CC BY
10
Запишем обратное преобразование Лапласа от выражения (6)
т
= , (7)
V=1
где Av - корни знаменателя; av - действительные коэффициенты; пv - кратность корня Яу
Ограничим наше рассмотрение действительными
положительными величинами Av. Получение потока с
вероятностным распределением интервалов, задаваемых формулой (8) возможно путем добавления в рассматриваемую модель потока операции просеивания (разрежения заявок).
Таким образом, для определения потока заявок можно применить формулу пуассоновского закона распределения.
УДК 539. 5:621. 89 Т.О. Алматаев
Андижанский машиностроительный институт, Узбекистан
ПРИМЕНЕНИЕ СГЛАЖИВАЮЩИХ СПЛАЙНОВ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ТРИБОТЕХНИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Аннотация. В работе нами для обработки и аппроксимации экспериментальных данных был применен сплайн-метод. Приведены результаты обработки и аппроксимации данных в аналитическом виде. Показана трёхкратная точность сплайн-метода по сравнению с известными методами.
Ключевые слова: триботехнические свойства, приработка, коэффициент трения, наполнитель, аппроксимация, сглаживающий сплайн, композиция, полимерный материал.
T.O. Almataev
Andijon Mechanical Engineering Institute, the Republic of Uzbekistan
USING SMOOTHING SPLINE IN AUTOMATING THE TRIBOTECHNICAL RESEARCH RESULTS
Abstract. The article introduces the use of the spline method for processing and approximation of the experimental data. The results of data processing and approximation were presented in the analytical form. The work shows the three-time accuracy of the spline method in comparison with other known methods.
Index terms: tribotechnical characteristics, breaking-
in, friction factor, filler, approximation, smoothing spline, composition, polymer material.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время имеется ряд новых методов прогнозирования свойств материалов при их создании и эксплуатации. Результаты, полученные этими методами, совершенно необходимы и для понимания физических процессов, и для построения физических и математических моделей взаимосвязи протекающих процессов, нужных для практического воплощения принципов прогнозирования. Разработка и внедрение новых методов обработки данных, а также автоматизация экспериментальных исследований позволяют расширить возможности экспериментальных установок, организовать новые направления исследований, повысить производительность труда исследователей и эффективность использования дорогостоящего оборудования [1-3].
Исследователи в практике часто сталкиваются с задачей, в которых по экспериментальным данным необходимо восстановить общий характер явления или процесса [1; 3]. Такие задачи решаются выбором из допустимого множества функций такой функции, которая наилучшим образом приближается к совокупности экспериментальных данных. Чаще всего для оценки меры качества приближения функции к экспериментальным данным используется величина среднеквадратичной ошибки. Практической реализацией данного подхода является метод наименьших квадратов, применение которого приводит к решению систем алгебраических уравнений [2; 3].
Теория
Для физико-механических и тирботехнических испытаний наиболее приемлемым является сплайн-методы приближения экспериментальных данных, поскольку они служат универсальным инструментом приближения и обеспечивают большую точность вычислений по сравнению с другими математическими методами [3-5].
В целом развитие теории сплайнов идет по двум направлениям:
1) интерполяционных сплайнов, удовлетворяющих системе определенных граничных условий и условий во внутренних точках областей;
2) сглаживающих сплайнов, когда рассматриваются вопросы оптимизации различного рода функционалов.
Сплайн-методы наиболее эффективны в случаях дискретного задания исходных данных. Для нашего случая наиболее употребительными являются сплайны невысокой степени, в частности параболические и кубические. Процесс построения таких сплайнов значительно проще, чем процесс построения сплайнов более высокой степени. Любой сплайн достаточной гладкости может быть представлен через базисные сплайны. В частности, при d = 1 для разложения используются так называемые «нормализованные» базисные сплайны степени m (B-сплайны). Они являются локальными (финитными), кусочно-полиномиальными функциями и удовлетворяют следующим условиям [1-3]:
1) Вт (х) = 0 при * е (X,, X,+ж+!);
2) Вт (х) > 0 при * е (X., X.+т +1);
b Xj + т +1
3) \ Вт (Г) dr = \ Вт (Г) dr = 1.
a Xj
Для обеспечения аппроксимации на всем интервале [а,Ь] В-сплайны должны быть заданы на более широкой области посредством введения 2т дополнительных узлов ¡=-т, т+1,...,п+т причем все узлы могут быть расположены неравномерно.
Наиболее простые аналитические выражения для В-сплайнов получаются для случаев равномерного задания сеток. Приведем эти выражения для базисных элементов некоторых степеней.
1 Для В-сплайнов первой степени:
В0Л(Х) =
х -1, 1 - х,
при х е [-1,0] при х е [0,1]
о
2 Для В-сплайнов второй степени:
В0,2 (х) =
0,
1 Г з
—I--х
2 I 2
- х
В 00 2 (- X )
х > з/2 1/2 < х < 3/2
0 < х < 1 2
х < 0 .
Узлы В-сплайнов второй степени расположены в
точках I — 1/2, (/ = -2,-1,0,..., П). Выбор узлов
посредине между узлами интерполяции обусловлен требованиями единственности приближения.
Если экспериментальные данные известны с погрешностями, то строить интерполяционный сплайн не имеет смысла. В таких случаях возникает необходимость применения сглаживающих сплайнов с целью уменьше-
ния погрешностей.
