Бифуркационные диаграммы некоторых режимов вращения ротора, синхронных с колебаниями его оси Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. /Лобачевского, 2009, №6(1), с. 1 63-1 70

УДК 517.92

БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ НЕКОТОРЫХ РЕЖИМОВ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА, СИНХРОННЫХ С КОЛЕБАНИЯМИ ЕГО ОСИ

© 2009 г. Н.В. Киселева, М.В. Соколова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского kis-tudm.@yandex.ru

Поступила в редакцию 01.08.2009

Качественно-численными методами изучаются 10п-периодические вращения ротора, возникающие в окрестности 2п-периодического вращательного движения. В пространстве параметров выделены области их существования и устойчивости. Выяснены бифуркации, приводящие к возникновению и смене характера устойчивости. Выявлены общие закономерности бифуркационных диаграмм 10п-периодических вращений ротора.

Ключевые слова: периодические движения, устойчивость, бифуркации, метод точечных отображений.

Введение

Задача синхронизации движений ротора с гармоническими колебаниями его оси вдоль вертикальной прямой приводит к изучению периодических решений уравнения

х + Их = Ь -(а + vsm^)smх. (1)

Здесь х — угол отклонения ротора от нижнего вертикального положения, отсчитываемый против часовой стрелки. Параметры И, Ь, а, V характеризуют коэффициент линейного вязкого трения, постоянный вращающий момент, момент силы тяжести, амплитуду колебаний оси вращения. В [1] найдены и исследованы области существования и устойчивости некоторых многопериодических вращений ротора. В настоящей работе продолжено изучение синхронизмов, являющихся вторичными резонансами [2]. Исследуются 10п-периодические решения Г55: х^ + 10п) = х(0 + 10п уравнения (1), соответствующие пяти оборотам ротора против часовой стрелки за пять периодов колебания его оси, которые возникают в окрестности 2п-пе-риодического вращения Г^: х^ + 2п) = х(^)+2л периода колебаний оси (первичный резонанс [2]). Отыскание периодических решений сведено к нахождению циклов неподвижных точек точечного отображения Т поверхности #{х(тогі2л), х } в себя, порождаемого траекториями уравнения (1). Это позволило для каждого решения с помощью комплекса алгоритмов и программ [3] определять координаты начальной точки (х(0), х (0)) и его мультипликаторы Рі и р 2, характеризующие устойчивость в первом приближении.

Периодические решения Г55 и Г11 исследованы в конечной области _0{0<й<0.01, 0<Ь<0.1, 0<а<0.5, 0^<1.5} пространства параметров. (Частный случай И=а=Ь=0 рассмотрен ранее в [4]).

В результате проведенного исследования построены бифуркационные диаграммы ряда периодических вращений Г 55, содержащие области существования и устойчивости. Выяснены бифуркации, приводящие к их возникновению и смене характера устойчивости. Выявлены общие закономерности бифуркационных диаграмм 10п-периодических вращений ротора, возникающих в окрестности первичного резонанса Г11.

1. Периодические вращения Г ід

Бифуркационная диаграмма 2п-периоди-ческих решений Г11 в случае И = 0 (отсутствие диссипации) и Ь=0.1 представлена на рис. 1а линиями L11, L111, L112. (Сплошные линии на рис.1 соответствуют возникновению периодических решений, пунктирные - смене характера устойчивости.) Областью существования двух 2п-периодических решений Г111 и Г112 является область, расположенная справа от кривой L11. Бифуркация, происходящая на этой линии, состоит в возникновении сложного периодического решения Г11 с мультипликаторами р12 = +1, которое при переходе через L11 слева

Т"1 1

направо распадается на седловое решение 1^ и решение Г112 эллиптического типа. Решение Г111 сохраняет седловой тип во всей области существования (р12 — действительные, положительные, р1>1, р2 = р1-1<1). Решение Г112

