CC BY
26УДК 658.512.011.56
В.А. Холоднов1, Д.А. Краснобородько2, Р.Ю. Кулишенко3
В настоящее время компьютерное моделирование химико-технологических систем (ХТС) полностью доказало свою актуальность и перспективность, поскольку позволяет выполнять расчет материальных, тепловых балансов и осуществлять поиск наилучших режимов функционирования проектируемой или эксплуатируемой ХТС, что в условиях рыночной экономики имеет решающее значение. В России и за рубежом при моделировании и оптимизации ХТС организации, предприятия, а также учебные институты используют для расчетов одну из интерактивных информационно-моделирующих программ (ИИМП): Honeywell UniSim, Aspen Plus, SPEEDUP, DYNAPLUS, SPLIT, ADSIM, HYSIM, HYSIS, HYCON, CHEMCAD, PRO/II, PROVISION, PROTISS, HEXTRAN, PROCEDE, gPROMS.
Известны также и ИИМП для синтеза отдельных подсистем теплообмена: ADVENT, HEXTRAN, TARGET; разделения: CHEMSEP.
При моделировании и оптимизации ХТС практически всегда имеет место неопределенность («недооп-ределенность»). В силу этого обстоятельства для решения подобного рода задач появилось новое научное направление, получившее название «анализ гибкости». Неопределенность имеет место, когда универ-
ИССЛЕДОВАНИЕ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРАКТИВНЫХ ИНФОРМАЦИОННО-МОДЕЛИРУЮЩИХ ПРОГРАММ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) 190013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26
Моделирование и оптимизация химико-технологических систем осложняется наличием неопределенностей в физической, химической, экономической и технологической информации. Учет неопределенности информации требует новых подходов к методам моделирования и оптимизации химико-технологических систем. Традиционные методы моделирования и оптимизации без учета этого обстоятельства ориентируются на средние значения неопределенных параметров и не гарантируют ни оптимальности полученного решения, ни выполнения всех ограничений для процесса. Исследование «гибкости химико-технологических систем», т.е. ее работоспособности для всего диапазона условий функционирования - это первый шаг, который должен быть сделан для оценки качества функционирования химико-технологических систем. В работе предлагаются методы оптимизации химико-технологических систем с учетом имеющейся неопределенности с использованием интерактивных информационно-моделирующих программ, которые позволяют сочетать возможности этих программ и современные возможности разработки «гибких химико-технологических систем».
Ключевые слова: моделирование и оптимизация процессов, химико-технологические системы, условия неопределенности, гибкость химико-технологических систем.
сальное множество неопределенного параметра состоит более чем из одной точки. Если для этих элементов множества заданы соответствующие вероятности или другие вероятностные характеристики, то имеет место вероятностная неопределенность. Если известны только граничные элементы множества - интервальная неопределенность. И, наконец, при задании для каждого элемента множества соответствующей степени принадлежности - нечеткость. Неопределенность можно классифицировать по степени неопределенности (полная определенность, вероятностная, лингвистическая, интервальная, полная неопределенность), по характеру неопределенности (параметрическая, структурная, ситуационная) и по использованию получаемой в ходе управления информации (устранимая и неустранимая).
За рубежом и в России «анализом гибкости» (flexibility analysis) применительно к химической технологии занимается ряд научных школ: Grossmann I.E. [1, 2] , Hartmann К. [3], Островский Г.М. [4], Дворецкий С.И. [5, 6], Егоров А.Ф. [5], Холоднов В.А. [7, 8]. В России основы «анализа гибкости» были заложены Письменном Л.И. ещё в 1965 году в статье «О чувствительности оптимальных режимов химических процес-
1 Холоднов Владислав Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий каф. математического моделирования и и оптимизации химико-технологических процессов, e-mail: holodnow@ya.ru
2 Краснобородько Денис Александрович, соискатель каф. математического моделирования и оптимизации химико-технологических процессов e-mail:kraden@list.ru
3 Кулишенко Роман Юрьевич, студ. гр. 861 каф. автоматизации процессов химической промышленности e-mail: admin@mm.lti-gti.ru
Дата поступления 20 ноября 2010 года
сов» [9]. Большой вклад в развитие методов «анализа гибкости» внесли работы по интервальному анализу Вощинина А.П. [10], Нариньяни А.С. [11], Шарого С.П. [12], Шокина Ю.И. [13].
