CC BY
64
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 323-332
УДК 621.391.01
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ С ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ УСИЛЕНИЯ
© 2014 г. В.П. Пономаренко
НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
Поитупсл4 к ред4кцсю 25.05.2014
Приведены результаты исследования динамических состояний и бифуркаций в автогенераторной системе с фазовым управлением и автоматическим регулированием усиления в цепи управления частотой генерируемых колебаний. На основе математической модели системы с двумя с половиной степенями свободы в цилиндрическом фазовом пространстве и качественно-численных методов установлено расположение областей параметров с различными динамическими режимами, изучены процессы, развивающиеся в результате потери устойчивости синхронного режима, исследованы особенности преобразования несинхронных режимов при изменении параметров. Показано, что в такой системе возможно установление как режима синхронного слежения, так и несинхронных периодических и хаотических режимов различной сложности.
Ключекые илок4: системы с фазовым управлением и автоматическим регулированием усиления, динамические состояния, устойчивость, бифуркации, аттракторы, фазовые портреты, режим слежения, несинхронные режимы, динамический хаос.
1. Системы с фазовым управлением, иначе называемые системами фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) [1], являются необходимым устройством современных информационно-телекоммуникационных систем, предназначенных для решения как многих традиционных задач управления частотой генераторов периодических колебаний, так и новых, нетрадиционных задач генерации сложных колебаний, в том числе и хаотических. В связи с этим исследование процессов нелинейной динамики различных вариантов структуры таких систем продолжает оставаться актуальным для решения задач синхронизации и слежения и новых задач создания эффективных генераторов хаотических колебаний для систем связи [2-6]. В данной работе представлены результаты исследования режимов динамического поведения автогенераторной системы с фазовой автоподстройкой частоты и автоматическим регулированием усиления (АРУ) в цепи управления частотой генерируемых колебаний. Рассматривается структура системы ФАПЧ-АРУ, синтезированная для решения задач следящей оценки параметров радиосигнала с амплитудной модуляцией несущей [7, 8]. Благодаря наличию петли АРУ уменьшается влияние изменения амплитуды входного сигнала, в результате система ФАПЧ приобретает свойства адаптивной системы, в которой адаптация осуществляется следящей подстройкой коэффициента усиления петли фазового управления.
Исходным описанием динамических процессов в рассматриваемой системе ФАПЧ-АРУ служат выведенные уравнения для оценок А и В непостоянных амплитуды А и фазы В входного сигнала, полученные в [7, 8]. В связи со сложностью рассматриваемой задачи сделаем следующие упрощающие предположения: будем считать амплитуду А постоянным параметром, принимающим произвольные положительные значения, и не будем учитывать влияние помех. При этих предположениях уравнения динамики рассматриваемой системы, записанные для фазового рассогласования ф=В-В и отношения амплитуд х=А /А, в операторной форме ) представляются в следующем
виде [9, 10]:
рф/к =у—К\ (р)х8тф, х=80+к2К2(р)(со8ф—х+ах8тф). (1) В уравнениях (1) у=рВ/к\ - относительная начальная расстройка частот входного сигнала и колебаний управляемого генератора, к! - полоса удержания системы ФАПЧ, 80=А0/А, А0 -среднее значение амплитуды входного сигнала, к2 - коэффициент преобразования петли АРУ, а -степень связи через управляющие сигналы подсистем ФАП и АРУ, К\(р) и К2(р) - коэффициенты передачи фильтров низких частот в цепях управления подсистем ФАПЧ и АРУ.
В данной работе мы рассмотрим особенности динамики системы ФАП-АРУ, описываемой уравнениями (1), в случае, когда в цепях управ-
ления используются фильтры второго порядка с коэффициентами передачи K1(p)=1/(1+a1p+a2p2), K2(p)=1/(1+a3p+a4p2), где a1, a2, a3 и a4 - постоянные времени. Такие фильтры интересны тем, что они соответствуют моделям изменения параметров $(t) и A(t), используемым в ряде прикладных задач приема и обработки сигналов [7, 8].
