Особенности строения терморасширенного графита Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.014

К ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ НАСЛЕДСТВЕННОГО ТИПА

© 2011 В.С. Метрикин

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород

Поступила в редакцию 10.11.2011

Согласно гипотезе, выдвинутой в работе академика А.Ю. Ишлинского [1], КТОП при взаимодействии двух тел не является постоянной величиной, а есть монотонно возрастающая функция времени ^

длительного контакта этих тел. В этой связи рассмотрим фрикционные автоколебания динамической системы (рис.1,2) в предположении, что коэффициент трения скольжения о движущуюся со скоростью V ленту постоянен, а КТОП /) является монотонно возрастающей функцией t = tfi .

Рис. 1.

К

Рис. 2.

Вводя безразмерные время Т — Cdt, координату параметры

V

, получим уравнения движения приведенной выше системы в безразмерном виде

1 = Е(г),£к = £(тй) Д

Здесь £ -безразмерная координата тела, в - безразмерная скорость ленты, /(г) - характеристика КТОП. Смысл остальных размерных параметров ясень из приведенных рисунков.

/СО

Из структуры системы (1) и проведенного несложного анализа можно установить, что на фазовой

плоскости имеется отрезок

I ( 1 < ¡Г < = стыка фазовых траекторий [2,3]. Попав на отрезок I изображающая точка движется по нему и, достигнув его правого конца

= 1, ^ = 0). будет всегда продолжать движение по прямой Ь = в, ¿Г > 1) до момента определяемого из уравнения

Движение изображающей точки по прямой ? и

затем до момента ^ соответствует длительному перемещению тела совместно с лентой со скоростью О. Если изображающая точка попадает на прямую

£ = " в область то происходит мгно-

венная смена знака относительной скорости и скорость тела начинает, либо опережать скорость ленты, либо отставать от нее. Неявное соотношение, связывающее продолжительности двух последовательных интервалов длительного контакта и

1 (функция последования [4] ) можно записать в виде

= 27+1)

Величина ] определяет количество полутраекторий не пересекающих отрезок I.

Проследим за поведением фазовых траекторий в зависимости от параметров 0 и

г-д

= > 0

в случае кусочно-постояннлой формы КТОП (смотри рис.2 ).

1. 0 < е* < 2(] = 1) . На рис 3 представлена бифуркационная диаграмма [4] для скорости в=1.7. По оси абсцисс отложен параметр е*, а по оси ординат величина длительной остановки тела. Из этого рисунка следует, что при малых е» суще-

ствуют периодические режимы с одной длительной остановкой, величина которой возрастает с увеличением е*. Затем с увеличением параметра е* (характеризующего форму и размах КТОП), как и ожидалось, происходят бифуркации удвоения периода Фейгенбаума [5] и в дальнейшем возникают хаотические режимы движения тела. Такого типа движений, как известно, не обнаруживается в системах с постоянным КТОП.

Рис. 3

2. 2 < е* < 4(] = 2) . При 0>2 в системе происходят безостановочные движения тела. Уменьшая 0 до тех пор, пока значение функции у/{т]] в точке Т] = е, станет равным 2, получим уравнение границы, отделяющей стохастический режим движения от периодических режимов (циклов кратных точек [2,3]). Эта граница \у(е*) = 2 задается уравнением

2

2 + е

а-1

или а =

(4)

При дальнейшем уменьшении скорости появляется "форточка" в пространстве параметров, определяющая периодические движения с несколькими длительными остановками тела (циклы кратных точек). Уравнение этой границы

0 = 4/е (5)

определяет область значений параметров

4

< а <

2 + е

(6)

при которых существуют периодические движения с произвольным числом п длительных остановок (смотри рисунок)

Таким образом, при 2 < е < 4 будем иметь следующее: 0 > 2 - безостановочное движение;

2 + е

-<0 < 2 - "1-оборотный" стохастический

е

4 _ 2 + е*

режим; — <0 <- - циклы кратных точек;

ее

4

0 < а <— - "1-оборотный" периодический режим движения.

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 4.

Рис. 8

Аналогичные рассуждения для следующих значений е» позволяют указать точные границы различных типов движений и выделить области с различным поведением фазовых траекторий.

3. 4 < е* < 6, (7 = 3). Здесь, как и в случае 2, имеем:

- а > 2 - безостановочное движение тела.

2 + е* л _

- -<0 < 2 - "1-оборотный" стохастиче-

4

-— <0 < 2 - "1-оборотный" стохастический режим движения.

2 -е* 4

--< 0 < — - "2-оборотный" стохастиче-

е 3

ский режим движения.

8 „ 2 -е

- — <0 < е* е*

8

циклы кратных точек.

-0 <0 < — - "2-оборотный" периодический рее *

жим движения.

Рис. 10

ский режим движения.

Рис. 9

,4 2 + е*

-2--<0 <- - циклы кратных точек.

е* е*

4

-0 <0 < 2--- "1-оборотный" периодический

е *

режим движения.

4. 6 < е* < 8,(7 = 4). - 0 > 2 - безостановочное движение тела.

Обобщая полученные выше результаты, можно сделать следующие заключения:

1. Режимы движения без длительных остановок тела реализуются в области 00 (0 > 2, е* > 0)

2. Устойчивые периодические 7 -оборотные ре-

*

жимы движения со временем ] длительного кон-

такта

реализуются

(

а

7/2

2(у - 1)<е < 2 7,0 <0 < 27

Л

области

при четных

7 и 0 <0 <2-2

7 -1

при нечетных 7 .

3. Циклы кратных точек существуют в областях ак плоскости параметров 0, е», границы которых задаются соотношениями

0, = 1 - ^

е *

27

е *

2 - 2

7 -1

е

7 = 2,4,6,... 7 = 3,5,7,...

е

*

в

е

*

е

4. " 7 -оборотные" стохастические режимы движения реализуются в областях между границами

в = 1 + — ,в = 1 + —7 = 2,4,6,... е* 7 -1

Разбиение плоскости параметров в, е» представлено на рисунке

В работе обсуждаются также вопросы, касающиеся влияния амплитуды и частоты внешнего периодического воздействия на динамику тела при трении между телом и шероховатой ленты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ишлинский А.Ю., Крагельский И.В. О скачках при трении.// Журнал технической физики. 1944. Том 14. Выпуск 4/5. С.276-282.

2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1972.- 471 с.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.- М.: Физматгиз, 1959.- 915 с.

4. Метрикин В.С., Нагаев Р.Ф., Степанова В.В. Периодические и стохастические автоколебания в системе с сухим трением наследственного типа // ПММ, 1996. Т.60. Вып. 5. С.859-864.

5. .Шустер Г. Детерминированный хаос. - М.: Мир, 1988. -237 с.

Рис. 11.

ON THE THEORY OF THE DYNAMICAL SYSTEMS CONTAINING FRICTIONAL ELEMENTS WITH MEMORY

© 2011 V.S. Metrikin

Research Institute of Applied Mathematics and CyberneticsLobachevsky State University of Nizhni Novgorod,Nizhni Novgorod