имеет эллиптический тип в области между кривыми L11, L111 и в области правее кривой L112. При движении точки (V, а) от кривой L11 к кривой L111 и от линии L112 к прямой V = 1.5 его мультипликаторы р12 (у, а) = ехр(± гф(у, а)) движутся на комплексной плоскости р по единичной окружности |р| = 1. При этом угол ф(у, а) строго монотонно возрастает соответственно от 0 до п и от п до 2п. В точках кривых L111 и L112 значения р12 = -1 и при переходе через них в ограниченную ими область решение Г1,12 меняет свой тип на седловой (р12 — действительные, отрицательные, |р11>1, |р2|=|р1-1|<1). В области

Т"1 2

эллиптичности решения 11,1 лежат кривые, на которых выполняется резонансное соотношение 5 ф (V, а) = 2 щ , (2)

и согласно [5] от решения Г1,12 эллиптического типа отрождаются два решения Г5,5гц (г = 1,2) пятикратного периода. Число ц характеризует переход точек пятичленного цикла, соответствующего решению Г 5,5гц, в соответствии с рис. 2.

Исследование 2п-периодичесских решений Г111 и Г112 при наличии диссипации (к>0) показало, что их бифуркационная диаграмма также содержит кривую L11 возникновения и кривые L111 , L112 смены характера устойчивости (см. рис. 1б, к = 0.001, Ь = 0.1), но они отвечают уже другим бифуркациям. Бифуркационная кривая L11 соответствует возникновению сложного периодического решения Г11 типа седло-узел, для которого один из мультипликаторов равен +1. При переходе через L11 в сторону увеличения параметра V это

1

решение распадается на седловое 11,1 и узловое Г112. Решение Г111 во всех точках, расположенных правее кривой L11, имеет действительные положительные мультипликаторы р1 и р2 , причем р1>1, р2<1, и, следовательно, сохраняет седловой тип во всей области существования. Мультипликаторы решения Г и2 в области, лежащей правее кривой L11 и ниже кривых L111 и L112, имеют значения |р1>2|<1. Вблизи линий L11, L111, L112 мультипликаторы действительные, в середине этой области они комплексные сопряженные. Решение Г112 здесь асимптотически устойчиво (соответственно устойчивый узел или устойчивый фокус). На кривых L111 и L112 один из мультипликаторов решения Г112 обращается в -1. В области между этими линиями р12 действительные, отрицательные, |р1|>1, |р2|<1, решение Г112 имеет седловой тип.

2. Периодические вращения Г5,5г1

Как отмечалось в первом пункте, эти 10п-периодические решения в случае отсутствия

диссипации (к=0) отрождаются от 2п-перио-

2

дического решения Г 1,1 при выполнении резонансного соотношения (2) со значением ц = 1. Их бифуркационная диаграмма представлена на

рис. 1а линиями L55г1 (г=1,4). Область существования 10п-периодических вращений лежит правее линии L5511. Во всей этой области одно решение Г5511 является седловым (р1>1, 0<р2<1). Решение Г5,521 вблизи кривой L5511 имеет эллиптический тип, по мере удаления от нее претерпевает бифуркации. При переходе в область, лежащую выше линии L5521, оно меняет тип на седловой, в момент бифуркации р12 = -1. На кривой L5531 мультипликаторы решения Г 5,521 обращаются в +1 и оно распадается

у 31 у 41

на два решения Г 5,5 и Г 5,5 эллиптического типа и одно седловое, за которым сохраним

обозначение Г 5,521. При дальнейшем увеличении

21

параметра V решение Г 5,5 не меняет седловой тип. Решения Г5 531 и Г5 541 при переходе в об-

41

ласть, расположенную правее кривой L55 , становятся седловыми. В точках этой кривой их мультипликаторы р12 = -1. Таким образом, в области, ограниченной кривыми L5511 и L5531, существуют два 10п-периодических вращения, в области, расположенной под кривой L5531, -четыре таких режима.