2. Математическую модель динамики рассматриваемой системы получаем из уравнений (l) и записываем в виде
dф/dт=y, dy/dx=z, ^1dz/dx=Y-xsin9-y-s1z, dx/dx=v, ^2dv/dx=8-Px+cos9+axsin9-s2v, (2) где x=k1t, 8=80/k2, P=l+1/k2, s1= a1k1, ц1= a2k12, s2=a3k1/k2, ^2=a4k12/k2. Система уравнений (2) в силу периодичности правых частей по фазовой переменной ф с периодом 2л является динамической системой с пятимерным цилиндрическим фазовым пространством U=^(mod2rc), y, z, x, v}. Параметры 8, в, ц1, е1, ц2, е2 положительны по физическому смыслу. В силу инвариантности системы (2) относительно замены (у,а,ф)^(-у,-а,-ф) достаточно рассматривать ее при значениях а>0.
При исследовании системы (2) основное внимание уделено решению следующих двух задач. Первая задача связана с определением условий существования и реализации режима слежения, в котором система ФАПЧ-АРУ осуществляет автоматическую подстройку частоты и амплитуды колебаний управляемого генератора к аналогичным параметрам входного сигнала, обеспечивая воспроизведение входного сигнала. Эта задача представляет наибольший интерес для традиционного применения систем ФАП-АРУ как устройств, реализующих оптимальные алгоритмы приема сигналов с непостоянной амплитудой. Вторая задача имеет целью получить представление о возможных типах несинхронных режимов (режимов с непостоянными величинами рассогласований частот и амплитуд) и сценариях их эволюции при изменении параметров модели (2). Эта задача представляет интерес для проблемы расширения функциональных возможностей систем с фазовым управлением за счет использования различных несинхронных режимов в качестве рабочих процессов систем.
В фазовом пространстве U режиму слежения отвечает устойчивое состояние равновесия системы (2); несинхронным (квазисинхронным и асинхронным) режимам соответствуют устойчивые предельные циклы, притягивающие торы и хаотические аттракторы колебательного, вращательного и колебательно-вращательного типов. Квазисинхронные режимы, определяемые аттракторами колебательного типа системы (2),
характеризуются непостоянством разности фаз Ф, которая изменяется в ограниченном диапазоне значений (обычно не превосходящем 2л). В асинхронных режимах, определяемых аттракторами вращательного и колебательно-вращательного типов системы (2), наблюдается либо возрастание (убывание) разности фаз ф, т.е. имеет место вращение ф (это режимы вращательного типа), либо чередование стадий неограниченного изменения (вращения) и колебательного поведения ф в ограниченном диапазоне значений (это режимы колебательно-вращательного типа). Важно отметить, что в несинхронных режимах имеют место периодические или хаотические автомодуляционные колебания управляемого генератора системы ФАП-АРУ.
Следует также отметить, что и в решении первой задачи исследование несинхронных режимов имеет принципиальное значение - бифуркации, в результате которых появляются несинхронные режимы, определяют границы областей параметров модели (2), в которых обеспечивается существование и глобальная устойчивость режима слежения в исследуемой системе. Таким образом, знание особенностей поведения системы в несинхронных режимах и способов воздействия на развитие колебательных процессов имеет большое значение для правильного выбора режимов и значений параметров системы в различных конкретных приложениях.
Нелокальное исследование системы (2) сопряжено с существенными трудностями, в связи с чем при решении поставленных в данной работе задач применено компьютерное моделирование, которое базируется на качественных и численных методах нелинейной динамики [11—13], технологии вычислительного эксперимента с нелинейными математическими моделями [14] и использовании специализированного программного комплекса «Динамика нелинейных систем» [15]. В качестве характеристик исследуемых движений модели (2) используются временные реализации колебательных процессов, проекции фазовых портретов аттракторов, сечение Пуанкаре, мультипликаторы периодических движений, ляпуновские характеристические показатели.
3. Рассмотрим динамические состояния и бифуркации, которые реализуются в системе (2) при изменении параметров и у, полагая фиксированными значения остальных параметров. На рис. 1 представлена бифуркационная диаграмма на плоскости (ц-ьу), построенная при значениях параметров а=2.0, (3=1.1, 8=1.25, е1=1.0, ц2=0.2, е2=2.0, на которой выделены характерные области динамики системы ФАПЧ-
АРУ. Охарактеризуем кривые и области параметров, представленные на диаграмме (ц-ьу).
