель, представленную на рис. 3. Масса m находится под воздействием следующих сил: Fl{ = Fm sin wt,
где Fl¡0 - амплитуда внешнего воздействия;
Fm/I - силы сухого трения; Fvn¡¡ = с -х - силы упругости; FHri, = /7-х - силы вязкого трения.
Здесь х , х - перемещение и скорость клапана; с - жесткость упругого закрепления: Ji -коэффициент вязкого трения. За обобщенную координату х примем перемещение массы m . причем начало отсчета примем в положении статического равновесия сис темы.
О
/
/>
/
—зп—
-пшг-
с
/ / /
711
О
=> F»
/ /
х
Рис. 3. Расчетная схема дозатора
Дифференциальные уравнения, описывающие движение системы представим в виде:
х = -ах - |.lv + уш sin х -/, х > 0 (2)
х = -ах - (.и- + уш sin т + /, х < 0 (3)
Здесь т = и/, л* = —— - нормированные время и перемещение, х0- масштаб длинны. ~ ■ F F
(-1 с ,. ' /И/)
ц =--. а =--г, ./ =-Ум =—
mw mw~ mxnw mxnw
Известия вузов. МАШИНОС ТРОЕНИЕ 41
№ 8 2008
Обозначим Л", = .V. .v, = х и перепишем уравнения (2) и (3) в векторной форме:
X = G_(т.X) + — ЛОЧт.А')[1 +sign(4(A'))]. ЛСЦт.Х) = С/, (г. А')-О'.(г.Л'). (4)
Здесь Л' = (.Vp.r,)'. О', = (ííh..Yj.)'. где к,, = -ох - рх + yw sin т + /, £(А') = х,. Знак штрих здесь и далее обозначает операцию транспонирования. Для расчета выбранной системы автоматического дозирования параметры динамической системы (4): ().()<//< 1.0,
0.2 <« <2.0, 0.2...1.0 < / < 2.0, 1.0</(„ <5.0.
Анализ динамических режимов движения
Решение системы дифференциальных уравнений (2). (3) осложняется тем. что их правые части имеют разрывы первого рода на некоторых гладких поверхностях. ')ти поверхности разделяют фазовое пространство динамической системы на отдельные части, к каждой их которых поведение системы описывается различными дифференциальными уравнениями с достаточно гладкими правыми частями [5.6]. Фазовые траектории рассматриваемых динамических систем сшиваются из отдельных гладких участков. Подобные динамические системы называют еще кусочно-гладкими.
Фазовое пространство (т. А') динамической системы (4) разделяется на два подпространства: Dt. где £,(X) > 0, и Д., где X) < 0 .
В подпространстве уравнение движения (4) имеет вид
x = üjt.х). *(Х) > о
|х, = х,,
[х, = -ох, - (.ir, + у m sin т - /, х2 > 0.
В подпространстве уравнение D движения (4) имеет вид X - G_(t,X) . £(Х) < 0
ÍX, = х2,
[х, = -их, - (XV, + уш sin X + /, Л'т < 0.
Границей указанных подпространств является плоскость S, определяемая уравнением ^(А-) = 0. на которой происходит мгновенное слипание трущихся масс.
Пусть решение А'(т) уравнения (4) при х - т, достигает двумерной поверхности S = {(т. А') е D '-£(Х) = 0}, DaR\ D - D, uD_, причем в точке (т.,*.)
№8
2008
'дО
кдХ;
(Г
удХ;
G~ * о;
G* =limG±(t,A'), г-»т. ±0,
(dV ' /
la* J V
ii 1
Эх, or, j
дХ
Это означает, что АГ (т) достигает »9 под непулевым углом. Структура фазового пространства вблизи 5 определяется знаками
СГ.
эх
Cj И
На участке поверхности S , где
f д1 Л '
или
cr < о.
dt кдХу
к
дХ
СГ > о
СГ <0
решения переходят из подпространства D_ в подпространство D+ или из Д. в £)_, соответственно.
Если же
f дс.
СГ < о.
СГ < 0,
то решение А^(т) с начальным условием X (х„ ) = Х, при г > г, проходит по участку с .V и не сходит с 5, пока не достигнет границы . На участке 50 векторы С/+ и С+_ с обеих сторон Л' направлены к (т.е. движение на .90 устойчиво).
