CC BY
47
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 306-310
УДК 517.92
фазовый портрет маятника под действием периодического момента
© 2014 г.
Н.В. Киселева
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского kis-tudm.@yandex.ru
Поступила в редакцию 11.05.2014
Качественно-численными методами изучена эволюция фазового портрета математической модели маятника под действием периодического момента, описываемой трехпараметрическим нелинейным неавтономным дифференциальным уравнением. Исследованы области притяжения установившихся 2п- и 4п-периодических режимов.
Ключевые слова: периодические движения, устойчивость, область притяжения, метод точечных отображений, неподвижная точка.
Г. соответствует неподвижная точка отобра-
Исследуется нелинейное неавтономное дифференциальное уравнение
x + hx + a sin x = v sin t, (1)
моделирующее движения маятника с внешним гармоническим воздействием. Здесь x - угол подвижных т°чек. отклонения маятника от вертикали, параметры h > 0, a > 0 и v> 0 характеризуют соответ-
жения Т, каждому 4п-периодическому решению Г2д отвечает двучленный цикл двукратных не-
I
Проведенное исследование позволило оценить области притяжения устойчивых 2л- и 4л-
ственно коэффициент диссипации, момент силы периодических колебаний и вращений мадтж-тяжести и амплитуду внешнего периодического ка представляющих наиб°льший интерес доя
момента.
Периодическим движениям маятника отвечают решения (синхронизмы) Гр : х = х(?) уравнения (1), удовлетворяющие условию х(? + +2лр) = х() + 2лд (р = 1,2,..., д = 0,±1, ± 2,...). При д = 0 решение Гр отвечает 2пр-периодическому колебанию маятника, при ческие колебания Г1,0 маятника около нижнего д ф 0 - периодическому вращению: за период положения равновесия (им соответствуют не-
приложений.
Для значений параметров к = 0.125, 0 < а < 1.5, 0 <у< 3.5 области установившихся 2л- и 4л-периодических движений маятника представлены на рис. 1. В областях Д0(щ,
Д0(5) и О10(ф) устанавливаются 2л-периоди-
2пр происходит |q| оборотов маятника в поло- подвижные точки
Ч,0(Ы)
в,
1,0(Ы)
точечного
отображения Т), верхнего положения равновесия (неподвижные точки А10(В) и В10(В)) и воВ работе [1] в пространстве параметров вы- круг прямой, образующей с вертикалью некото-
жительном (q > 0) или отрицательном (q < 0) направлении.
делены области существования и устойчивости рый угол Ф (неподвижные точки Д1,
0(Ф) :
Ч,0(ф) :
В110(ф) и Д*). Область D1,1 отвечает 2 л-
2п- и 4п-периодических режимов движения маятника. Каждый режим имеет свою область
притяжения. Установление одного из них зави- периодическим вращениям Г11 маятника (непо-
сит от начальных условий. .+ „+. „22
„ _ движные точки А и В ). Область О ' соотВ настоящей работе с помощью программного комплекса КаБуБ [2] проведено каче- ветствует ^першдаческ™ вращениям Г22 ственно-численное построение фазовых портре- маятника (двукратный цикл {А1, А2} отображе-тов точечного отображения Т поверхности ния Т) в областях О1 H{x(mod2л), х} кругового цилиндра в себя,
,1 г-,1,1 г-,1,1
0(н), D1,0(в) и Dl,0(ф) одно-
порождаемого фазовыми траекториями уравнения (1). Согласно методу точечных отображений [3] каждому 2п-периодическому решению бания Г^ одного из трех видов. Области
временно существуют 2л-периодические вращения маятника Г11 и 2л-периодические коле-
и
2
Ажя)> Ад>2(г) и А2о2(ф) отвечают одновременно- точка А10(Н)(6.021;-1.901), седловая точка
му существованию ^-периодических вращений Г2 2 и 27т-периодических колебаний Г10. В областях А не обнаружены устойчивые неподвижные точки отображения Т, соответствующие движениям Г10, Г11, Г2 2 маятника.
Для всех областей, представленных на рис. 1, построены фазовые портреты. При значениях параметров а = 0.15, у = 1.75 из области Ао(Н) на рис. 2 изображены устойчивая неподвижная
Б1 0(Н)(2.966;-1.552) и её сепаратрисные инвариантные кривые (зелёный цвет). Видно, что областью притяжения устойчивой точки А10(Н) является вся поверхность фазового цилиндра. На рис. 3 при а = 0.3 , V = 1.75 (область А'^щ ) показаны те же устойчивая точка А10(Н)(5.971; -2.077) и седловая Б10(Н)(2.999;-1.397) вместе со своими сепаратрисами, а также устойчивая
Рис. 4. Фазовый портрет в области Д202(н) Рис. 5. Фазовый портрет в области
точка А+(5.331;—0.718) и седловая точка В+ (3.817;—0.659) (её сепаратрисы построены синим цветом). Из сравнения с предыдущим рисунком видно, что области притяжения устойчивых точек А10(Н) и А+ стали слоистыми и извилистыми. На рис. 4 при а = 0.4, V = 1.75 из области Д202(Я) изображены устойчивая неподвижная точка А10(Н)(5.937;—2.189), седловые точки В10(Н)(3.018;—1.304), В+ (3.588;—0.641),
А+(5.559;—0.734) (её сепаратрисы построены оранжевым цветом) и устойчивый двукратный
цикл { А2 }= {(4.931;—0.569);(5.996;—0.899)}. Область притяжения устойчивой точки А10(Н)
ввиду существования гомоклинических структур стала изрезанной и сложной.