Линия у=у0 - это граница области существования состояний равновесия системы (2). Значение у0 найдено из уравнений, полученных в [9, 10]. При значениях у>у0 в области х>0 фазового пространства и существуют два состояния равновесия: -41(ф1, 0, 0, х1, 0, 0, 0, х1, 0), А2(ф2, 0, 0, х2, 0), координаты ф1, х1, ф2, х2 определяются из уравнений
у - хзшф = 0, 8 - Рх + ео8ф + атпф = 0. (3) Анализируя характер состояний равновесия по корням соответствующих характеристических уравнений, устанавливаем, что состояние равновесия А1 может быть как устойчивым, так и неустойчивым, состояние равновесия А2 - неустойчивое седлового типа. На рис.1 кривая у8 ограничивает область Б0: {у0<у<у8} устойчивости состояния равновесия А1. Область Б0 является областью удержания режима слежения системы ФАПЧ-АРУ.
Кривая ур, соответствующая бифуркации петли сепаратрисы Пф седло-фокуса А2 (Де Я,12<0, 1т Я,1-2^0, А,3<0, ^4<0, Я,5>0, где - корни
характеристического уравнения для состояния равновесия А2), разделяет область Б0 на области А: {тах(у0,ур)<у<у5} и А: {у0<у<тт(ур,у8)}. Для значений ц и у из области Б1 состояние равновесия А1 является единственным (по результатам численного исследования модели (2)) аттрактором в фазовом пространстве И. Следова-
тельно, область Б1 - это область захвата в режим слежения, для значений параметров из этой области режим слежения в системе ФАПЧ-АРУ устанавливается при любых начальных условиях.
При переходе с увеличением ц1 (или с уменьшением у) через границу ур в область Б2 из петли Пф появляется устойчивый (так как седловая величина ст=Я,5+Яе А,г<0, /=1,2,3,4) 2л-периодический по ф вращательный предельный цикл Ь0. Численное исследование модели (2) показывает, что в области Б2 при изменении параметров ц1 и у наблюдается седло-узловая бифуркация предельного цикла Ь0, в результате которой цикл Ь0 исчезает и система переходит к режиму вращательного хаотического аттрактора Ж0 через перемежаемость. На рис. 2а,б приведены (фу)-проекции фазовых портретов и фрагменты временных реализаций колебательных процессов у(т), соответствующие режимам цикла Ь0 и хаотического аттрактора 1¥0. Примечательно, что асинхронные режимы предельного цикла Ь0 и хаотического аттрактора !¥0 существуют в области Б2 одновременно с режимом слежения. Какой из этих режимов реализуется в системе - это зависит от начальных условий.
При пересечении (с возрастанием параметра ц1) границы у8 области устойчивости Б0 режима слежения в системе (2) наблюдается суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа [13], в результате которой в фазовом пространстве и мягко рождается устойчивый предельный цикл
51 колебательного типа, охватывающий ставшее неустойчивым состояние равновесия Ль т.е. происходит мягкий переход системы ФАП-АРУ от режима слежения к периодическому квазисинхронному режиму. На рис. 2в изображены (ф.у)-проекция фазового портрета и зависимость у(т), соответствующие колебательному циклу 5].
Квазисинхронный режим цикла 51 существует в области Дс0, заключенной между кривой у8 и частями кривых усЬ уаг, Ус2, Уоз и уа2 (рис. 1). Кривые ус1, ус2 и ус3 соответствуют седло-узловым бифуркациям, а кривые уш и уа2 - бифуркациям удвоения периода колебательных предельных циклов системы (2). Бифуркационная кривая ур разделяет область Дс0 на области Бс1 и Д^: {у5<у<шт(ур, уа2)}. В области А: предельный цикл является (по результатам численного исследования) глобально устойчивым, т.е. квазисинхронный режим, соответствующий этому циклу, реализуется в системе при любых начальных условиях. При значениях параметров из области Дс2 в фазовом пространстве и одновременно существуют предельный цикл 5*1 и аттракторы вращательного типа, которые могут быть как периодическими, так и хаотическими.
Хаотизация колебаний осуществляется через бифуркации удвоения периода вращательных предельных циклов.