Движение по приня то называть скользящим, а саму 1$'0 - областью скользящих движений [5,6,7]. Для систем с сухим трение этому режиму соответствует слипание трущихся масс [6].
Уравнение движения на..90:
X = С/0 (т, А"), С0(т*Х) = С_(х,Х) + аАО(т,Х), 0 < сг < 1. (5)
Найдем скорость движения С0(т,Аг) по поверхности «.9. Вектор-функция Оа непрерывна по (т. А') и касается поверхности Е>{Х) = 0:
№ 8
/ -V- \
I —
о; = о.
Подставляя выражение (5) для (/'„ в равенство (6). получим
'ар
удХ;
G + о
'ар
дХ
АС, = О
Из уравнения (7) найдем функцию <х
Я V VC-Л у
а = —
' Я; > дХ
f щ>4
ас; < о.
ас;
Здесь
— = (0.1),
дХ v ;
<дХ,
'ар Ж,
ах
G_ = -ах, - рх, + ywl sin х + /'. С/+ - -ах, - рх, + у„, sin х -./'. АО' = -2/.
(аП и (Ъ)
larj {дХ)
Подставляя выражение для |G_ и А(/ в (8), получим
_ -сие, - рх, + уш sin X + / а_ _ .
Теперь мы можем определить область скользящих движений:
Подставив (9) в (5), получим
—сие, — рх2 + ут sin х + /
G0(T,X) = G_(T,X) + -
V
A G(x,X) =
с.. \
чОу
2Ш
(6)
(7)
(8)
(9)
Так как на S0 скорость х = х, = 0 , то уравнение (5) принимает вид
44_Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_
№ 8 2008
Уход фазовой точки в подттросгранстве возможен лишь с границы Г+ = |(х. А') е S0 :о(т) = 1]. а в I юдгipocipancTBo D_ с iраницы Г_ = | (т, X ) е 5'0: о (т) = 0 ]. Границы области Sn:
Г =<(r.A/)e.S'() :—sinr-—1, Г. = |(г,Л")е S0 : --sin г + . у а а \ [ a a J
Заметим, что если (г. А') с Г+, то G0 = G+ и, если (г, X)е Г , то 6'0 = G_.
Таким образом, в фазовом пространстве динамической системы (4) имеются три области St, S0, S_. на которых происходит сшивание фазовых траекторий при их переходе из области 0_ в I), и наоборот.
Как известно, в кусочно-гладких динамических системах возможны специфические типы бифуркаций, не имеющие аналогов в гладких системах. Подобные бифуркации связаны с ситуацией, когда при изменении параметров траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания или касается ее. Это вызывает нарушение условий существования периодического решения и соответствует появлению или исчезновению участка траектории в одной из областей кусочной непрерывности [6,8]. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [6,8,9], или "border-collision bifurcations" [10]. Простейшей бифуркационной картине при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа. Возможны и более сложные ситуации, например удвоение, утроение периода колебаний, рождение движений с участками скольжения или хаотического аттрактора из периодической орбиты.
Изучению нелинейных явлений в кусочно-гладких системах в последние годы уделяется пристальное внимание. Теоретические исследования стимулируются потенциальными приложениями результатов во многих областях науки и техники. Они охватывают приложения к силовой электронике и теории управления [3], механике [11], биологическим и экономическим системам. Обзор этих исследований можно найти в [12].
В рассматриваемой системе С-бифуркации соответствует попадание фазовой точки периодического движения на границу Г+ или Г_ [6J, в результате чего появляются или исчезают участки скользящих режимов движения (возникают колебания клапана с остановками).
Для выяснения возможных типов динамического поведения рассматриваемой системы выполним построение С-бифуркационных границ. На рис. 4 приведена двугтараметрическая бифуркационная диаграмма, рассчитанная в плоскости параметров / , ут .
№ 8
2008
/+\о 0 2.т /
0 1
• 2, "
Рис. 4. Карта динамических режимом. Параметры (X = 0.2 . |.i = 0.9
Область П,_ отвечает области периодических движений клапана бел остановок, а | I'.. режиму колебаний с остановками. В |[" отсутствуют колебания клапана. ")то означает. что и области параметров | | дочирую-тая система не работает.