Динамику решений Г5,5г1 (г = 1,4) иллюстрирует рис. 3а, на котором на развертке поверхности Н показано изменение положения 5-периодических точек соответствующих им

циклов Аг = { А1, Аг2 , А3, А4 , А5 } отображения Т при Ь = 0.1, а = 0.002 с ростом параметра V. Точкам эллиптического типа соответствует сплошная линия, седловым - пунктирная. Возникновение циклов А1 и А2 на кривой L5511 происходит при V = 0.291, ветв-

2 31

ление цикла А на линии L55 - при

V = 0.305, смена устойчивости циклов А3 и А4 на кривой L5541 - при V = 0.310. С ростом V периодические точки пятичленных циклов удаляются друг от друга.

Как видно из рис. 1а, кривые L5511 и L5531 выходят из одной точки (V = 0.245, а = 0). Это означает, что в случае а = 0 при выполнении

резонансного соотношения (2) с ц = 1 от пе-

21

риодического решения Г 1,1 эллиптического

типа отрождаются четыре 10п-периодических

1 1 21

решения: два седловых Г 5,5 , Г 5,5 с положительными мультипликаторами и два решения

31 41

Г 5,5 , Г 5,5 эллиптического типа. С ростом

1 1 21

параметра V решения Г 5,5 , Г 5,5 сохраняют

3 1 41

свой тип, решения Г 5,5 , Г 5,5 становятся

седловыми с отрицательными мультипликаторами при V = 0.301. В момент бифуркации

р12 = -1. Это подтверждает рис. 3б, аналогичный рис. 3а. Возникновение пятичленных циклов происходит при V = 0.245, смена типа циклов А3 и А4 с эллиптического на седловой - при V = 0.301.

При наличии диссипации периодические

-■—' г 1 т 11

решения Г 5,5 возникают на кривых L55 и L5531 (см. рис. 1б) в результате бифуркации рождения сложного периодического решения типа седло-узел. При переходе через кривую

11 31

L55 ^55 ) в сторону возрастания параметра V седло-узел распадается на седловое периоди-

11 21 41

ческое решение Г5,5 (Г5,5 ) и узловое Г5,5 (Г5,531). Решения Г5,511 и Г5,521 сохраняют седловой тип (р1>1, 0<р2<1). Решение Г5 541 в об-

11 21

ласти между кривыми L55 и L55 асимптотически устойчиво (|р12|<1). На линии L5521 один из его мультипликаторов принимает значение -1 и оно становится седловым (р1>2<0, |р1|>1, |р2|<1). Аналогичная бифуркация смены характера устойчивости решения Г5,531 происходит на кривой L5,541. Отметим, что область устойчивости решения Г5,531 (ог-

31 41

раничена L55 и L55 ) мала по сравнению с

областью устойчивости решения Г5,541 (огра-

11 21 ничена L55 и L55 ).

Изменение положения периодических точек пятичленных циклов Аг (г = 1,4) точечного отображения Т, соответствующих периодическим решениям Г55г1, при к = 0.001, Ь = 0.1, а = 0.002 с ростом параметра ve [0.3, 0.4] показано на рис. 3в. Седловое периодическое решение Г5511 и устойчивое Г5 541 возникают при V = 0.280 (момент их возникновения отмечен на рис. 3в точкой), седловое решение Г5,521 и устойчивое Г5 531 - при V = 0.320 (см. звездочку на рис. 3в). Решение Г5,541 меняет характер устойчивости при V = 0.303, решение Г5 531 - при V = 0.340. В случае к = 0.001, Ь = 0.1, а = 0 (рис. 3г) одновременное возникновение четырех решений

Г5 5г1 (г = 1,4) происходит при V = 0.240, смена

31 41

устойчивости решений Г5,5 и Г5,5 - при

V = 0.301. Из рис. 3в и рис. 3г видно, что при наличии диссипации 10п-периодические вра-

у г1

щения Г55 возникают в немалой окрестности решения Г112 периода 2п.

3. Периодические вращения Г5,5г2

В случае отсутствия диссипации два таких 10п-периодических решения отрождаются от

* Здесь и в дальнейшем при рассмотрении диссипативного случая сохраняется нумерация 10п-периоди-ческих решений, соответствующая к = 0.

