Исследование динамической потери устойчивости модели крыла в потоке воздуха Текст научной статьи по специальности «Физика»

Машиностроение U компьютерные технологии

Сетевое научное издание

http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278

Ссылка на статью:

// Машиностроение и компьютерные технологии. 2019. № 03. С. 15-27.

Б01: 10.24108/0319.0001468

Представлена в редакцию: 09.02.2019

© НП «НЭИКОН»

УДК 534.13

Исследование динамической потери устойчивости модели крыла в потоке воздуха

Мочилин И.К.1, Наумов A.M.1'* 'Wm63@maiLru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Динамическая потеря устойчивости упругих элементов летательных аппаратов - одно из распространённых явлений, как правило, крайне нежелательных. В работе исследуется динамическая потеря устойчивости (флаттер) на примере модели крыла. Модель крыла рассматривается как упругая система с двумя степенями свободы. Найдены собственные частоты и формы свободных колебаний модели. Также рассмотрены вынужденные колебания под действием аэродинамических силы и момента. Определены критические скорости обдува модели потоком воздуха для различных геометрических и жесткостных параметрах модели крыла, исследовано влияние этих параметров на критическую скорость.

Ключевые слова: динамическая потеря устойчивости, модель крыла, флаттер, критическая скорость потока, собственные частоты и формы

Введение

Как известно из теории, флаттер (англ. от flutter «дрожание, вибрация») сочетание самовозбуждающихся незатухающих изгибных и крутильных автоколебаний элементов конструкции летательного аппарата: главным образом, крыла самолёта, либо несущего винта вертолёта в набегающем потоке воздуха. Как правило, флаттер проявляется при достижении некоторой критической скорости, зависящей от характеристик конструкции летательного аппарата; возникающий резонанс может привести к его разрушению. Над изучением проблемы флаттера и методов борьбы с ним работали как отечественные учёные [1-7], так и зарубежные, например [8,9]. В частности, ещё в трудах ЦАГИ [5] даётся подробное описание флаттера, рассматриваются крутильные, изгибные, изгибно-крутильные колебания, причины возникновения этого явления, аэродинамические воздействия на элементы самолёта, критическая скорость, влияние конструктивных параметров и т.д. В [6] рассматриваются аэродинамические силы и их определение, флаттер крыла, влияние смещения осей жесткости и центра тяжести на критическую скорость флаттера, книга [7] посвящена линейной теории колебаний различных элементов конструкции само-

лета, подверженных действию аэродинамических сил, в до- и сверхзвуковом потоке, в [8,9] исследуются аэродинамические силы.

Флаттер является причиной авиакатастроф, поэтому необходимо знать когда наступает флаттер и как можно бороться с ним. Автоколебательные системы с двумя (и многими) степенями свободы представляют некоторые особенности. Но большей частью возбуждаются колебания с частотой, близкой к одной из собственных, и в этих режимах система ведет себя как система с одной степенью свободы. При плавном изменении параметров возможны скачкообразные переходы с режима одной частоты на режим с другой частотой, возможна гистерезисная зависимость величин, характеризующих эти режимы, от параметров. Иногда в узкой области значений параметров возможны режимы с несколькими частотами (бигармонические и полигармонические) Поэтому в данной работе остановимся только на расчете условий самовозбуждения некоторой практически очень интересной автоколебательной системы - модели крыла самолета в потоке. Расчёту подобной системы посвящена, в частности, следующая литература [1-4] и др. В ставшей уже классической книге [1] рассматривается устойчивость модели крыла в потоке (как аэродинамическая, так и статическая), но в крайне упрощённой постановке. Как выразился автор: «ограничимся лишь принципиальной картиной явления», т.е. подъёмная сила вводится весьма упрощённо и не приводятся исследования влияния на критическую скорость параметров модели. В работе [2] исследуются автоколебания, как колебания в системе с двумя степенями свободы, причем автором подчёркивается, что каждая парциальная система отдельно не может возбудиться, только наличие связи между системами делает ее автоколебательной. В этом принципиальная особенность такой системы В работе [3] также рассматривается классический флаттер, но на примере «предельно упрощённой модели упруго закреплённой пластинки» (по выражению самих авторов). Действительно, рассматривается профиль в виде пластинки постоянной толщины, аэродинамический момент как таковой не вводится в рассмотрение, а полагается лишь, что подъёмная сила создаёт его на некотором плече относительно центра тяжести. Также аэродинамический коэффициент вводится крайне упрощённо (он всего один и зависит лишь от угла атаки). В фундаментальном труде [4] также рассматривается подобная задача. В частности, система распределённых по поверхности модели крыла аэродинамических сил приводится к главному вектору, приложенному в фокусе крыла, и представлена в виде подъёмной силы и силы лобового сопротивления. Также отдельно аэродинамический момент не рассматривается. Необходимо заметить, что, к сожалению, в вышеперечисленных работах приведены только теоретические аспекты данной проблемы, с той или иной степенью детализации, но нет численных расчётов для модели крыла с конкретными параметрами. И, соответственно, нет исследований о влиянии этих параметров на скорость наступления флаттера. В предлагаемой авторами работе предпринята попытка исследования модели крыла, обладающей конкретными числовыми параметрами, с целью определения критической скорости потока.