При значениях щ и у из области Дс3, ограниченной частями кривых ус2, ус3, уа1 и уа2, в фазовом пространстве и существуют два колебательных предельных цикла: 51 и 52. Соответствующие циклу 52 (ф,у)-проекция фазового портрета и зависимость у(т) приведены на рис. 2г. Реализация в системе ФАПЧ-АРУ квазисинхронных режимов предельных циклов 51 или 52 зависит от начальных условий. При переходе с изменением параметров щ и у из области Дс3 в область Дс1 через кривые ус2 и ус3 происходит исчезновение одного из предельных циклов 51 и 52. Таким образом, область Дс0=Дс1^Дс3, граничащая с областью Д\, - это область периодических квазисинхронных режимов системы ФАПЧ-АРУ.
В области Дг, расположенной на диаграмме (ц,у) справа от области Дс0, система (2) демонстрирует сложную динамику - в фазовом пространстве и наблюдаются колебательные, вращательные и колебательно-вращательные регулярные и хаотические аттракторы, определяющие характер автомодуляции частоты колеба-
ний управляемого генератора системы ФАПЧ-АРУ. При значениях параметров из областей Ды и Д^ в фазовом пространстве существует хаотический аттрактор Р0 колебательного типа, который образуется в результате бифуркаций удвоения периода предельных циклов 51 и S2. Режиму аттрактора Р0 отвечают хаотические автомодуляционные колебания относительно неустойчивого состояния равновесия А1. На рис. 2д даны (ф,у)-проекция фазового портрета и фрагмент реализации у(т), соответствующие режиму аттрактора Р0. При выходе из областей Ды и ДЬ2 с возрастанием ц1, а также при пересечении кривой у1 (рис. 1) происходит прекращение квазисинхронных режимов с переходом системы к режимам периодических или хаотических аттракторов вращательного или колебательно-вращательного типа. Пример аттрактора колебательно-вращательного типа W1 приведен на рис. 2е.
Примечательно, что в областях и Д&1 на рис. 1 (Да1,Да2еДг) наряду с асинхронными режимами в системе существуют и периодические квазисинхронные режимы колебательных предельных циклов Sl и S2 соответственно. Характерным является сложный вид правой границы области Дд2: эта граница образована кривыми, соответствующими бифуркациям удвоения периода и седло-узловым бифуркациям предельного цикла S2. Качественное расположение этих бифуркационных кривых изображено на рис. 3, где кривые уа3 и уа4 отвечают бифуркациям удвоения, а кривые ус4, ус5 и ус6 - седло-узловым бифуркациям. Отметим, что в области Д^3 существуют два колебательных предельных цикла S2 и S3, цикл S3 появляется при пересечении кривой ус6 при возрастании параметров ц1 или у. При переходе через кривые ус4 и ус5 с возраста-
нием ц1 режим предельного цикла S2 прекращается и система жестко переходит к режиму колебательно-вращательного хаотического аттрактора. При удалении с возрастанием ц1 от кривых уа3 и уа4 вначале в фазовом пространстве и образуется колебательный хаотический аттрактор в результате бифуркаций удвоения периода колебательного цикла, затем через перемежаемость «хаос-хаос» система переходит к асинхронному режиму колебательно-вращательного хаотического аттрактора, имеет место чередование предельных циклов и хаотических аттракторов различной сложности.
Таким образом, проведенный анализ динамики модели (2) в области Дг показывает, что область Дг имеет сложную структуру, в ней существуют области с различными типами несинхронных режимов системы ФАПЧ-АРУ. Рассмотрим некоторые особенности динамики несинхронных режимов, наблюдаемых в области Дг. Обратимся к результатам однопараметриче-ского исследования системы (2) при вариации параметра ц1. На рис. 4 приведена бифуркационная диаграмма (ц1, у) точечного отображения Пуанкаре, порождаемого траекториями системы (2), построенная при значении параметра у=0.3 (рис. 4а), и (ф,у)-проекции фазовых портретов и зависимости у(т) и ф(т), соответствующие аттракторам системы (2) при различных значениях параметра ц1 (рис. 4б-д). Диаграмма на рис. 4а отражает эволюцию квазисинхронного режима предельного цикла S1 при изменении ц1 от 0.95 до 3.4.