2

первичного резонанса Г 1,1 при выполнении резонансного соотношения (2) со значением ц=2. Их бифуркационная диаграмма (см. рис. 1а) содержит кривые L5512 и L5522. Область существования 10п-периодических вращений Г5512 и 22 12 Г 5,5 лежит правее линии L55 . Во всей этой

области одно решение Г5512 является седловым

(р1>1, 0<р2<1). Второе решение Г5 522 в области

12 22

между кривыми L55 и L55 имеет эллиптический тип. При переходе в область, лежащую

22

правее линии L55 , оно меняет тип на седловой, в момент бифуркации р12 = -1.

Описанные выше бифуркации иллюстрирует рис. 4а, на котором показано изменение положения 5-периодических точек циклов Аг отображения Т, соответствующих 10п-периодиче-

ским решениям Г55г2 (г = 1,2), при Ь = 0.1, а = 0.05 с ростом параметра ve [0.35, 0.55]. Так же как и на рис. 3, здесь точкам эллиптического типа соответствует сплошная линия, седловым - пунктирная. Возникновение циклов А1и

А2 на кривой L5512 происходит при V = 0.375,

2 22 смена устойчивости цикла А на кривой L55 -

при v=0.470. С ростом V периодические точки пятичленных циклов удаляются друг от друга.

В диссипативном случае периодические решения Г 55г2 возникают в результате бифуркации рождения сложного периодического решения типа седло-узел, этой бифуркации на рис.

1б соответствует кривая L5512. При переходе

12

через кривую L55 в сторону возрастания параметра V седло-узел распадается на седловое пе-

12 22 риодическое решение Г5,5 и узловое Г5,5 . Ре-

12 12 шение Г 5,5 всюду правее кривой L55 сохраняет седловой тип (р1>1, 0<р2<1). Решение Г5 522 в

12 22

области между кривыми L55 и L55 асимптотически устойчиво (|р12|<1). На линии L5522 один из его мультипликаторов принимает значение -1 и оно становится седловым (р12<0, |р1|>1, |р2|<1)-

Изменение положения периодических точек пятичленных циклов Аг (г = 1, 2) точечного отображения Т при к = 0.001, Ь = 0.1, а = 0.05 с ростом параметра ve [0.35, 0.52] показано на рис. 4б (устойчивым точкам соответствует

сплошная линия, седловым - пунктирная). Сед-

12

ловое периодическое решение Г5,5 и устойчивое Г5 522 возникают при V = 0.402. Решение

22

Г5,5 меняет характер устойчивости при

V = 0.502.

Построение рисунков, аналогичных рис. 4а и рис. 4б, для случая а = 0 показало, что периоди-

т-1 г2

ческие решения Г5,5 в отличие от решений Г5 5г1 при а = 0 и а > 0 с ростом параметра V претерпевают одинаковые бифуркации.

Рис. 1

q = 1

q = 2

q = з

q = 4

4. Периодические вращения Г5,5г3 полнении резонансного соотношения (2) для

первичного резонанса Г112 со значением д = 3. Возникновение двух вторичных резонансов Проведенное исследование показало, что битакого типа происходит в случае И = 0 при вы- фуркационная диаграмма 10п-периодических

решений Г55г3 аналогична бифуркационной диа- решения Г5523 на седловой с отрицательными

грамме решений Г55г1. В случае отсутствия диссипации она представлена на рис. 1а кривыми L55г3 (г = 1,4). В области между линиями L5513 и

33 13 23

L55 существуют два решения Г5 5 и Г 5 5 , в области правее кривой L5533 - четыре решения Г55г3 (г = 1,4). Бифуркационная кривая L5513 соответствует выполнению резонансного соотношения (2) с ц = 3 и возникновению решений Г5513 и Г5523. Одно решение Г5513 всюду в области существования является седловым с положительными мультипликаторами р1>1, 0<р2<1. Другое решение Г5 523в области, расположенной между

13 33 23

кривыми L55 и L55 и слева от кривой L55 , имеет эллиптический тип. Бифуркационная кри-

23

вая L55 , на которой его мультипликаторы р1=р2=-1, отвечает смене характера устойчивости

мультипликаторами |р,| > 1,0 <|р,| < 1. Кривая L5533 соответствует бифуркации ветвления решения Г5523 (при р1 = р2 = +1) на два решения Г5533

Т"1 43 ... .