При значениях параметров а = 0.15 , V = 2.5 из области Д0(ф) построены (рис. 5) устойчивые точки А1,0(ф)(1.945;—2.378), А20(ф)(3.769; —2.344), седловые точки В/,0(ф)(5.936;—2.618), В20(ф)(2.874;—2.289) и их сепаратрисные инвариантные кривые (красный и зелёный цвета соот-
ветственно). Слои областей притяжения точек А^0(ф) и А120(ф) на фазовом цилиндре чередуются. На рис. 6 при а = 0.3 , V = 2.5 из области Ао(ф) изображены устойчивые точки А1,0(ф)(1.665; —2.398), 4^(4.049; —2.317), А+ (4.967;—1.540) и седловые точки В1,0(ф) (5.900; —2.760), В20(ф)(2.914; —2.107), В + (3.840;—1.310) вместе со своими сепаратрисами. Области притяжения устойчивых точек становятся более узкими. На рис. 7 при а = 0.45, V = 2.5 (область Д^)) построены
устойчивые точки А110(ф) (1.608; —2.413), А20(ф) (4.106; —2.288), седловые точки В;,0(ф)(5.866;—2.887), ^^(2.951; —1.924), В + (3.489;—1.200), А+ (5.282;—1.710) и их сепаратрисы (сепаратрисы точки А+ изображены оранжевым цветом), а также устойчивый цикл {А1, А2 }= {(5.185;—1.628); (5.380;—1.790)}. Слоистый характер областей притяжения устойчивых точек сохраняется, сами области становятся более извилистыми.
Фазовые портреты из областей О10(В), А1!В), имеют вид, аналогичный фазовым
портретам в областях О10(Н), О^щ , О^щ соответственно.
При значениях параметров а = 0.85, у = 2.0 изображён фазовый портрет в области О1,1 (рис. 8). Здесь точки А11,0(ф)(0.719;-2.638) и
А120(ф)(4.762;-2.363) являются седловыми, их сепаратрисы изображены черным цветом. Также существуют седловые точки В110(ф)(5.790;
-2.815), В120(ф) (3.058;-1.145) и В + (3.274; -0.722). Область притяжения устойчивой точки А+ (5.705;-1.402) ввиду существования гомокли-нических структур является сложной. На рис. 9 в области О2,2 при а = 0.6, у = 2.5 изображены те же седловые неподвижные точки А110(ф) (1.602; -2.425), А20(ф)(4.113;-2.258), В;,0(ф)(5.835; -3.002), В20(ф)(2.984;-1.750) и В + (3.355;
-1.121). Точка А+ (5.364;-1.865) также является седловой (её сепаратрисы изображены оранжевым цветом), но имеется устойчивый двукрат-
ный цикл {А1 ,А2} = {(4.687;-1.129); (0.294; -2.370)} . Фазовый портрет на рис. 10 (а = 0.75 , V = 2.5) соответствует области О . Здесь изображены седловые неподвижные точки А110(ф) (1.615;
-2.430), А20(ф) (4.100; -2.225), А+ (5.368;
-2.015), В11,0(ф)(5.807; -3.107), В^)(3.011;
-1.593) и В+ (3.285;-1.055) и их сепаратрисные инвариантные кривые. Устойчивых неподвижных точек и двукратных циклов отображения Т, отвечающих 2п- и 4п-периодическим колебаниям или вращениям маятника, не обнаружено. Фазовая точка блуждает по поверхности фазового цилиндра.
Таким образом, в ходе проведенного исследования установлено, что вблизи границы области существования устойчивые неподвижные точки, соответствующие 2п-периодическим колебаниям и вращениям маятника, имеют слоистый характер областей притяжения. По мере удаления от границы возникают касания, а затем пересечения ограничивающих их сепара-трисных инвариантных кривых седловых неподвижных точек и образование гомоклинических структур. Области притяжения устойчивых неподвижных точек усложняются и становятся
очень тонкими. При этом приближение фазовых точек к устойчивой неподвижной точке носит немонотонный характер: фазовая точка то при-
ближается к ней, то удаляется и лишь попав в достаточно малую её окрестность стремится к ней. Бифуркация удвоения периода неподвижных точек ещё более увеличивает тонкость областей притяжения устойчивых двукратных циклов.
Список литературы
1. Киселева Н.В., Шишкин А.А. О движениях маятника под действием периодического момента //Вестник ННГУ. 2011. № 31(2). С. 83-86.
2. Исследование неавтономных динамических систем второго порядка: методическое описание учебно-лабораторного комплекса / Сост. Н.А. Ежевская, Н.В. Киселева, А.С. Загранцев, Е.А. Павлов. Н. Новгород: ННГУ, 2008. 33 с.
3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 471 с.
PENDULUM PHASE PORTRAIT UNDER THE ACTION OF A PERIODIC MOMENT
N.V. Kiseleva
Qualitative numerical methods are used to study the evolution of a phase portrait of a pendulum mathematical model under the action of a periodic moment described by a nonlinear nonautonomous three-parameter differential equation. Attraction domains of 2n- and 4n-steady-state periodic modes are investigated.
Keywords: periodic motions, stability, attraction domain, method of point mapping, fixed point.
References
1. Kiseleva N.V., Shishkin A.A. O dvizheniyah mayatnika pod dejstviem periodicheskogo momenta //Vestnik NNGU. 2011. № 31(2). S. 83-86.
2. Issledovanie neavtonomnyh dinamicheskih sis-
tem vtorogo poryadka: metodicheskoe opisanie uchebno-laboratornogo kompleksa / Sost. N.A. Ezhevskaya, N.V. Kiseleva, A.S. Zagrancev, E.A. Pavlov. N. Novgorod: NNGU, 2008. 33 s.
3. Nejmark Yu.I. Metod tochechnyh otobrazhenij v teorii nelinejnyh kolebanij. M.: Nauka, 1976. 471 s.