Постановка задачи

На рис. 1 представлена модель крыла как системы с двумя степенями свободы. Крыло совершает в реальности сложные колебания, но для понимая физики процесса рассмотрим колебания модели на двух упругих опорах. Система может совершать только изгиб-ные и крутильные колебания. Особенность системы, что ни одна парциальная частота не может возбудиться независимо от другой, только при наличии связи между ними.

Хс

а

__Ь__

__/_\

Рис. 1 Двухстепенная модель крыла

На данном рисунке введены следующие обозначения:

V -скорость обдува крыла потоком воздуха, М - масса модели крыла, С - жесткость первых пружин, С2 -жесткость вторых пружин, I -расстояние от края крыла до первой пружины, /2 - расстояние от края крыла до второй пружины, О -центр жесткости , хо -координата центра жёсткости модели , а -расстояние между центром жесткости и центром тяжести, ё -высота крыла (т.н. миделево сечение), С -центр тяжести , хс -координата центра тяжести модели крыла, I - длина крыла.

Как уже было отмечено, система является автоколебательной. Энергией, покрывающей расход на колебания, является энергия обтекания потока воздуха крыла. На (рис.2) показана схема исходного и отклонённого положений модели крыла. Будем рассматривать движение в удобных для расчета аэродинамических сил координатах: ^ - смещение вниз точки О (центра жесткости), и р - угол поворота крыла (угол атаки).

Рис. 2 Расчетная схема двухстепенной системы На данном рисунке введены следующие обозначения:

О' -новое положение центра жесткости, С' - новое положение центра жесткости, С -жесткость первой пружины, С2 -жесткость второй пружины, х0 - ^ -расстояние между первой пружиной и центром жесткости, /2 - х0 - расстояние между второй пружиной и центром жесткости, ^ -аэродинамическая сила, Ыа -аэродинамический момент.

Определение собственных частот колебаний

Сначала исследуем собственный частоты системы (показанные на рис.2 аэродинамическую силу и момент пока положим равными нулю). Для получения частотного уравнения воспользуемся уравнением Лагранжа 2 рода:

£ ¿г

дТ_ дд,

дТ дП .

+-= О,, ,= 1,2,

(1)

дЧ, дЧ,

где д, -обобщенная координата (, = м, ф ), П -потенциальная энергия, Т - кинетическая энергия, О -обобщенная сила для непотенциальных сил. Запишем кинетическую энергию для системы:

]_

?

Г = ^МУс2+±1сф2

где V - скорость центра масс.

Запишем потенциальную энергию для системы:

П = 1Сl(w - (х0 -11 )ф)2 + ± С2(^ + (12- Хо )ф)2.

(2)

(3)

Из понятия «центр жёсткости» следует:

С1(Х0 11) = С2(12 Х0) .

(4)

Преобразуя выражение (3) с учётом (4) получаем:

П =1 С( +1 Сшгм>2,

2 крт 2 изг

где Сшг = C + C2 - изгибная жёсткость упругой системы,

1 9 1 9

Скр =— C( х0 - lY) + — C2(l2 - х0) - крутильная жёсткость упругой системы.

Из кинематики плоского движения видно, что

Тогда

дП дП _

Получаем систему уравнений:

Ма( # + аф) + Ст(р + 1Гф = 0. Ищем решение системы (5) в виде:

(5)

р = рeipt , w = wQe'pt.