и Г 5,5 эллиптического типа и одно седловое, обозначаемое по-прежнему Г 5523 и сохраняющее при увеличении параметра V седловой тип с мультипликаторами р1>1, 0<р2<1. На кривой L5543 происходит бифуркация смены типа реше-

33 34

ний Г 5,5 и Г 5,5 с эллиптического на седловой с отрицательными мультипликаторами (в точках этой кривой р12 = -1).

Зависимость от параметра V координат периодических точек пятичленных циклов Аг отображения Т, отвечающих периодическим решениям Г55г3, имеет такой же вид, как на рис. 3. В качестве примера рассмотрим динамику реше-

ний Г55г3 при к = 0, Ь = 0.1, а = 0.01 и увеличении параметра V. Возникновение решений Г5 513

23 13

и Г 5 5 на кривой L55 происходит при V = 0.735, ветвление решения Г5 523 на кривой L5533 при V = 0.840, смена характера устойчивости

33 43 43

решений Г 5,5 и Г 5,5 на кривой L55 - при V =

= 0.860.

Укажем координаты циклов Аг, а также координаты периодической точки А, соответст-

2

вующей первичному резонансу Г 1,1 , и их мультипликаторы. Так, при V = 0.8 существуют два цикла в окрестности точки А(4.927, 0.795) с ри = -0.685 + 0.727/:

один седловой

А1 = {(5.6193, 0.8429), (4.4245, 1.2896),

(5.0880, 0.2256), (5.3321, 1.2412), (4.4190, 0.5646)}; р1 = 2.167, р2 = 0.462 и один устойчивый

А2 = {(5.3776, 0.4906), (4.8406,1.3131), (4.6338, 0.2260), (5.7859, 1.1510), (4.2828, 0.9802)}; р1,2 = 0.912 + 0.409г.

При V = 0.85 имеем два седловых цикла А1 = {(5.7102, 0.8195), (4.3118, 1.4556), (5.1973, 0.1019), (5.3661, 1.3182), (4.3343, 0.5178)};

р1 = 6.952, р2 = 0.144,

А2 = {(5.4439, 0.4479), (4.8280, 1.4000), (4.5011, 0.0911), (6.0796, 1.2501), (4.1596, 0.9680)}; р1 = 3.492, р2 = 0.286 и два устойчивых цикла

А3 = {(5.3795, 0.2996), (5.0159, 1.3833), (4.3999, 0.1966), (6.0697, 1.1636), (4.1335,1.1925)}; р1>2 = -0.389 + 0.9217,

А4 = {(5.5477, 0.5715), (4.6207, 1.4536), (4.7054, -0.0028), (5.9578, 1.2971), (4.1858, 0.8173)}; р1>2 = -0.334 + 0.942г

в окрестности точки А(4.9224, 0.7767) с р!>2 = = -0.577 + 0.816г. ’

Видно, что при отсутствии диссипации вблизи кривой возникновения L5513 решения

у г3

Г 5,5 находятся в малой окрестности первичного

2

резонанса Г 1,1 .

Отметим, что в случае а = 0 при выполнении резонансного соотношения (2) с ц = 3 аналогично случаю с ц = 1 от первичного резонанса Г112 эллиптического типа отрождаются четыре 10п-

13

периодических решения: два седловых Г 5,5 и

23

Г 5,5 с положительными мультипликаторами и

33 43

два решения Г 5,5 , Г 5,5 эллиптического типа (при к = 0, Ь = 0.1, V = 0.730). С увеличением параметра V седловые решения не меняют тип, решения эллиптического типа становятся сед-ловыми с отрицательными мультипликаторами (при к = 0, Ь = 0.1, V = 0.805).

