CC BY
54
УДК 531.011
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФЛАТТЕРА КРЫЛА САМОЛЕТА АН-124-100
А. А. Кузнецов, А. А. Матросов
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Российская Федерация [email protected]
Определена критическая скорость полета самолета Ан-124-100С при которой возникает флаттер крыла с помощью модели крыла, совершающего изгибно-крутильные колебания.
Ключевые слова: флаттер, критическая скорость, автоколебания, критерий Гурвица.
UDC 531.011
OCCURRENCE CONDITIONS OF WING FLUTTER OF THE AIRCRAFT AN-124-100
A.A. Kuznetsov, A.A. Matrosov
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation
The article determines critical flight speed of the airplane An-124-100C at which wing flutter occurs, using the model of the wing performing flexural-torsional vibrations.
Keywords: flutter, critical flight speed, self-oscillations, Hurwitz criterion.
Введение: При движении самолета на определенной скорости возникает флаттер, который характеризуется нарастающими автоколебаниями различных упругих частей самолета: крыльев, элеронов, закрылок, рулей поворота, рулей высоты др. Флаттер приводит к быстрому разрушению всего самолета в целом. Одним из решений этой проблемы, является расчет критической скорости (скорость флаттера), которую самолет не должен превысить. В работе выполнен расчет критической скорости для самолета Ан-124-100.
Рассмотрим механизм возникновения автоколебаний крыльев самолета при горизонтальном движении с постоянной скоростью. При флаттере крыло совершает сложные гармонические колебания. Ограничимся в первом приближении рассмотрением плоских колебания крыла в потоке воздуха. Так как конструкция реального крыла, состоящая из разного рода элементов (закрылки, элероны и т. д.), достаточно сложная, то рассмотрим его в виде жесткой модели крыла с упругими связями (рисунок 1).
Рис.1. Жесткое крыло с упругими связями
Предположим, что система имеет две степени свободы, причем пружины (упругие связи) обеспечивают только вертикальные движения точек крепления крыла.
Здесь К — центр жесткости, С — центр тяжести крыла, с 1 и с2 — коэффициенты жесткости крыла [1]. За обобщенные координаты примем: у — линейную координату отклонения центра жесткости крыла при изгибе, — угловую.
Составим дифференциальные уравнения колебаний крыла, применив для этого уравнения Лагранжа II рода [2]:
Ой(дУ) - (а^) = Пу
кду/ \ду)
а Л дф) ( д (р) п <р.
(1)
<дф/ \д(р;
Обобщенными силами будут потенциальные силы упругой связи и аэродинамические силы, причем сила направлена против направления отсчета координаты у, момент — по направлению отсчета угла :
Воспользовавшись теоремой Кенига получим:
Т = 1тус2 + ^¡сф2 = ~ т (у + 1ф)2 + ^]СФ2,
где т, ] с — масса и момент инерции крыла относительно центра масс; I — расстояние между центром жесткости и центром масс крыла, причем здесь принято расположение центра жесткости впереди центра масс.
Потенциальная энергия пружин равна
П = ±с1б1+±с2б1
где
1 1
(у-х0гдр) 2 , 82 =-С2(у + ( Ь-Х0 )гдр) 2 .
Так как угол очень мал , то и ,
Поэтому потенциальная энергия пружин, с учетом положения центра тяжести , равна
1 1 П = 1 (С- + С2) у2 +1 [с-х1 +С2(Ъ- Х0)2]р2 .
Аэродинамические силы пропорциональны скоростному напору рV2/2, где р — плотность набегающего потока; — его скорость. В первом приближении они пропорциональны
У
приращению угла атаки А а, так что с учетом А а = р + - получим:
Уа = (р+у/V),
Ма=с" ( р+уМ,
(2)
где Б — площадь крыла; с", с", — коэффициенты подъемной силы и аэродинамического момента, отнесенные к единице площади крыла и углу атаки.
Подставив выражения Уа и М а в (1), получим уравнения малых колебаний крыла в следующем виде:
ту + т 1р + (с- + с2) у = - Уа, т I у + / р + с р = М а,
где — момент инерции крыла относительно оси жесткости;
— жесткость крыла на кручение. Подставим выражения и из (2), в уравнения (3). Получим
у + Ъ11 у + с11 у + а 12р + с12 р = 0 ,
у + Ъ 21 у + а2 2р + С2 2( = 0,
(3)
где
а 12 = К
, _ 1 а 1 Ъ 11 — О С Л1 ~,
11 т 2 У г?'
С11 =~( С1 + с2 ) ,
L4QQ/J
а2 ^ = ~v
, _ 1 pv2 а 1
о 9 1 — Ст—
г — — —— S га Cl 2—ш 2 ^ СУ'
>21 = Ст~, С 1 2=—~Т^ СУ, (5)
_ 1 ( рр2 а\ С2 2= С 2 Ст).
Решение системы уравнений (4) будем разыскивать в виде
у = Аеф = Веи После подстановки (5) в (4) получим
А (А2 + Л Ъ11 + с11 ) + В (А2 а 12 + с12 ) = 0 ,
А (Л2 + ЛЪ21) + В (Л2 а22 + С22) = 0 (7)
Для ненулевого решения (6) определитель системы уравнений (7) должен быть равен
(6)
нулю:
а0Л4 + ахЯ3 + а2Л2 + а3Л + а4 = 0,
(8)
где
а0 — а2 2 — а12 j
а1 — 01 1а 2 2 0 21а12 j а2 — г2 2 + г1 1а22 r12j а3 — 011г 22 — 021 г 12j а4 — г11г 22-
Заключение об устойчивости или неустойчивости системы можно сделать, применив критерий устойчивости Гурвица [3]. Для устойчивости уравнения четвертого порядка (8) необходимо, что бы определитель Д з (10) был больше нуля и все коэффициенты характеристического уравнения (8) также были больше нуля:
Дз — а1а2аз — а0а2 — а2а4 > 0 ,
и
а0 > 0, а1> 0, а2 >0, аз> 0, а4 > 0. Подставляя коэффициенты (9), с учетом обозначений (5) имеем
(10) (11)
а0 — 0-22 а12 —
J-l2m mi
„2
Jc_ mV
а 1=Ъ 11а 2 2 Ъ21а 1СУш~>гС™)-' а2 = С22 + С11а 12 -С12=^[с + 1 ^С.] - Су + 1С")],
а 3 = Ъ11С 2 2 - Ъ 21С12 = т21г, 2 БСу ,
а4 = С11С22 = ¿у [(С1 + С2) (С - сУ)].
Из полученных выражений ясно, что при постоянном значении величины I, знаки коэффициентов не зависят от скорости полета , знаки коэффициентов и , наоборот,
зависят от скорости V.
Расчеты показывают, что неравенства (11) выполняются автоматически, а критическая скорость определяется из численного решения неравенства (10).
Библиографический список.
1. Бехтир, В. П. Практическая Аэродинамика самолета Ан-124-100 / В. П. Бехтир, В. М. Ржевский, Е. Н. Коврижных, В. Х. Копысов. — Ульяновск : УВАУ ГА, 2005. — 207 с.
2. Алфутов, Н. А. Устойчивость движения и равновесия / Н. А. Алфутов, К. С. Колесников. — Т. 3. — Москва : Изд-во МГТУ, 2003. — 256 с.
3. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического регулирования. / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. — Москва : Наука, 1972. — 768 с.