Получаем частотное уравнение:

- Mp2 + Cu

- Map2 (Ma2 + Ic)p2 + C

0

(6)

-Map2

Г 1 c / г кр

Найдём собственные частоты колебаний модели. Для этого зададимся числовыми параметрами:

l = 3 м, M = 80 кг, a = 0.5 м, x0 = 0.7 м, хс = 1.2 м, d = 0.4 м, lK = 1 м, (размер модели в направлении, перпендикулярном чертежу),

lj = 0.2 м, l2 = 2.8 м.

Необходимо несколько слов сказать о расчёте момента инерции модели . Геометрия

крыла в данной работе апроксимировалась эллипсом с полуосями l / 2 и d / 2 . Уравнение эллипса зададим в параметрическом виде ( x - ось абсцисс, y - ось ординат):

x(t) = l-*cos(t), y(t) = d*sin(t) ,

где t - некоторый параметр.

Далее определим периметр эллипса:

2ж

= f i(dx[L))2 + (Ш)2dt э J V dt dt .

Масса единицы длины модели крыла:

^ =

М

т

Определение момента инерции эллипса относительно геометрического центра:

1с = m0 \ [(х(г)2 + у®2;^^)2 + (¿^)2 *.

¿г

¿г

После подстановки конкретных числовых значений получаем:

/с « 64.6 кг ■ м2

Для заданных параметров, решая численно систему (6), определяем собственные

частоты системы. Они получаются следующими:

р1 = 5.732 рад/с, р2 = 9.748 рад/с.

Определение собственных форм колебаний

Подставляя в систему (6) решения системы в виде (5) получаем:

-Мр2 + Си

-Мар2

-Мар2 -(Ма2 + 1с)р2 + С

кр )

Г М ^ 1ф0 )

= о

(7)

Поочередно подставляя значения собственных частот в первую или вторую строчку уравнения (7), получаем отношения амплитуд колебаний — можем записать вектора соб-

ственных форм колебаний:

VI =

М01 4^01)

1

- Мр + Сш Мар2

У2 =

м02 \ф02 )

-Мр22 + Си3г Мар2 )

Для конкретных числовых параметров получаем:

Г 1 ^ Г 1 V = , =| 1 1 10.983) [-0.969,

Проверим формы на ортогональность. Для этого составим матрицу масс :

ГМ Ма Л

М (Ма2 + 1с) ,

При подстановке конкретных числовых значений получаем:

^МК2 =-7* 10-5 « 0.

Таким образом, ортогональность форм собственных колебаний подтверждается. Собственные формы представлены на рис. 3 а и рис.3б.

М

(8)

(9)

0

б)

Рис.3 Собственные формы колебаний модели крыла

Вынужденные колебания двухстепенной системы

Далее исследуем систему на вынужденные колебания. Распределенную аэродинамическую силу и момент заменяем сосредоточенной и прикладываем к центру тяжести крыла.

Ра — ах(р + а2ф + а3У\?),

(10)

где ч =

V. 2

динамический напор, р - плотность воздуха (при расчётах она бралась рав-

ной р = 1.25 кг/м3), V - скорость потока, А = ё • 1К - площадь миделевого сечения крыла. Постоянные коэффициенты перед ф, ф, и определяются следующими соотношениями [2]:

а,

ь =2±(х _I) ь =—(х _-)(-_Х0)-—) ь =— (Хо_ 1)

Ь1= 1(Х° 4 , Ьг= У((° 4 4 Г 16^, Ьз= V(l 4 .

Частотное уравнение будет содержать в правой части аэродинамическую силу и момент соответственно

Получаем систему уравнений

Ма( w + аф ) + C^ç + Ic(f> = Ма. Решение системы (11) ищем в виде р = р0ес, w = w0ect, где с = а + ifî - частота, записанная в комплексном виде, р отвечает за колебательность упругой системы, а - за экспоненциальный закон затухания ( а > 0 ) или возрастания ( а < 0) колебаний.

После того, как выведено частотное уравнение 4-й степени относительно частоты с , численно исследуем зависимость частот от скорости потока воздуха V . На рис 4 представлены графики зависимости частот от скорости потока воздуха.

Рис.4 Мнимые и действительные составляющие частот двухстепенной системы

Верхние две кривые соответствуют Д. Нижние две кривые соответствуют а. При повышении скорости потока воздуха а все время уменьшается, как видно из графика. Действительная часть частоты, соответствующей а2, вначале уменьшается, а затем пересекает ноль при скорости обдува Уфл = 13 (в большем масштабе это показано на рис 5.) Это значит, что при скорости флаттера Кфл начинаются чисто гармонические колебания, а

при повышении скорости потока амплитуда увеличивается по экспоненциальному закону. Таким образом, при скорости Кфл теряется динамическая устойчивость упругой системы.