Бифуркационная диаграмма 10п-периоди-

у г3

ческих решений Г 5,5 при наличии диссипации представлена на рис. 1б кривыми L55г3 (г = 1,4). При а > 0 возникновение сначала двух решений Г5 513(седловое) и Г5 543(асимптотически устойчивое), а затем еще двух решений Г5 523 (седло-вое) и Г5 533(асимптотически устойчивое) происходит через рождение сложного периодического решения типа седло-узел (кривые L5513 и L5533). Решения Г5 543 и Г5 533 становятся седло-выми с отрицательными мультипликаторами

23 43

при переходе через кривые L55 и L55 соответственно. В момент бифуркации один из мультипликаторов рассматриваемого решения принимает значение -1.

Например, для следующего набора параметров: к = 0.001, Ь = 0.1, а = 0.01 седловое реше-

13 43

ние Г 5,5 и устойчивое Г 5,5 возникают при

V = 0.773, седловое решение Г5 523 и устойчивое Г5 533 - при V = 0.842. Решение Г5 543 меняет характер устойчивости при v=0.854, решение Г5 533 - при V = 0.860. Приведем координаты точек циклов Аг и точки А отображения Т, соот-

Т"1 3г

ветствующих периодическим решениям Г 5,5 (г= 1,4) и Г 1д2, а также их мультипликаторы для рассмотренного выше примера.

При V = 0.8 имеем точку А(4.9246, 0.7947) с р1,2 = -0.682 + 0.726г и два пятичленных цикла: один седловой А1 = {(5.6462, 0.8793), (4.3860, 1.2798), (5.1269, 0.2388), (5.2784, 1.2718),

(4.4323, 0.5217)}; р! = 2.086, р2 = 0.455 и один устойчивый

А4 = {(5.7894, 1.0943), (4.2799, 1.0867), (5.3152, 0.4066), (4.9607, 1.2982), (5.5517, 0.2884)}; р12 = 0.850 + 0.537г.

При V = 0.85 существует точка

А(4.9093, 0.7797) с ри = -0.575 + 0.813г,

те же циклы

А1 = {(5.7201, 0.8326), (4.2935, 1.4530), (5.2097, 0.1081), (5.3431, 1.3215), (4.3362, 0.5023)}; р! = 6.884, р2 = 0.141 и

А4 = {(4.1301, 1.2062), (5.3778, 0.29187), (5.0218, 1.3836), (4.3957, 0.2016), (6.0635, 1.1574)}, р1>2 = -0.543 + 0.830г, а также еще два вновь возникших цикла: один седловой А2 = {(6.0633, 1.2650), (4.1596, 0.9680), (5.4656, 0.4795), (4.7761, 1.4100), (4.5331, 0.0656)}; р: = 3.492, р2 = 0.286 и один устойчивый

А3 = {(5.5413, 0.5651), (4.6303, 1.4501), (4.6868, 0.0004), (5.9703, 1.2960), (4.1816, 0.8244)},

р1>2 = -0.157 + 0.979г.

Представленные данные показывают, что при наличии диссипации вторичные резонансы

у г3

Г 5,5 возникают в немалой окрестности периодического вращения периода 2п.

Отличие результатов исследования решений Г5 5г3 в случае а = 0, к > 0 состоит в том, что все четыре вторичных резонанса этого типа возникают одновременно (например, для к = 0.001, Ъ = 0.1, V = 0.770), и одновременно решения

33 43

Г 5,5 и Г 5,5 меняют характер устойчивости (к ’ = 0.001, Ъ = 0.1, V = 0.851).

5. Периодические вращения Г5,5г4

Решения такого типа в случае к = 0 отрожда-ются от 2п-периодического решения Г1Д2 при выполнении резонансного соотношения (2) со значением ц = 4. Бифуркационная диаграмма вращений Г55г4 (г=1,2) представлена на рис. 1а кривыми

L5514 и L5524 Линия L5514 ограничивает область их существования, расположенную справа от этой кривой. Решение Г 5514 всюду имеет седловой тип с положительными мультипликаторами рг>1, 0<р2<1. Область эллиптичности решения Г5 5г2 за-

14 24

ключена между кривыми L55 и L55 . При пере-

24

ходе через линию L55 происходит смена типа

24

периодического вращения Г 5,5 с эллиптического на седловой с мультипликаторами р1>2<0, |рг|>1, |р2|<1. В момент бифуркации р12 = -1.