Следует отметить, что в существующих ИИМП отсутствует инструмент для решения задач моделирования и оптимизации ХТС в условиях неопределенности. Таким образом, наметилось отставание возможностей для моделирования и оптимизации ХТС в имеющихся ИИМП от существующих подходов к решению задач «гибкости» ХТС.
Когда технолог сталкиваются с неопределенностью в процессе принятия решений, то он поступает самыми различными способами:
1. Чаще всего игнорирует существование неопределенности и использует детерминированные модели;
2. Выбирает один наиболее существенный, с его точки зрения, вид неопределенности и использует соответствующую теорию, так как разработанные в настоящее время количественные методы принятия решений помогают выбрать наилучшие из множества возможных решений лишь в условиях конкретного вида неопределенности;
3. Проводит дополнительные исследования системы или получает информацию в ходе контроля (адаптация и обучение) или управления (дуальное управление системой).
Существуют следующие подходы к исследованию ХТС в условиях неопределенности:
• Стратегия оптимизации с дискретизацией параметров модели [14].
• Иерархическая оптимизация [15].
• Определение оптимальных коэффициентов запаса с помощью теории чувствительности [3].
• Минимизация математического ожидания целевой функции [16].
• Стратегия минимакса [17].
• Стратегия оптимизации на основе относительной чувствительности [18].
Научно обоснованным является подход, когда неопределенность в параметрах процесса учитывается в самой постановке оптимизационной задачи.
В работе предлагаются методы моделирования и оптимизации ХТС с учетом имеющейся неопределенности, которые позволяют сочетать возможности ИИМП и существующие методы разработки гибких ХТС.
Для характеристики неопределенных параметров используются либо интервальные оценки параметров (интервальная неопределенность), либо их представление в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения (вероятностная неопределенность).
Рассматриваются две задачи оптимизации ХТС в условиях неопределенности [7, 4]:
1. Задача стохастического программирования для минимизации целевой функции к при интервальной неопределенности параметров имеет вид:
Z1 = min{,R(M1, u2
, x„ )}'
у. (u, x) < 0 ■
ЧjеJ
2. Задача стохастического программирования для минимизации (макимизации) математического ожидания целевой функции к с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения имеет вид:
% 1 = Щт(М{Я(Щ,и2,...,ик,х1,х2,..., хт)}),
иеи „
чхел
у. (u, x) < 0 ■
VjeJ
с вычислением вероятности полученного минимального (максимального) значения. Здесь: u - k-вектор управляющих переменных с областью допустимых значений
U, (uq е U;U = {Vuq :inf uq < uq < sup uq}), q = 1,..., k; x - m-
q q
вектор неопределенных параметров с заданными интервалами допустимых значений - для задачи 1
(x е X; X = {Vxt : inf x < x < sup x})' '= (1,-, m)'
i 1 1 t
- для задачи 2 пределы изменения неопределенных параметров имеют вид: - 3a[x,] < x< M[x] + 3a[x], где M[x], ®[x] - заданные значения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения случайных
величин; у (u, x) - ограничения, которые должны выполняться при всех X е X, j=
npR(uj, u2,..., uk, xj, X2,..., xm) ... I dx1...dxm
V~. V.,e,, ' plj(xi) ' Pl2(x2) '...' Plm (xm )
- математическое ожидание значения целевой функции; р1\(х\),р1г(х1),-;р1т(хт) известные распределения плотности вероятности неопределенных параметров в виде независимых случайных величин. При этом предполагается нормальное распределение плотности вероятности неопределенных параметров:
Pl( xi) =
1
,-exp(- 2
42Па 2а
(xi - mi) . . n , ' 2 i ), i = (1,..., m),
где M[X] = m- математическое ожидание соответствующего неопределенного параметра, D[X] = а дисперсия соответствующего неопределенного параметра.