СС7[рад/с]*\<У

2

О -2

Уфл - 13мА 7 /

5 10\У 15

У.м/с

Рис.5 График изменения сс2 при исходных значениях, т.е. а = 0.5м

Было дополнительно исследовано влияние некоторых геометрических параметров модели крыла на критическую скорость. В частности, расстояния между центром жёсткости и центром масс а . Ниже приведены графики зависимости с ещё для двух значений а (рис.6 и рис.7)

Шрад/е]* 10-

8 4

О -<4 -8

19 3 м/с

5 10 20

Км/с

Рис.6 График изменения с2 при а = 0.6м

рад/с Г Ю 3

4

Рис.7 График изменения а2 при а = 0.4м .

Как видно из графиков (рис.5-7), скорость наступления флаттера растёт с ростом параметра а, что и подтверждается многочисленными исследованиями, в частности [3]. Также в процессе исследований варьировались жёсткости С и С2. Для значений

С = 3570Н /м, С = 850Н/м была получена критическая скорость = 14.17м/с , а

для жесткостей С = 2730Н/ м, С2 = 650Н/ м она составила = 12.5м/ с . Видно, что

увеличение жёсткости подвеса модели также влияет на изменение критической скорости в сторону увеличения.

Заключение

В представленной работе было проведено исследование наступление динамической потери устойчивости (флаттера) на примере модели крыла. Рассматривалась двухстепенная модель крыла, для которой были найдены собственные частоты и формы изгибно-крутильных колебаний, а также исследовались вынужденные колебания модели под действием аэродинамических сил и моментов. Найдены критические скорости обдува потоком воздуха модели крыла для нескольких вариантов жёсткости пружин, а также для нескольких вариантов расстояния между центром масс и центром жёсткости. При исследовании было получено, что при увеличении расстояния между центром жесткости и центром тяжести критическая скорость флаттера увеличивается. При увеличении жесткостей подвеса модели крыла критическая скорость также незначительно повышается. Авторы отдают себе отчёт в том, что явление флаттера намного более сложное, нежели представленное в данной работе. В частности, при исследовании этого явления необходимо учитывать соотношение не только центров тяжести и жёсткости, но и положение т.н. аэродина-

мического фокуса крыла (это точки, аэродинамический момент относительно которой постоянен при любых углах атаки) и некоторые другие геометрические и аэродинамические особенности обтекания крыла потоком. Но, тем не менее, что называется «в первом приближении», результаты, представленные в данной работе, позволяют понять явление флаттера и влияние некоторых геометрических и жесткостных параметров модели на увеличение критической скорости. В следующей работе авторы надеются показать ещё один метод борьбы с явлением флаттера, а именно с помощью дополнительной массы, служащей аналогом гасителя колебаний.

Данная работа может оказаться интересной как для студентов технических специальностей, изучающих теорию механических колебаний, так и для инженеров - специалистов в вопросах динамической устойчивости упругих систем.

Список литературы

1. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: учебник. М.: Высш. шк., 1980. 408 с.

2. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний: учебник. 2-е изд. М.: Наука,1964. 437 с.

3. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. 4-е изд. М.: Наука, 1987. 352 с.

4. Машиностроение: энцикл.: в 40 т. / гл. ред. К.В. Фролов. Раздел I: Инженерные методы расчетов. Т. I-3: Кн. 1: Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. М.: Машиностроение, 1994. 533 с.

5. Гроссман Е.П. Флаттер . М.: Изд-во ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, 1937. 247 с.

6. Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. / Э.Л. Айрапетов и др. Т. 3: Колебания машин, конструкций и их элементов / Под ред. Ф.М. Диментберга и К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.

7. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости: пер. с англ. М.: Физматгиз, 1959. 523 с. [Fung Y.C. An introduction to the theory of aeroelasticity. N.Y.: Wiley, [1955]. 490 p.].

В. Wagner H.A. Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflugeln // Z. fur angewandte Mathematik und Mechanik. 1925. Bd 5. H. 1. S. 17-35. DOI: 10.1002/zamm.19250050103

9. Theodorsen Th. General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter // U.S. National Advisory Committee for Aeronautics (NACA). 1949. Report no. 496. Pp. 413-433.

Mechanical Engineering and Computer Science, 2019, no. 03, pp. 15-27.