Для динамики режима цикла S1 характерны последовательно реализуемые следующие явления: бифуркация удвоения периода с образованием двухоборотного колебательного предельного цикла S12; прекращение квазисинхронного
0.2
-3.1 4 ф 3.1 4 0 х 2000
Рис. 4. Эволюция квазисинхронного режима предельного цикла 5 при изменении параметра ц при значениях а=2.0, 3=1.1, 8=1.25, 81=1.0, ^=0.2, е2=2.0, у=0.3 (а) и аттракторы системы (2) при значениях Ц1=1.72 (б); 2.0 (в); 3.06 (г); 3.227 (д)
режима в результате седло-узловой бифуркации цикла 512 и жесткий переход к режиму колебательно-вращательного хаотического аттрактора; чередование этого режима с периодическими режимами колебательно-вращательных предельных циклов (пример одного из таких циклов - трехоборотного цикла Ь3 - приведен на рис. 4б); переход от режима колебательно-вращательного хаотического аттрактора W1 (рис. 4в) к квазисинхронному режиму колебательного предельного цикла 54 (рис. 4г); хаоти-зация колебаний в режиме цикла 54 с последующим переходом к режиму хаотического аттрактора W2 через перемежаемость «хаос-хаос» (рис. 4д). Примечательно, что для большего интервала значений параметра ц в системе наблюдается хаотический режим колебательно-вращательного хаотического аттрактора.
На рис. 5 а приведена бифуркационная диаграмма (Ц1.у), соответствующая значению параметра у=—0.1, а на рис. 5б-е даны (фу)-проекции фазовых портретов и зависимости у(т)
и ф(х), соответствующие аттракторам системы (2). Диаграмма (^„у) характеризует эволюцию квазисинхронного режима предельного цикла 51 (см. рис. 2в) и асинхронного режима предельного цикла Ь\ (рис. 5б) при изменении параметра ц от 1.2 до 3.1. В интервале М1: {1.2<Ц1<1.72} наблюдаются бифуркации удвоения периода цикла 51, которые завершаются переходом к режиму колебательного хаотического аттрактора Р0 (см. рис. 2д). При возрастании ц аттрактор Р0 преобразуется в колебательно-вращательный хаотический аттрактор W3 за счет появления в структуре аттрактора Р0 редких витков вращательных траекторий (рис. 5в). Аттрактор Р0 существует одновременно с предельными циклами Ь1 и Ь^ (последний образуется в результате бифуркации удвоения периода цикла Ь1), а аттрактор W3 - с предельным циклом Ь12, т.е. система демонстрирует бистабиль-ное поведение.
При переходе с возрастанием ц в интервал М2: ^Л^^Л} в системе наблюдается
■3.14 ф 3.14 О X ЮО
Рис. 5. Развитие несинхронных режимов при изменении параметра ц 1 при значениях а=2.0, Р= 1.1, 8=1.25, 81=1.0, ^2=0.2, 82=2.0, у=-0.1 (а) и аттракторы системы (2) при значениях ц1=1.73 (б); 1.94 (в); 2.16 (г); 2.7 (д); 2.72 (е)
жесткий переход от режима хаотического аттрактора W3 к режиму предельного цикла Ь12. При возрастании ц1 на базе предельного цикла Ь1 в фазовом пространстве образуется колебательно-вращательный хаотический аттрактор W4 (рис. 5г). Область существования аттрактора W4 прерывается «окнами» многооборотных вращательных предельных циклов. С дальнейшим увеличением ц 1 вначале наблюдается усложнение колебаний в режиме аттрактора W4 (рис. 5д), а затем происходит жесткий переход к асинхронному режиму предельного цикла Ь2 (рис. 5е). Далее на базе цикла Ь2 образуется хаотический аттрактор W5, который преобразуется
через перемежаемость «хаос-хаос» в хаотический аттрактор, подобный аттрактору W4. Процесс перемежаемости характеризуется нерегулярным чередованием стадий движения на аттракторах W4 и W5.
