О движениях маятника под действием периодического момента Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 3 (2), с. 83-86

УДК 517.92

О ДВИЖЕНИЯХ МАЯТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО МОМЕНТА

© 2011 г. Н.В. Киселева, А.А. Шишкин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

kis-tudm@yandex.ru

Поступила в редакцию 15.04.2010

Качественно-численными методами исследуются периодические движения маятника под действием периодического момента, описываемые трехпараметрическим нелинейным неавтономным дифференциальным уравнением. В ограниченной области пространства параметров, представляющей наибольший интерес, построены диаграммы устойчивости периодических вращений и выяснены бифуркации, приводящие к их возникновению и смене характера устойчивости. Выделены области существования установившихся 2п- и 4п-периодических режимов.

Ключевые слова: периодические движения, устойчивость, бифуркации, метод точечных отображений, неподвижная точка.

Введение

В работе исследуется математическая модель маятника, находящегося под действием периодического момента:

X + hX + a sin x = v sin t, (1)

где x - угол отклонения маятника от вертикали, h > 0 - коэффициент диссипации, a > 0 - параметр, характеризующий момент силы тяжести, v > 0 - амплитуда внешнего гармонического воздействия.

Периодическим движениям маятника отвечают решения Гр>?: x = x(t) уравнения (1), удовлетворяющие условию x(t + 2np) = x(t) + 2nq (p = 1,2,..., q = 0, ±1, ±2,...). При q = 0 решение ГРА отвечает 2пр-периодическому колебанию маятника, при q ф 0 - периодическому вращению: за период 2пр происходит |q| оборотов маятника в положительном (q > 0) или отрицательном (q < 0) направлении.

Периодические колебания маятника изучены в работе [1]. Выделены области D1j0(H), D1j0(B) и Di,o(<p) существования устойчивых 2п-периоди-ческих колебаний маятника около нижнего положения равновесия, верхнего положения равновесия и около прямой, образующей с вертикалью некоторый угол ф. Для значений параметров h = 0.125, 0 < a < 1.5, 0 < v < 3.5 они представлены на рис. 1. Установлены бифуркации, происходящие на ограничивающих эти области кривых. В области G устойчивых 2п-

периодических колебаний маятника не обнаружено.

В настоящей работе исследованы периодические вращательные движения, в процессе которых маятник совершает один или два оборота вокруг оси. Для отыскания соответствующих им периодических решений Г 1,1 и Г 2,2 уравнения

(1) использован метод точечных отображений

[2]. Каждому 2п-периодическому решению Г1,1 соответствует неподвижная точка порождаемого фазовыми траекториями уравнения (1) отображения Т поверхности И(х(тоё2л), х} кругового цилиндра в себя. Каждому 4п-периодичес-кому решению Г2,2 отвечает двучленный цикл двукратных неподвижных точек. Построение и исследование отображения Т проведено численными методами [3].

Сравнение бифуркационных диаграмм колебательных и вращательных движений позволило выделить области существования 2п- и 4п-периодических режимов движения маятника, представляющих наибольший интерес для приложений.

Бифуркациоппая диаграмма периодических вращений маятника

Бифуркационная диаграмма 2п- и 4п-периодических вращений маятника представлена на рис. 2 при Н = 0.125. Область существования 2п-периодических вращательных движений лежит правее кривой g0, которая соответ-

Рис. 1

Рис. 2

ствует возникновению сложной неподвижной точки отображения Т типа седло-узел. При переходе через кривую £0 слева направо она распадается на две неподвижные точки: устойчивую А+ и седловую В+. На кривой g0 один из корней рь р2 характеристического уравнения этих точек обращается в +1. Точка А+ соответствует устойчивому 2п- периодическому решению Г 1,1 уравнения (1), точка В+ - седловому.

Определение координат точки В+ и её типа в зависимости от параметров а, V показало, что она является седловой во всей области существования. Неподвижная точка А+ претерпевает бифуркации. Установлено, что точка А+ устойчива в области Б1’1, ограниченной кривыми go и g1. На кривой g1 один из корней характеристического уравнения точки А принимает значение -1. Неподвижная точка А становится сед-ловой, при этом одновременно возникает устойчивый двучленный цикл {А+, А+} двукратных неподвижных точек отображения Т, который соответствует устойчивому 4п-периодическому вращению маятника Г2,2, повторяющемуся после двух оборотов.

Это движение удвоенного периода устойчиво в области, ограниченной кривыми g1,

Я1, , й3. На кривых 81, £з, 83 устойчивый

двукратный цикл становится седловым. Смена

характера устойчивости сопровождается возникновением устойчивого четырехкратного цикла, соответствующего 8п-периодическим вращениям маятника. Бифуркации удвоения периода вращений продолжаются, однако области их устойчивости резко уменьшаются.

Область Б1’1, ограниченная кривой g6, представляет собой область устойчивости неподвижной точки А+. Для значений параметров из этой области устанавливаются 2п-периодичес-кие вращения маятника.