На примере упрощенной ХТС получения винил-хлорида рассматриваются разработанные авторами методы для моделирования и оптимизации ХТС с учетом условий неопределенности. Эти методы дают возможность квалифицированному пользователю, имеющему определенный программно-технологический задел, решать сложные оптимизационные задачи при помощи ИИМП, что позволяет прогнозировать поведение сложных процессов в изменяющихся условиях функционирования ХТС.
На основании опыта и интуиции химика-технолога выбираются факторы, влияющие на критерий оптимизации. Факторы делятся на управляющие -
вектор U(u,щ,. .,u) и неопределенные - вектор
X (x1, x2,..., x„). С использованием существующих методов планирования с помощью ИИМП производится вычислительный эксперимент (так, чтобы отсутствовали условия мультиколлинеарности факторов) по расчету численного значения критерия оптимизации.
Далее с использованием полученных данных строится модель, которая отражает зависимость критерия оптимизации от всех факторов в одном из двух видов:
• мультипликативная по методу Брандона с использованием специальной программы,
• регрессионная модель, вид которой соответствует плану эксперимента. Построение регрессионной модели может быть выполнено с помощью удобного и простого инструмента Linear Regression статистического пакета анализа SPSS (в меню Analyze ► Regression ► Linear).
X
u 7- , xi , x
k
2
На следующем этапе с использованием зависимости целевой функции от исследуемых факторов решается задача оптимизации рассматриваемой ХТС в условиях неопределенности одним из предлагаемых методов.
Первый метод. Решение задачи оптимизации в условиях интервальной неопределенности осуществляется с помощью максминной (минимаксной) стратегии для критерия оптимизации R:
R* = max(minR(u15u2,...,uk,xj5x2,...,xm)).
U x
Так как для каждого неопределенного параметра заданы значения нижней и верхней границы, то с использованием случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0;1], на каждом шаге оптимизации случайным образом генерируются значения неопределенных параметров. Решение максминной задачи реализуется либо в системе компьютерной математики MathCAD с помощью встроенной в неё функцией Minimize (Мах^1е),либо с использованием инструментов оптимизации пакетов Scilab, GAMS, MS Excel.
Второй метод. Для решения задачи оптимизации этой ХТС в условиях неопределенности используется нормированные значения чувствительности критерия оптимизации по неопределенным параметрам: Э ln R д ln R д ln R
t. =-1 Э 1ш
t2 =-д ln x
tm =■ m д ln x„
1 д ln u1 2 д ln u2 д in uk
Задача поиска оптимального режима с минимальной чувствительностью к неточности осуществления оптимального режима решается с учетом «штрафной» функции со штрафным параметром в: v = вС^2 + v22 + - +vk2)
Решение задачи реализуется в системе компьютерной математики MathCAD с помощью встроенной в неё функцией Minimize (Maximize).
Соответствующие значения частных производных вычисляются с помощью инструмента символьной математики MathCAD.
Четвертый метод позволяет также решать задачу поиска компромиссного решения с минимальной чувствительностью к управляющим переменным и неопределенным параметрам. В этом случае задача оптимизации решается с учетом «штрафной» функции: 8 v + (1-8)t, где 8 - весовой коэффициент, учитывающий вклад того или иного показателя в критерий оптимизации.
Решение задачи реализуется в системе компьютерной математики MathCAD с помощью встроенной в неё функцией Minimize (Maximize). Соответствующие значения частных производных вычисляются с помощью инструмента символьной математики MathCAD.