4. Приведенные выше результаты свидетельствуют о достаточно сложной картине перестроек динамического поведения модели (2) при движении в области Дг с изменением параметров ц1 и у. При увеличении параметра ц2, характеризующего степень влияния фильтра второго порядка в цепи АРУ, в системе (2) наблюдаются явления сложной динамики, связанные с возможностью существования притяги-
вающих двумерных торов колебательного типа в фазовом пространстве и. Рассмотрим качественные особенности процессов возникновения и развития квазипериодического квазисинхронного режима, соответствующего колебательному тору.
Обратимся к случаю, когда значения параметров системы (2) а=2.3, у=-0.1, Р=1.1, 8=1.25, е1=1.0, ^2=25.0, 82=2.0, а параметр ц1 является варьируемым. На рис. 6 приведены (ф,у)-проекции фазовых портретов, временные зависимости ф(т) и у(т) и (у,х)-проекции сечения Пуанкаре, соответствующие аттракторам системы (2). Исходным состоянием системы при ц1=0.7 является квазисинхронный режим колебательного предельного цикла S1 (см. рис. 2в). При увеличении параметра ц 1 предельный цикл S1 теряет устойчивость (пара комплексно-сопряженных мультипликаторов цикла пересекает единичную окружность) и в фазовом пространстве рождается притягивающий двумерный тор Т1 колебательного типа (рис. 6а,б), которому в сечении Пуанкаре отвечает замкнутая инвариантная кривая Г1 (рис. 6в). Тору Т1 соответствует двухчастотный квазисинхронный режим системы ФАПЧ-АРУ.
При возрастании ц1 наблюдается чередование режима тора Т1 с режимами резонансных колебательных предельных циклов, некоторые из которых представлены проекциями сечения Пуанкаре на рис. 6г-е. Начиная со значения ц1=1.09 наблюдается искажение замкнутой инвариантной кривой Г1, что свидетельствует о преобразовании режима тора Т1 в колебатель-
ный хаотический аттрактор Р1 типа «тор-хаос» [13] (рис. 6ж). Режим аттрактора Р1 при возрастании ц1 сменяется режимом предельного цикла, представленного проекцией сечения Пуанкаре на рис. 6з. Затем на базе этого предельного цикла возникает хаотический аттрактор Р2 колебательного типа (рис. 6и,к,л). При продолжении увеличения ц1 хаотический аттрактор Р2 вырождается в колебательный тор Т2 (рис. 6м,н). Тору Т2 соответствует замкнутая инвариантная кривая Г2 (рис. 6н).
Квазисинхронный режим тора Т2 прекращается при ц1>1.52, и система жестко переходит к режиму колебательно-вращательного хаотического аттрактора W6 (рис. 6о,п), который, в свою очередь, при ц1>1.815 преобразуется в режим колебательного тора Т3. В интервале 1.815<ц1 <2.237 в системе наблюдается чередование режима тора Т3 и режимов резонансных предельных циклов. При переходе с возрастанием ц1 через значение 2.237 в системе происходит жесткий переход к режиму хаотического аттрактора колебательно-вращательного типа, подобного аттрактору, изображенному на рис. 6о,п. Этот режим поддерживается в системе при дальнейшем увеличении параметра ц 1.
5. В данной работе в рамках динамической модели с двумя с половиной степенями свободы в цилиндрическом фазовом пространстве исследованы режимы поведения и явления нелинейной динамики в автогенераторной системе с фазовой автоподстройкой частоты и автоматическим регулированием усиления. Установлено,
что исследуемая модель может иметь аттракторы различной сложности - от состояния равновесия до хаотических аттракторов колебательного, вращательного и колебательно-вращательного типов, которым отвечают соответственно режим слежения, синхронные, квазисинхронные и асинхронные режимы исследуемой системы ФАПЧ-АРУ. Выяснено, что в системе наблюдается потеря устойчивости режима слежения, которая сопровождается мягким возникновением периодического квазисинхронного режима. Внутри области существования (области удержания) режима слежения выделены область глобальной устойчивости этого режима (область захвата) и область, соответствующая сосуществованию режима слежения и несинхронных режимов различной сложности (область с мультистабильным поведением системы). Границы области захвата определяются бифуркациями, связанными с потерей устойчивости состояния равновесия с образованием петли сепаратрисы седло-фокуса и со слиянием устойчивого и седлового состояний равновесия. Области удержания и захвата служат основными динамическими характеристиками системы ФАПЧ-АРУ при решении задач следящей оценки изменяющихся параметров входного сигнала.