Положение 5-периодических точек циклов Аг отображения Т, соответствующих решениям Г55г4, изменяется аналогично рис. 4. Например, для набора параметров к = 0, Ъ = 0.1, а = 0.25 циклы возникают на кривой L5514 при V = 1.304, и при V = 1.350 имеем седловой цикл А1 = {(4.5094, 1.3276), (4.2635, 0.8258), (4.3718, 0.3255), (4.7170, 0.3191), (4.7441, 0.8443)};

р1 = 3.134 р2 = 0.319 и устойчивый

А2 = {(4.6632, 1.2011), (4.3548, 1.2318), (4.2181, 0.5155), (4.6040, 0.1889), (4.7869, 0.5561)};

р1>2 = 0.206 ± 0.978г.

Бифуркация смены характера устойчивости цикла А2 происходит при V = 1.380.

При наличии диссипации периодические вращения Г55г4 возникают в результате бифуркации рождения сложного периодического решения типа седло-узел (кривая L5514 на рис. 1б), которое затем распадается на седловое решение Г5,514 (р1>1, 0<р2<1) и узловое Г5 524. Решение Г5 514 не меняет тип во всей области существования, расположенной правее линии L5514. Решение Г5 524 становится седловым с р1>2<0, Ы>1, |р2|<1 при переходе слева направо через кривую L5524 (рис. 1б), на которой один из его мультипликаторов становится равным -1. Таким образом, бифуркации решений Г 55г4 аналогичны бифуркациям решений Г 55г2.

Заключение

В результате проведенного исследования установлено, что бифуркационные диаграммы 10п-периодических вращений Г55, возникающих при выполнении резонансного соотношения (2) с четными и нечетными значениями ц, существенно различаются. В случае когда ц -четное, имеются одна кривая возникновения периодических решений и одна - смены характера их устойчивости. Если ц - нечетное, то имеем две кривые возникновения периодических решений Г 55 и две кривые смены характера их устойчивости. Вследствие этого в случае нечетного ц имеется область пространства параметров, в которой существуют два 10п-

периодических вращения Г55, и область, где таких решений четыре.

Списск литоротуры

1. Киселева (Бухалова) Н.В. О периодических вращениях нелинейного осциллятора с параметрическим и силовым воздействием // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. Вып. 1 (27). С. 72-82.

2. Мельников В.К. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях // Труды Московского математического общества. 1963. Т. 1. С. 3-52.

3. Ежевская Н.А., Киселева Н.В., Загранцев А.С., Павлов Е.А. Исследование неавтономных динамических систем: Методическое описание учебнолабораторного комплекса. Нижний Новгород: ННГУ, 2007. 33 с.

4. Баталова З.С., Бухалова Н.В. Иерархия структуры фазового пространства уравнения движения маятника с колеблющейся осью вращения // Динамика систем. Устойчивость, синхронизация, хаотичность: Межвуз. сб. Горький: ГГУ, 1983. С. 85-112.

5. Баталова З.С. О резонансных уровнях некоторых гамильтоновых систем // Динамика систем. Межвуз. сб. научн. тр. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1980. С. 60-79.

BIFURCATION DIAGRAMS OF SOME ROTOR ROTATION MODES SYNCHRONIZED WITH ITS AXLE OSCILLATIONS

N. V. Kiseleva, M. V. Sokolova

10n-periodic rotations arising in the neighborhood of a 2n-periodic rotor motion have been studied by qualitative-numerical methods. Regions of their existence and stability in the parameter space have been obtained. Bifurcations leading to the onset of stability and to changes in the nature of stability have been found. The general properties of bifurcation diagrams of 10n-periodic rotor rotations have been revealed.

Keywords: periodic motions, stability, bifurcations, point mapping method.