Сглаживающий сплайн - это сплайн, проходящий вблизи экспериментальных значений, но более «гладкий» чем интерполяционный [4; 5].
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В данной работе нами был применен метод сглаживающих сплайнов для аппроксимации триботехнических характеристик композиционных полимерных материалов при трении с волокнистой массой.
На рисунках 1 и 2 приведены результаты аппроксимации экспериментальных данных двух зависимостей:
1) зависимость продолжительности приработки композиционных полимерных материалов при трении с волокнистой массой от содержания вводимого наполнителя;
2) зависимость коэффициента трения композиционных полимерных материалов при трении с волокнистой массой от содержания вводимого наполнителя.
Результаты показывают (рисунки 1, 2), что кривая, полученная путем аппроксимации сплайн-методом, имеет некоторое расхождение крайних точек, чем экспериментальные кривые. Такое расхождение кривых аппроксимации показывает наиболее точность применяемого метода. В данном случае для крайних точек была применена трехточечная формула сплайнов второй степени.
Как видно, сплайны вследствие универсальности алгоритмов обработки сигналов и функций, хороших дифференциальных и оптимизационных свойств, высокой сходимости оценок приближений, простоты вычислений форм и параметров, слабого влияния ошибок округления показывают свою эффективность во многих практических приложениях.
ВЫВОДЫ
Таким образом, по результатам исследований созданы алгоритмические и программные средства обработки и аппроксимации экспериментальных данных, которые могут успешно применены для обработки результатов испытания различных свойств и характеристик ком-
§
е £
I
£ л
г
и
0 а: -й
£
1
'О
о £
65 63 61 59 57 55 53
- -■
6
Содержание наполнителя, масс. час. 1-0; 2-5; 3-10; 4-15; 5-20; 6-25
-эксперим.
-аппрок. Сплайнами
Рисунок 1 - Зависимость продолжительности КПМ от содержания наполнителя
34
ВЕСТНИК КГУ, 2014. № 2
R
0,38 0,37 ,0,36 |0,35 'o,34 0,33 0,32 0,31 0,3 0,29
•эксперим. •аппрок. Сплайнами
Содержание наполнителя, масс. час. 1-10; 2-20; 3-30; 4-40; 5-50; 6-60
Рисунок 2 - Зависимость коэффициента трения КПМ от содержания наполнителя
позиционных полимерных материалов при трении различными материалами.
Список литературы
1 Новиков А.К. Полиспектральный анализ. СПб.: ЦНИИ Крылова, 2000,
162 с.
2 Свиньин С. Ф. Базисные сплайны в теории отсчётов сигналов. СПб. :
Наука, 2003. 118 с. 3Хованова Н.А., Хованов И.А. Методы анализа временных рядов. Саратов, 2001. 398 с.
4 Зайнидинов Х. Н. Сплайн-метод обработки результатов стендовых
испытаний//Композиционные материалы. 2001. №3. С. 45-47.
5 Zaynidinov H.N., Sadikov B.B., Kimizbaeva O.I., Sadikova Sh. Parabolic
splines and algorithms of fast spectral transformation. Proceedings of Second World Conference On Intelligent Systems For Industrial Automation. Tashkent, Uzbekistan, June 4-5, 2002, p. 177-181.
УДК 62-503.56
И.А. Иванова, E.B. Руденко, M.C. Шмакова, Е.А. Шестов Курганский государственный университет
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Аннотация. Данная статья посвящена вопросу исследования нелинейных систем в режиме автоколебаний.
Ключевые слова: нелинейные системы, метод гармонической линеаризации.
I.A. Ivanova, E.V. Rudenko, M.S. Chmakova, E.A. Shestov Kurgan State University
RESEARCH OF SELF-OSCILLATIONS IN NON LINEAR SYSTEMS
Abstract. This article is devoted to the study of nonlinear systems in mode of self-oscillations.
Index terms: nonlinear systems, harmonic linearization method.
Динамические процессы в нелинейных системах автоматического управления описываются дифференциальным уравнением
L(p)x + N (p)F (x, px) =0, (1)
где F (x, px) - нелинейная функция.
Нелинейная динамическая система разбивается условно на линейную часть и нелинейный элемент. Линейная часть обладает свойством фильтра, т.е. при возникновении периодических колебаний все высшие гармоники подавляются линейной частью системы. Тогда на выходе системы, а значит и на входе нелинейного элемента, переменная х будет иметь форму колебаний, близкую к синусоидальной:
X =А sin Wt (2)
Таким свойством фильтра обладает большинство реальных контуров управления. Поэтому исследование автоколебаний в нелинейных системах можно проводить методом гармонической линеаризации. Для часто встречающихся типовых нелинейностей коэффициенты гармонической линеаризации заранее вычислены и представлены в виде готовых аналитических формул.
Рассмотрим пример исследования колебаний в системе с двумя нелинейностями.
Пусть в системе, функциональная блок-схема которой изображена на рисунке 1, регулируемый объект описывается уравнением
Р ¿L- hi Q| Х- J J
нелинейный оператор 1 (рисунок 2 а) уравнением
линейный измеритель 2
линейный усилитель - преобразователь с нелиней-
