Исследование автоколебаний в нелинейных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

R

0,38 0,37 ,0,36 |0,35 'o,34 0,33 0,32 0,31 0,3 0,29

•эксперим. •аппрок. Сплайнами

Содержание наполнителя, масс. час. 1-10; 2-20; 3-30; 4-40; 5-50; 6-60

Рисунок 2 - Зависимость коэффициента трения КПМ от содержания наполнителя

позиционных полимерных материалов при трении различными материалами.

Список литературы

1 Новиков А.К. Полиспектральный анализ. СПб.: ЦНИИ Крылова, 2000,

162 с.

2 Свиньин С. Ф. Базисные сплайны в теории отсчётов сигналов. СПб. :

Наука, 2003. 118 с. 3Хованова Н.А., Хованов И.А. Методы анализа временных рядов. Саратов, 2001. 398 с.

4 Зайнидинов Х. Н. Сплайн-метод обработки результатов стендовых

испытаний//Композиционные материалы. 2001. №3. С. 45-47.

5 Zaynidinov H.N., Sadikov B.B., Kimizbaeva O.I., Sadikova Sh. Parabolic

splines and algorithms of fast spectral transformation. Proceedings of Second World Conference On Intelligent Systems For Industrial Automation. Tashkent, Uzbekistan, June 4-5, 2002, p. 177-181.

УДК 62-503.56

И.А. Иванова, E.B. Руденко, M.C. Шмакова, Е.А. Шестов Курганский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Аннотация. Данная статья посвящена вопросу исследования нелинейных систем в режиме автоколебаний.

Ключевые слова: нелинейные системы, метод гармонической линеаризации.

I.A. Ivanova, E.V. Rudenko, M.S. Chmakova, E.A. Shestov Kurgan State University

RESEARCH OF SELF-OSCILLATIONS IN NON LINEAR SYSTEMS

Abstract. This article is devoted to the study of nonlinear systems in mode of self-oscillations.

Index terms: nonlinear systems, harmonic linearization method.

Динамические процессы в нелинейных системах автоматического управления описываются дифференциальным уравнением

L(p)x + N (p)F (x, px) =0, (1)

где F (x, px) - нелинейная функция.

Нелинейная динамическая система разбивается условно на линейную часть и нелинейный элемент. Линейная часть обладает свойством фильтра, т.е. при возникновении периодических колебаний все высшие гармоники подавляются линейной частью системы. Тогда на выходе системы, а значит и на входе нелинейного элемента, переменная х будет иметь форму колебаний, близкую к синусоидальной:

X =А sin mt (2)

Таким свойством фильтра обладает большинство реальных контуров управления. Поэтому исследование автоколебаний в нелинейных системах можно проводить методом гармонической линеаризации. Для часто встречающихся типовых нелинейностей коэффициенты гармонической линеаризации заранее вычислены и представлены в виде готовых аналитических формул.

Рассмотрим пример исследования колебаний в системе с двумя нелинейностями.

Пусть в системе, функциональная блок-схема которой изображена на рисунке 1, регулируемый объект описывается уравнением

Р ¿L- hi Q| Х- J J

нелинейный оператор 1 (рисунок 2 а) уравнением

линейный измеритель 2

линейный усилитель - преобразователь с нелиней-

Рисунок 1 - Блок-схема системы автоматического управления

ным исполнительным устройством (рисунок 2 б) где Хз =*, + х, .

Далее определим приближенно автоколебания в виде

х = А зтыЬ я:э = Лэ(зт ы£ — 0),

так как линейный усилитель-преобразователь и объект играют роль фильтров между нелинейными звеньями.

Гармоническая линеаризация нелинейностей дает где

аЛ = кЛ--

71

4Ь

агсБт--- ,'1 -(-У

А А \! ^ А '

а*, —

ТГА:

(3)

(4)

Связь переменных х и х3 =х1 + х2 запишется в виде

а^А) _ кгр

IТ±р - 1 Т2р - 1]

х

Откуда ^з

(5)

Итак, нами получено выражение Аз(А,ю).

Составим теперь характеристическое уравнение всей замкнутой системы в гармонически линеаризован-

ном виде:

(ТгЯ+1)(Т2 X + 1)(Т3Х + 1)Х2 + + к0а2 (А3 ){ТМ2 + К (А)Т2 + + к21 X + а(А)} = 0.

Пренебрегая произведениями постоянных времени при высших степенях Д по сравнению с их суммой, что вполне допустимо при рассмотрении низкочастотных автоколебаний (которые здесь и будут иметь место), запишем характеристическое уравнение в виде

(Т + Т2 + Т3 )Л3 + [1 + Тхк2 к0 а2 (А3 )]Л3 + + к0а2 (А3 )а (А) = 0 .

После подстановки ¡Ю получим

Подставляя значение к0а2э1 из первого уравнения во второе, поделенное на о, и пренебрегая произведе-

нием Т^ТзЮ , найдем ^ = №

(6)

Представляя выражение (6) в уравнение для Х=0 и

л

пренебрегая произведением + , получим

а) б)

а - для первого измерительного устройства; б - для исполнительного устройства Рисунок 2 - Нелинейные характеристики системы автоматического управления

36

ВЕСТНИК КГУ, 2014. № 2

<400 = ^

+т„

(7)

Последнее уравнение легко решается графически. Построим график в1(Л) согласно формуле (3) (кривая показана сплошной линией на рисунке 3 а). Путь графического решения уравнения (5) показан сплошными стрелками. Этим определяется искомая амплитуда автоколебаний А регулируемой величины X. Пунктирные стрелки дают второе решение А2 (неустойчивая амплитуда автоколебаний).

Для определения частоты автоколебаний воспользуемся уравнением (6). Сначала из формулы (5) найдем зависимость А3( о) при заданном значении а1(А) (формула (7). Затем после отбрасывания малых членов получим

где значение А берется из графика рисунка 3 а. Выражение для а2(А4) (4) подставим Аз(ю). Последнее позволяет построить график а2(ю) (сплошная кривая на рисунке 3 б). Здесь же построена правая часть уравнения (6) (пунктирная кривая на рисунке 3 б). Точка пересечения этих двух кривых дает искомое значение частоты автоколебаний о как решение уравнения (6).

а) б)

а - коэффициент гармонической линеаризации а1(А); б - графический способ определения частоты автоколебаний Рисунок 3 - Графическое решение уравнения для определения амплитуды и о автоколебаний