Исследование автоколебаний в нелинейных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рисунок 6 - Распределение скорости по стенкам трубопровода

Таким образом, с помощью программного пакета ANSYS мы смоделировали условия протекания среды в трубопроводе и изменение его гидродинамических показателей при установке «фильтра». В ходе экспериментальной работы мы выявили изменение гидродинамических показателей на 15%, что доказывает преимущество установки «фильтра» в трубопровод.

УДК 62-503.56

И.А. Иванова, Е.В. Руденко, М.С. Шмакова, Е.А. Шестов

Курганский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Аннотация. Данная статья посвящена вопросу исследования нелинейных систем в режиме автоколебаний.

Ключевые слова: нелинейные системы, метод гармонической линеаризации.

ЬА. Ivanova, E.V. Rudenko, M.S. Shmakova,

E.A. Shestov

Kurgan State University

STUDYING SELF-OSCILLATIONS IN NONLINEAR SYSTEMS

Abstract. The article studies nonlinear systems in the mode of self-oscillations.

Keywords: nonlinear systems, harmonic linearization method.

Динамические процессы в нелинейных системах автоматического управления описываются дифференциальным уравнением

L(p)x + N (p)F (x,px) =0, (1)

где F (x, px) - нелинейная функция.

Нелинейная динамическая система разбивается условно на линейную часть и нелинейный элемент. Линейная часть обладает свойством фильтра, т.е. при возникновении периодических колебаний все высшие гармоники подавляются линейной частью системы. Тогда на выходе системы, а значит и на входе нелинейного элемента переменная х будет иметь форму колебаний, близкую к синусоидальной:

х =A sin rnt_ (2)

Таким свойством фильтра обладает большинство реальных контуров управления. Поэтому исследование автоколебаний в нелинейных системах можно проводить методом гармонической линеаризации. Для часто встречающихся типовых нелинейностей коэффициенты гармонической линеаризации заранее вычислены и представлены в виде готовых аналитических формул.

Рассмотрим пример исследования колебаний в системе с двумя нелинейностями.

Пусть в системе, функциональная блок-схема которой изображена на рисунке 1, регулируемый объект описывается уравнением

jD Л-

нелинейный оператор 1 ( рисунок 2 а) уравнением

= ^ (У);

линейный измеритель 2

(Т2р -i- = k2px;

линейный усилитель - преобразователь с нелинейным исполнительным устройством (рисунок 2 б)

(Гэр + 1)*5= -F,(x3),

где x3 =Х + x2.

Далее определим приближенно автоколебания в виде

х = A sincot ; jc3 = j43 (sin (tit +

так как линейный усилитель-преобразователь и объект играют роль фильтров между нелинейными звеньями.

Регулируемый объект

Измеритель 1

Измеритель 2

Усилитель -преобразователь

Исполнительное устройство

Рисунок 1 - Блок-схема системы автоматического управления

Гармоническая линеаризация нелинейностей дает

,

где

а., = k-,---=

Tí

arcsin — 4- — ! 1 —

А А л, kAj

(3)

х

Связь переменных х и Хз =х1 + х2 запишется теперь в виде

зс»

а1СЮ к2р

Т±р + 1 Т2р + 1

А"

Откуда

^ У= к^А^^А)!, 4- (71! + ГЭ)[УЭ = 0. Подставляя значение к0а2а1 из первого уравнения во второе, поделенное на с , и пренебрегая произведением Т1Т2ю , найдем

- "^ГТ-. (6)

14 о ^ 2

Представляя выражение (6) в уравнение для Х=0 (5) и пренебрегая произведением Т1(Т1+Т3)т2, получим

Итак, нами получено выражение Аз(А,ю) .

Составим теперь характеристическое уравнение всей замкнутой системы в гармонически линеаризованном виде:

(ТД + 1)(Т2 Я + 1)(Т3Я + \)Я2 + к0а2 (А) •

• {ТкД + [а (А)Т2+к21 я+а( а)} = о.

Пренебрегая произведениями постоянных времени при высших степенях Я по сравнению с их суммой, что вполне допустимо при рассмотрении низкочастотных автоколебаний (которые здесь и будут иметь место), запишем характеристическое уравнение в виде

(Т + Т2 + Т3 Д + [1 + Т1к2к0а2 (А3 )Д + + к0а2( Аз)а( А) = 0.