DOI: 10.24108/0319.0001468

Received: 09.02.2019

Mechanical Engineering & Computer Science

Electronic journal

http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278 © NP "NEICON"

Investigation of Dynamic Buckling of a Wing Model in Air Flow

I.K. Mochilin1, A.M. Naumov1'* "nam63@maihm

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: dynamic loss of stability, wing model, flutter, critical flow rate, natural frequencies and

shapes

The paper deals with studying a dynamic stability of the wing model in the ram airflow. As known, at a certain flow rate that is called critical, there is a phenomenon of self-excited non-damping flexural-torsional self-vibrations, named flutter. A two-mode elastic system wing model is under consideration, as is common in the literature in the field concerned. The paper continues and develops investigations of well-known scientists in this field, such as V.L. Biderman, S.P. Strelkov, Ya.G. Panovko, I. I. Gubanova, E.P. Grossman, J.Ts. Funen, etc. A great deal of papers dedicated to this problem and published by abovementioned and other scientists, give only the problem formulation and the derivation of equations, often in a fairly simplified form, do not offer solutions of these equations for specific numerical parameters of the wing model, and do not study how these parameters affect the flutter onset velocity.

The paper details the derivation of linear differential equations of small vibrations of the wing model in the flow, determines the natural frequencies and shapes of flexural-torsional vibrations, checks their orthogonality, studies vibrations under the influence of aerodynamic force and moment, determines the critical flow velocity for a number of system parameters, and draws a conclusion about the influence of these parameters on the critical velocity. In particular, it studies how such a parameter as the distance between the center of gravity and the center of stiffness affects the critical velocity, as well as how the stiffness of the model's spring suspension, which simulates the stiffness characteristics of the wing impacts on bending and torsion. The calculation results allow us to draw conclusion concerning the methods of dealing with this phenomenon. One of the promising options may be, in addition to varying the geometric and rigid parameters of the system, the introduction of additional mass to be an analogue of the vibration damper. The paper may be of interest both for engineering students who learn the theory of mechanical vibrations, and for engineering-specialists in aero-elasticity and dynamic stability of elements in mechanical systems.

References

1. Biderman V.L. Teoriia mekhanicheskikh kolebanij [Theory of mechanical vibrations]: a textbook. Moscow: Vysshaia shkola Publ., 1980. 408 p. (in Russian).

2. Strelkov S.P. Vvedenie v teoriyu kolebanij [Introduction to the theory of vibrations]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ., 1964. 437 p. (in Russian).

3. Panovko Ia.G., Gubanova I.I. Ustojchivost' i kolebaniia uprugikh system [Stability and vibrations of elastic systems]. 4th ed. Moscow: Nauka Publ., 1987. 352 p. (in Russian).

4.Mashinostroenie: enziklopediia: v 40 t. /gl. red. K.V. Frolov. RazdelI: Inzhenernye metody raschetov. T. I-3: Kn. 1: Dinamika i prochnost' mashin. Teoriia mekhanizmov i mashin [Mechanical Engineering: an encyclopedia: in 40 vol. / Ed. by K.V. Frolov. Ch. I: Engineering calculation methods. Vol. I-3: Pt. 1: Dynamics and strength of machines. Theory of mechanisms and machines]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1994. 533 p. (in Russian).

5. Grossman E.P. Flutter [Flutter]. Moscow: TSAGI Publ., 1937. 247 p. (in Russian).

6. Vibratsii v tekhnike: Spravochnik: v 6 t. / E.L. Ajrapetov a.o; T. 3: Kolebaniia mashin, konstruktsij i ikh elementov; red. F.M. Dimentberg, K.S. Kolesnikov [Vibrations in the technique: a handbook: in 6 vol. / E.L. Ajrapetov a.o. Vol. 3: Vibrations of machines, structures and their elements / ed. by F.M. Dimentberg, K.S. Kolesnikov]. Moscow: Moscow: Mashinostroenie Publ., 1980. 544 p. (in Russian).

7. Fung Y.C. An introduction to the theory of aeroelasticity. N.Y.: Wiley, [1955]. 490 p. (Russ. ed.: Fung Y.C. Vvedenie v teoriyu aerouprugosti. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1959. 523 p.).

8. Wagner H.A. Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflugeln. Z. fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, Bd 5, H. 1, S. 17-35.

DOI: 10.1002/zamm.19250050103

9. Theodorsen Th. General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter. U.S. National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), 1949, report no. 496,

pp. 413-433.