Результаты численных расчетов, иллюстрирующие характер колебательных режимов клапана п зависимости от параметров, приведены на рис. 5, 6.
Рис. 5. Движение клапана без остановок. 11араметры: О. = 0.2 . (.1 = 0.9. у =1.0./— 0.2
№ 8 • 2008
0=0 - остановка клапана
1'не. 6. Движение клапана с остановками. Параметры: а - 0.2 . |Л = 0.9. у = 2.0, / = 1.0
На рис. 5 показана зависимость перемещения х, и скорости х, клапана от времени г . отвечающая области Пч_, где траектория периодического движения сшивается из двух гладких участков. С изменением коэффициента трения / и амплитуды вынуждающей силы ут характер движения клапана качественно меняется. Так, например, при переходе через границу Ns в
область параметров изменяется число сшиваемых участков, образующих фазовую траекторию периодического решения, возникают колебания с двумя зонами скользящих режимов движения.
Как мы видим, на рис. 6. периодическое решение с зонами скользящего движения сшивается из четырех гладких участков. Этому режиму соответствуют колебания клапана с двумя остановками на периоде периодического движения. Па рис. 6 показана диаграмма колебаний, отвечающая такому типу движения. Очевидно, что режим колебаний клапана с остановками влияет на мгновенный расход дозирующей жидкости и требует соответствующей оценки и учета.
№ 8 2008
ВЫВОДЫ
Выполнен динамический анализ импульсной системы дозатора, описываемой неавтономными дифференциальными уравнениями с разрывшими правыми частями. Выявлены С-бифуркации. приводящие к появлению зон скользящих режимов на траектории периодического движения. Такой тип движения отвечает режиму вынужденных колебаний клапана дозатора с длительными остановками. В плоскости параметров выделены области с различными типами динамического поведения, соответствующие колебаниям клапана без остановок, с остановками и ситуации, когда клапан находится в неподвижном состоянии.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Соколов, М. В., Гуревич А. Л. Автоматическое дозирование жидких сред -Л.: Химия, 1987. 400 с.
2. Цейтлин, В. Г. Расходоизмерительная техника - М.: Изд-uo стандар тов, 1977. 240 с.
3. Zhusubaliyev, Zh. Т. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems / 7,h. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde. Singapore: World Scientific, 2003. 376 p.
4. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации в широгно-импульсных системах автоматического управления/ учебное пособие / Курского, гос. техн. ун-та. Курск, 2007. -1 00 с.
5. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -М.: Наука, 1985.-224 с.
6. Фейгин, М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями - М.: Наука, 1994.-288 с.
7. Kowalczyk, P. Two-parameter degenerate sliding bifurcations in Filippov systems / P. Kowalczyk, M. Di Bernardo // Physica D, 2005,Vol. 204, P. 204 - 229.
8. Фейгин, M. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // Прикладная математика и механика. -1970. 'Г. 34, выи. 5. С. 861 -869.
9. Bernardo, di М. Local Analysis of C-bifurcations in n-dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems / M. di. Bernardo, M. I. Feigin., S.J. Hogan, M. E. Homer // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. V. 10. N. 11. P. 1881-1908.
10. Nusse, H. E. Border-Collision Bifurcations Including "Period Two to Period Three" for Piece-wise Smooth Systems / H. E. Nusse, J. A. Yorke // Physica D. 1992. N 57. P. 39-57.
11. I >eine, R. 1. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems / R. I. Leine, H. Nijmeijer. Berlin: Springer Verlag, 2004. 351 p.
48_Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_
№ 8 2 ООН
12. Kowalczyk, P. Two-Parameter Discontinuity-Induced Bifurcations of Limit Cycles: Classification and Open Problems / P. Kowalczyk, M. di Bernardo, A. R. Champneys, S.J. Hogan, M. Homer, Yu. A. Kuznetsov, A. B. Nordmark // Int. J. Bifurcat. Chaos. 2006. V. 16. N 3. P. 601-629.