Проиллюстрируем переход через кривые g1 и g1 с ростом параметра V при фиксированном

параметре а = 0.5 следующим примером. В области Б1’1 ниже кривой g1 при V = 0.78, существует неподвижная точка А+ (5.2233,0.5690) типа устойчивый узел ( =-0.468, р2 =-0.973). В области Б2’2, расположенной выше кривой gl, при V = 0.79 точка А+ (5.2269,05620) является седловой (р1 =-0.421, р2 =-1.083), но при этом существует устойчивый двукратный цикл (А+,А+} = {(5.3840,0.5930),(5.0629,0.5206)}, для которого р1 = 0.532, р2 = 0.381. В области Б2’2 выше кривой g 3 при V = 0.86 имеем седловую неподвижную точку А+ (5.3525,0.5039) (р1 =-0.291, р2 =-1.565) и седловой цикл

{А+, А2+} = {(5.7205,0.5602), (4.7526,0.3645)}

(р1 = 0.151, р2 = -1.376).

На кривой g5 возникает сложный двукратный цикл типа седло-узел, который при переходе через кривую g5 в сторону возрастания параметра а распадается на устойчивый цикл {А1, А2} и седловой цикл {В1, В2} двукратных неподвижных точек. На кривой g5 один из корней характеристического уравнения этих циклов обращается в +1. Цикл {В1, В2} не меняет устойчивость. Цикл {А1, А2} устойчив в области, ограниченной кривыми g5, g6, g7, g8, и соответствует устойчивым 4п-периодическим вращениям маятника, повторяющимся после двух его оборотов около оси вращения.

Кривая g6 отвечает слиянию устойчивого цикла {А1, А2} с седловой неподвижной точкой А+ и последующему его исчезновению. При этом точка А+ становится устойчивой. На кривых g7 и g8, соответствующих обращению корня характеристического уравнения цикла {А1, А2} в -1, он меняет характер устойчивости и становится седловым.

В качестве примера проследим за описанными бифуркациями с ростом параметра V при фиксированном значении а = 0.9. В области Б2’2, лежащей выше кривой g5, при V = 1.69 существуют седловая неподвижная точка А+ (5.9055, - 0.5499) ( = -0.455, р2 =-1.002) и устойчивый двукратный цикл {А1, А2} = {(5.9021, - 0.5907),(5.9008, - 0.5104)} (р1 = 0.994, р2 =

= 0.209. После перехода через кривую g6 в область Б1’1 при v= 1.70 имеем устойчивую неподвижную точку А+ (5.8382,-0.7860) (р1 =-0.460, р2 = -0.989).

Заключение

Сравнение бифуркационных диаграмм, представленных на рисунках 1 и 2, показывает, что области устойчивости периодических колебаний и вращений маятника пересекаются. Это означает, что одновременно могут существовать несколько различных устойчивых периодических режимов движения маятника колебательного или вращательного типа. Каждый режим имеет свою область притяжения. Установление одного из них зависит от начальных условий.

На рис. 3 выделены области установившихся 2п- и 4п-периодических движений маятника. При значении параметров из областей Б^0(н), Б1’0(в) и Б1’0(ф) устанавливаются 2п-периодичес-кие колебания Г 1’1 маятника около нижнего положения равновесия, верхнего положения рав-

новесия или вокруг прямой, образующей с вертикалью некоторый угол ф, соответственно. Области Б ’ и Б ’ отвечают 2п- и 4п-периодическим вращениям Г 1,1 и Г2,2 маятника. В областях

°!;ф°да°временн° существуют

2п-периодические вращения маятника Г 1,1 и 2п-периодические колебания Г10 одного из трех видов. Области Б^ ^Б^^Б^) отвечают одновременному существованию 4п-периодичес-ких вращений Г2,2 и 2п-периодических колебаний Г10. В областях Б не обнаружено устойчивых неподвижных точек отображения Т, соответствующих движениям Г 1>0, Г 1,1, Г2,2 маятника.

V

А -------------------------1------------------------1-------------------------1--->

о 0.5 1 1.5 а-

Рис. 3

Список литературы

1. Баталова З.С., Киселева Н.В. О колебаниях маятника под действием периодического момента // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2001. Вып. 1(23). С. 45-49.

2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 471 с.

3. Неймарк Ю.И., Баталова З.С., Белякова Г.В. и др. Алгоритмы и программы численного исследования динамических систем. Горький: ГГУ, 1983. 80 с.

ON PENDULUM MOTION UNDER THE INFLUENCE OF A PERIODIC MOMENT

N.V. Kiseleva, A.A. Shishkin

By means of qualitative numerical analysis methods, we study periodic pendulum motion described by a nonlinear nonautonomous three-parametric differential equation under the influence of a periodic moment. In the restricted range of the parameter space that represents the greatest interest, the stability diagrams for periodic rotations are built. Bifurcations leading to their excitation and changing the nature of stability are found. Existence domains of 2n- and 4n-periodic steady-state regimes are obtained.

Keywords: periodic motions, stability, bifurcations, point mapping method, fixed point.