Пятый метод. Решается задача стохастического программирования для минимизации математического ожидания целевой функции R с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения имеет вид:
min M {R(u., u2,
■■xm)}=min JH
VxEX, VÜEU
•R(u., u2. P¡.(xl) ■ p¡2( X2 ) ■■■■ PL (xm )
uk , X1, X2 v^ xm ) ■ , ,
dx....dx_
Л-1 ^ iii л 2
С их помощью задача поиска оптимального режима с минимальной чувствительностью к неопределенным параметрам решается с учетом «штрафной» функции [19] со штрафным параметром а : t = a(t12 + t22 + — +
tm2)
Решение задачи реализуется в системе компьютерной математики MathCAD с помощью встроенной в неё функцией Minimize (Maximize). Соответствующие значения частных производных вычисляются с помощью инструмента символьной математики MathCAD, что является большим достоинством этой системы компьютерной математики, по сравнению с программами Scilab, GAMS, MS Excel.
Третий метод позволяет решать задачу оптимизации с минимальной чувствительностью к управляющим переменным, что позволяет определить чувствительность критерия оптимизации к неточности осуществления оптимального режима. Если некоторое отклонение от оптимального режима приводит лишь к малым потерям, но зато удобно с технологической точки зрения, то такое изменение режима может быть оправдано.
Для этого используется нормированная чувствительность критерия оптимизации по управляющим переменным в виде:
д ln R д ln R д ln R
--' " --' ■■■'vk =-■
д ln u
При вычислении многомерного интеграла используется метод Монте-Карло. Значение интеграла рассчитыва-
V N
лось по формуле: q = _l^ ), в результате Nва-
N
риантов статистических расчетов подынтегральной функции для случайной величины £,¡, равномерно распределенной на интервале [0;1].
Область интегрирования представляет собой n-мерный параллелепипед, который можно однозначно задать двумя вершинами: нижние пределы интегрирования - m=(m1,..,m,,..,mn) и верхние пределы интегрирования -
M = (Mlr...Mi,...Mn). Объем множества K
vk = п (м - m)
i=1
Погрешность интегрирования оценивается по стандартной ошибке и не зависит от выбранной доверительной вероятности:
А = § J^J-]^/
В качестве примера использования предлагаемых методов была выбрана модель упрощенной ХТС получения винилхлорида (рисунок 1).
На первом этапе была выполнена работа по проверке адекватности рассматриваемой математической модели ХТС получения винилхлорида с помощью программы Aspen 7.2 реальному процессу. Результаты проверки адекватности приведены в таблице 1.
Адекватность математической модели ХТС регламентированным переменным проекта реального процесса проверялась по общепринятой методике для случая отсутствия параллельных опытов [20] и подтвердилась по численному значению критерия Фишера и по значению его значимости.
В рассматриваемом случае в качестве управляющих выбраны степени превращения в трех реакторах - и (u,и2,иъ), в качестве неопределенных параметров - три флегмовых числа в основных колоннах -X (, , Х3 ) .
и,_, x,, x
ki"П ' 2
X
Рисунок 1. Схема моделирования процесса получения винилхлорида с помощью программного комплекса ASPEN 7.2. Основные аппараты: реактор В4 -прямое хлорирование этилена; реактор В6 - пиролиз дихлорэтана; реактор В21 - окислительное хлорирование этилена; Колонны В1, В3, В15, В16 - азеотропная осушка и отгонка легкокипящих компонентов, получение дихлорэтана; колонна В11 - разделение дихлорэтана и трихлорэтана; колонны В7, В14 - разделение продуктов пиролиза, выделение хлористого водорода; колонна В17 - получение винилхлорида-сырца.
По определенному плану был произведён вычислительный эксперимент по расчету численного значения критерия оптимизации. В нашем случае это так называемый Е-фактор, который характеризует чистоту получаемого продукта. В качестве плана эксперимента был выбран ортогональный центральный композиционный план. Был произведен 71 вычислительный эксперимент.