Выделена область со сложной динамикой исследуемой системы, имеющая неоднородную структуру, проанализированы сценарии развития несинхронных режимов при изменении параметра инерционности цепи фазового управления. Для этих сценариев характерны переходы между квазисинхронными и асинхронными режимами, возникновение хаотических режимов в результате бифуркаций удвоения периода предельных циклов, через перемежаемость и разрушение двумерных торов, а также в результате седло-узловых бифуркаций предельных циклов. Полученные результаты представляют интерес в плане расширения круга возможного применения рассматриваемой системы. Особенно важным представляется установленное существование областей значений параметров, при которых система демонстрирует хаотические аттракторы колебательно-вращательного типа. Режимы хаотических аттракторов такого типа представляют большой интерес при решении задач создания генераторов хаотических колебаний на основе систем с фазовым управлением [4, 5].
Сравнительный анализ результатов, полученных при исследовании динамики системы ФАПЧ-АРУ, с результатами исследования динамики отдельной системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка, приведенными в [3], показывает, что многие динамические режимы и явления, обнаружен-
ные в такой системе (потеря устойчивости синхронного режима, бифуркационные механизмы возникновения несинхронных режимов), свойственны и системе ФАП-АРУ. Это свидетельствует о сильном влиянии свойств поведения цепи фазового управления на динамику системы ФАП-АРУ. Наряду с этим установлена возможность существования в системе ФАП-АРУ двухчастотных квазисинхронных режимов, обусловленная наличием автоматического регулирования усиления. Примечательно, что, в отличие от отдельной системы ФАП, система ФАП-АРУ демонстрирует различное поведение в зависимости от знака начальной частотной расстройки у. Это связано с отсутствием у модели (2) свойства симметрии структуры разбиения пространства параметров относительно замены у ^ —у.
Список литературы
1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 448 с.
2. Каганов В.И. Радиоэлектронные системы автоматического управления. Компьютеризированный курс: Учебное пособие для вузов. М.: Горячая линия-Телеком, 2009. 432 с.
3. Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2013. 366 с.
4. Дмитриев А.С., Широков М.Е. Выбор генератора для прямохаотической системы связи // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49. № 7. С. 840-849.
5. Дмитриев А. С., Клецов А. В., Кузьмин Л. В. Генерация сверхширокополосного хаоса в дециметровом диапазоне // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54. № 7. С. 709-718.
6. Шахтарин Б.И., Кобылкина П.И., Сидоркина Ю.А. и др. Генераторы хаотических колебаний: Учебное пособие. М.: Гелиос АРВ, 2007. 248 с.
7. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. 704 с.
8. Кульман Н.К., Жеронкина Н.Н. Помехоустойчивость оптимального приема квазигармонического процесса с взаимно коррелированными амплитудой и фазой // Радиотехника и электроника. 1969. Т. 14. № 11. С. 2050-2053.
9. Пономаренко В.П. О режимах работы и области захвата системы фазовой синхронизации с цепью автоматического регулирования усиления (АРУ) // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 21. № 10. С. 2023-2031.
10. Пономаренко В. П. Бифуркации и колебательные режимы в сложной системе с фазовым управлением // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. № 3. С. 140-159.
11. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 548 с.
12. Системы фазовой синхронизации / Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. М.: Радио и связь, 1982. 288 с.
13. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.
14. Пономаренко В. П., Матросов В. В. Автоматизация исследований нелинейной динамики систем синхронизации // Вестник Верхне-Волжского
отделения АТН РФ. Высокие технологии в радиоэлектронике. Н. Новгород. 1997. Вып. 2(4). С. 1521.
15. Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем: Учебно-методическая разработка / Сост. В. В. Матросов. Н. Новгород: ННГУ, 2002. 54 с.
DYNAMIC PROPERTIES OF THE SYSTEM WITH PHASE AND GAIN CONTROL
V.P. Ponomarenko
The investigation results are presented on dynamic states and bifurcations in an auto-generating system with phase control and gain control in the frequency control circuit. The location of parameter domains with different dynamic modes is determined, the processes developing as a result of the synchronous mode stability loss are studied, and the peculiarities of asynchronous mode transformations with parameter changes are investigated on the basis of a mathematical model with two and a half degrees of freedom in the cylindrical phase space. Such a system has been shown to be able to establish a synchronous tracking mode as well as asynchronous periodic and chaotic modes of different complexity.