Г2 Л

хЗ

^ гч+г.■

(7)

Последнее уравнение легко решается графически. Построим график а1(А) согласно формуле (3) (кривая показана сплошной линией на рисунке 3 а). Путь графического решения уравнения (5) показан сплошными стрелками. Этим определяется искомая амплитуда автоколебаний А регулируемой величины X. Пунктирные стрелки дают второе решение А2 (неустойчивая).

б

а - коэффициент гармонической линеаризации а1(А); б - графический способ определения частоты

автоколебаний Рисунок 3 - Гоафическое решение уравнения для определения амплитуды и с автоколебаний

а

а

б

а - для первого измерительного устройства; б - для

исполнительного устройства Рисунок 2 - Нелинейные характеристики системы автоматического управления

После подстановки Х= ¡о> получим

Для определения частоты автоколебаний воспользуемся уравнением (6). Сначала из формулы (5) найдем зависимость А3(с) при заданном значении а1(А) (формула 7). Затем после отбрасывания малых членов получим

66

ВЕСТНИК КГУ, 2015. №1

где значение А берется из графика рисунка 3 а. Выражение для а2(А4) (4) подставим А3(с). Последнее позволяет построить график а2(с) (сплошная кривая на рисунке 3 б). Здесь же построена правая часть уравнения (6) (пунктирная кривая на рисунке 3 б). Точка пересечения этих двух кривых дает искомое значение частоты автоколебаний с как решение уравнения (6).

УДК 624.131

Т.И. Кравченко, В.В. Филатов, Л.Е. Кондратьева

Владимирский государственный университет

ОЦЕНКА КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ, ОБУСЛОВЛЕННОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ФОРМОЙ ТЕХНОГЕННОГО РЕЛЬЕФА

Аннотация. Статья посвящена решению плоской задачи об оценке критического усилия, возникающего в слоисто-горизонтальной модели слабой грунтовой среды под действием внешней нагрузки, эпюра которой имеет вид симметричной комбинированной треугольной и полубесконечной нагрузки.

Ключевые слова: критическое давление, модель грунтовой среды, комбинированная нагрузка.

T.I. Kravchenko, V.V. Filatov, L.E. Kondratieva Vladimir State University

ESTIMATION OF THE CRITICAL LOAD CAUSED BY THE NEGATIVE FORM OF THE TECHNOGENIC RELIEF

Abstract. The article deals with solving a plane problem of estimating the critical force resulting in horizontal layered

model of weak soil environment under the influence of external load, the diagram of which looks like a symmetric combined triangular and semi-infinite load.

Keywords: critical pressure, model of soil environment, combined load.

Рисунок 1 - Модель грунтовой среды и эпюра внешней нагрузки

При строительстве различных сооружений перемещаются значительные массы грунта, из которого формируется техногенный рельеф. Под действием веса грунта происходит изменение естественного напряжённого состояния ниже лежащей грунтовой среды. Поэтому возникает необходимость в оценке критического давления, которое может выдержать эта среда.

В [1; 2] решена задача об оценке критического усилия в модели грунтовой среды в виде однородного, тяжёлого, упругого полупространства под действием внешней нагрузки, приложенной к полупространству, эпюра которой представляет прямоугольный треугольник.

В настоящей работе рассмотрено решение аналогичной задачи. Но модель грунтовой среды представлена двумя плоско-параллельными слоями, лежащими на поверхности полупространства (рисунок 1). Внешняя нагрузка имитирует отрицательную форму техногенного рельефа в виде равнобокой трапеции. В этом случае напряжение в любой точке М (х,z) в полупространстве будет определяться внешней техногенной нагрузкой Р и напряжением , создаваемым моделью модели и у0х = у^ = г1 h 1+ г2 h 2+ г3[ z-(h1+ 1п2)].

Формулы главных напряжений, обусловленных действием симметричной комбинированной треугольной и полубесконечной нагрузки, имеют следующий вид [3]:

=

Р па

R R '

а(в+0) - в(а + а') + х(а- а!) + z ln )

RiRi .

+rih + Г2^2 + r3[z - (h+h)];

^2 =

P_ па

R R

а(в+0) - в(а+а )+х(а-а ) + zln )

RiRi

Pz +—

па

Pz

+rih + Г2^2 + r3[z - (h+h)],

па

ln2 Ml + (а-а )2 +

RiRi

ln

2 R2 R2

+(а-а )2 +

RiRi

(i)