Таблица 2. Результаты оптимизации ХТС получения винилхлорида в условиях неопределенности для всех методов
Таблица 1. Результаты моделирования ХТС получения
винилхлорида с использованием ИИМП.
Мольные доли соответствующего вещества
Потоки Расход, кмоль/час Дихлорэтан Трихлорэтан Винилхлорид Дихлорэтилен Вода(пар) Хлористый водород
5 304.82 0.959 0.0270 0.004 0.0003 0.0110 -
6 313.97 0.959 0.0256 0.004 0.0010 0.0107 -
13 12.84 0.990 - 0.0706 0.0117 - -
14 164.13 0.961 0.0271 - 0.0004 0.0113 -
21 385.24 0.121 0.0001 0.430 - 0.0002 0.443
22 12.76 0.029 0.0003 0.970 - 0.0003 -
24 257.48 - - - - - 1.000
27 265.07 - - 0.980 - - 0.001
31 135.74 0.791 0.1566 - - 0.0519 -
32 28.39 0.996 - 0.000 0.0005 0.0028 -
35 57.69 0.997 0.0017 - - 0.0017 -
Были построены две модели: одна - мультипликативная по методу Брандона с использованием специальной программы, другая - в виде регрессионной модели, которая соответствует плану эксперимента.
Результаты оптимизации ХТС получения винилхлорида в условиях неопределенности для всех методов представлены в таблице 2.
Метод оптимизации Рассчитанное значение критерия оптимизации
1 метод - максминная стратегия. 0.887
2 метод - поиска оптимального режима с минимальной чувствительностью к неопределенным параметрам. 0.872
3 метод - поиска оптимального режима с минимальной чувствительностью к неточности осуществления оптимального режима. 0.866
4 метод - поиск компромиссного решения с минимальной чувствительностью к управляющим переменным и неопределенным параметрам. 0.851
5 метод - стохастического программирования для минимизации математического ожидания целевой функции Я с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения. 0.889
На рисунке 2 представлены схема моделирования ХТС винилхлорида c помощью лицензионной интерактивной информационно-моделирующей программы Aspen 7.2. Математическая модель состоит из 72658 переменных и 52441 уравнений.
Отметим, что при оптимизации ХТС получения винилхлорида с использованием номинальных значений неопределенных параметров значение Е-фактора составило 0.98. По мере увеличения «гибкости» рассматриваемой ХТС значение Е-фактора уменьшается.
0,5 1,0 1,5 2,0
Время, ч
Рисунок 2. Результаты моделирования ХТС получения винилхлорида.
Рисунок 3. Результаты моделирования ХТС при номинальном оптимальном режиме
Следует отметить, что расчеты в Aspen Dynamics занимают много времени.
Результаты моделирования при оптимальном режиме, найденном первым методом для гибкой ХТС при ступенчатом изменении потока питания в динамике, представлены на рисунке 3.
Значение Е-фактора для процесса получения винилхлорида при оптимальном режиме, найденном первым методом для гибкой ХТС при ступенчатом изменении потока питания составило 0.999, расход винилхлорида увеличился с 271 кмоль/ч до 292 кмоль/ч.
Выводы
В статье предложены пять методов исследования ХТС в условиях неопределенности:
• максминная стратегия,
• поиск оптимального режима с минимальной чувствительностью к неопределенным параметрам,
• поиск оптимального режима с минимальной чувствительностью к неточности осуществления оптимального режима,
• поиск компромиссного решения с минимальной чувствительностью к управляющим переменным и неопределенным параметрам,
• метод стохастического программирования для минимизации математического ожидания целевой функции R с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения.
Сочетание простых предложенных в работе методов и мощных современных ИИМП позволяют квалифицированному технологу решать сложные оптимизационные задачи для химических производств в условиях неопределенности.