Keywords: systems with phase and gain control, dynamic states, stability, bifurcations, attractors, phase portraits, tracking mode, asynchronous modes, dynamic chaos.
References
1. Shahgil'dyan V.V., Lyahovkin A.A. Sistemy fazovoj avtopodstrojki chastoty. M.: Svyaz', 1972. 448 s.
2. Kaganov V.I. Radioehlektronnye sistemy av-tomaticheskogo upravleniya. Komp'yuterizirovannyj kurs: Uchebnoe posobie dlya vuzov. M.: Goryachaya liniya-Telekom, 2009. 432 s.
3. Shalfeev V.D., Matrosov V.V. Nelinejnaya dina-mika sistem fazovoj sinhronizacii. Nizhnij Novgorod: Izd-vo Nizhegorodskogo gosuniversiteta, 2013. 366 s.
4. Dmitriev A.S., Shirokov M.E. Vybor generatora dlya pryamohaoticheskoj sistemy svyazi // Radiotekhni-ka i ehlektronika. 2004. T. 49. № 7. S. 840-849.
5. Dmitriev A.S., Klecov A.V., Kuz'min L.V. Gener-aciya sverhshirokopolosnogo haosa v decimetrovom diapazone // Radiotekhnika i ehlektronika. 2009. T. 54. № 7. S. 709-718.
6. Shahtarin B.I., Kobylkina P.I., Sidorkina Yu.A. i dr. Generatory haoticheskih kolebanij: Uchebnoe posobie. M.: Gelios ARV, 2007. 248 s.
7. Tihonov V.I., Kul'man N.K. Nelinejnaya fil'traciya i kvazikogerentnyj priem signalov. M.: Sov. radio, 1975. 704 s.
8. Kul'man N.K., Zheronkina N.N. Pomek-houstojchivost' optimal'nogo priema kvazigarmonich-eskogo processa s vzaimno korrelirovannymi amplitudoj i fazoj // Radiotekhnika i ehlektronika. 1969. T. 14. № 11. S. 2050-2053.
9. Ponomarenko V.P. O rezhimah raboty i oblasti zahvata sistemy fazovoj sinhronizacii s cep'yu avto-maticheskogo regulirovaniya usileniya (ARU) // Radio-tekhnika i ehlektronika. 1986. T. 21. № 10. S. 20232031.
10. Ponomarenko V.P. Bifurkacii i kolebatel'nye rezhimy v slozhnoj sisteme s fazovym upravleniem // Izv. vuzov. Prikladnaya nelinejnaya dinamika. 2010. T. 18. № 3. S. 140-159.
11. Shil'nikov L.P., Shil'nikov A.L., Turaev D.V., Chua L. Metody kachestvennoj teorii v nelinejnoj dina-mike. Chast' 2. M.-Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i ha-oticheskaya dinamika», Institut komp'yuternyh issledo-vanij, 2009. 548 s.
12. Sistemy fazovoj sinhronizacii / Pod red. V.V. Shahgil'dyana, L.N. Belyustinoj. M.: Radio i svyaz', 1982. 288 s.
13. Anishchenko V.S. Slozhnye kolebaniya v pro-styh sistemah. M.: Nauka, 1990. 312 s.
14. Ponomarenko V.P., Matrosov V.V. Avtoma-tizaciya issledovanij nelinejnoj dinamiki sistem sinhro-nizacii // Vestnik Verhne-Volzhskogo otdeleniya ATN RF. Vysokie tekhnologii v radioehlektronike. N. Novgorod. 1997. Vyp. 2(4). S. 15-21.
15. Dinamika nelinejnyh sistem. Programmnyj kom-pleks dlya issledovaniya nelinejnyh dinamicheskih sis-tem s nepreryvnym vremenem: Uchebno-meto-dicheskaya razrabotka / Sost. V.V. Matrosov. N. Novgo-
rod: NNGU, 2002. 54 s.