Использование при оптимизации ХТС в условиях неопределенности инструмента символьной математи-
ки MathCAD для вычисления интегралов и частных производных отличает его в лучшую сторону, по сравнению с использованием при оптимизации ХТС в условиях неопределенности вычислительных систем GAMS, Scilab, MS Excel, в которых отсутствуют инструменты символьной математики.
Заключение
Решение задач оптимизации в условиях неопределенности выведет компьютерное моделирование ХТС на тот уровень, когда с его помощью можно будет проектировать экономичные и надежные ХТС и более эффективно управлять работой действующих химических производств.
Одновременно с этим изменится понимание ХТС как системы, в которой множества компонент находятся во взаимной связи и влияют на работу друг друга. Изменится и общая культура труда исследователя.
Для перехода на этот этап, сулящий скачок производительности труда, необходимо проведение большой научно-исследовательской и педагогической работы в области системного анализа химических технологий.
Обоснованность и достоверность научных положений и выводов
- обеспечивается применением строгих математических методов моделирования;
- вытекает из использования фундаментальных условий и критериев соответствия моделей;
- подтверждается сопоставлением результатов тестовых и модельных исследований диссертационной работы с результатами, встречающимися в литературе;
- доказана прикладными исследованиями, согласующимися с реальными данными и отвечающими требованиям практики.
Литература
1. Grossmann I.E., Sargent R. W.H. Optimum design of chemical plants with uncertain parameters. // AIChE J. 1978. V. 24. №6. P. 1021-1028.
2. Grossmann I.E., Floudas C.A. Active constraints strategy for flexibility analysis in chemical processes. // Comp. Chem. Eng. 1987. V. 11. №6. P. 675-693.
3. Ditmar R., Hartmann K. Modellierung und Op-tiemerung verfarenstechnischer Systeme. Berlin: Akademie-Verlag. 1973. S. 217-256.
4. Островский Г.М. Волин Ю.М. Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация: уч. пособие. М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 319 с.
5. Дворецкий С.И., Егоров А.Ф., Дворецкий Д.С. Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования: уч. пособие. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2003. 224 с.
6. Дворецкий С.И. [и др.]. Моделирования и оптимизации процессов и систем очистки и регенерации воздуха. Тамбов: ТГТУ, 2008. 323 с.
7. Холоднов В.А., Лебедева М.Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathcad и Excel: уч. пособие. СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2005. 220 с.
8. Холоднов В.А., Хартманн К. [и др.]. Системный анализ и принятие решений. Компьютерные технологии моделирования химико - технологических систем: уч. пособие. СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2007. 160 с.
9. Письмен Л.М. О чувствительности оптимальных режимов химических процессов. Моделирование и оптимизация каталитических процессов. М.: Наука, 1965. С. 225-233.
10. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. М.: Наука, 1989. 320 с.
11. Нариньяни А.С. Средства моделирования неполноты данных в аппарате представления знаний.-В кн.: Представление знаний и моделирование процесса понимания. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. 131с.
12. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. М.: 2007.601.с
13. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981. 112 с.
14. Левин Ю. M., Иоффе И. И. Проектирование химических реакторов при неполной информации о параметрах модели // TOXT. 1974. Т. 8. № 1. С. 43-50.
15. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / Под. ред. И.П. Мухленова Л.: Химия, 1986. С. 333.
16. Там же С. 334.
17. Hishida N. Optimal Desing and Control in a Class of Distibuted Parameter Systems under Uncertainty // AIChE J. 1972. V. 18. № 3. P. 561-568.
18. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / Под. ред. И.П. Мухленова. С. 335.
19. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: в 2-х кн. Кн. 1. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. С. 241.
20. Холоднов В.А. Крылов В.М., Андреева В.П. [и др.]. Компьютерные технологии построения математических моделей химико-технологических процессов на основе полного факторного эксперимента: уч. пособие. СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2010. 51 с.
