Расчет систем массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Таким образом, была получена передаточная функция нелинейной системы, линеаризованной за счет вибрационной линеаризации.

УДК 62.503.56

В.В. Иванов, А.В. Ваземиллер, Н.Г. Тихомиров Курганский государственный университет

РАСЧЕТ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Аннотация. В статье рассмотрен вопрос расчета систем массового обслуживания для пуассоновского закона распределения интервалов времени между заявками.

Ключевые слова: системы массового обслуживания, закон распределения, поток заявок.

V.V. Ivanov, A.V. Vazemiller, N.G. Tihomirov Kurgan State University

CALCULATING QUEUEING SYSTEMS

Abstract. The article dwells upon the problem of calculating queueing systems for Poisson distribution of time intervals between requests.

Index terms: queueing systems, distribution law, request flow.

Качество работы системы в большинстве случаев оценивается с помощью следующих критериев. Минимальная средняя стоимость функционирования системы массового обслуживания в единицу времени определяется по формуле

У = CiV+C2p

(1)

где V - среднее число заявок в очереди; р - среднее число незанятых приборов; С1- стоимость простоя в очереди в течение единицы времени (часа) одной заявки;

С2 - стоимость простоя в течение единицы времени (часа) одного прибора.

При проектировании систем стараются получить минимальную среднюю стоимость

у _ утт . (2)

В качестве второго критерия качества работы выбирают максимальное значение интенсивности выходного потока

^вых _^тах (3)

или минимум дисперсии плотности выходного потока.

Если взять предприятие, выпускающее некоторую продукцию, то качество системы массового обслуживания будет тем выше, чем больше в среднем будет выходить с предприятия готовой продукции. Кроме того, чтобы разброс числа выпускаемых в единицу времени образцов был как можно меньше. Это особенно важно в условиях современного производства, которое отличается малооперационными технологиями, высокой стоимостью оборудования и т.д.

Законы распределения интервалов времени между заявками на входе, а также время, затрачиваемое на обслуживание, могут быть не экспоненциальными. В боль-

шинстве практических случаев характеристические функции этих случайных величин могут быть описаны дробно-рациональными функциями. Считается, что эти интервалы времени независимы между собой.

Другой метод расчета сетей массового обслуживания состоит в сведении непуассоновской системы к пуас-соновской путем добавления промежуточных приборов и состояний.

Допустим, что имеется прибор, на который поступает поток заявок с распределением интервалов между

заявками,

Такого рода потоки можно свести к пуассоновским, если ввести промежуточное состояние и фиктивные дополнительные заявки. С этими дополнительными заявками поток будет пуассоновским, так как интервалы между заявками подчинены экспоненциальному закону. Прибор прежде чем получить следующую заявку после текущий заявки должен получить фиктивную заявку или пройти через дополнительную фазу.

Матрица перехода в таком дополнительном потоке будет иметь вид

Состояния в момент времени

t + dt

0 1 2

Xdt Xdt 0

0 \-ldt Xdt

0 0 l-Adt

Состояния в момент времени I п

В этой матрице состояния с четными номерами фиктивные. Состояние 1 означает, что пришла одна фиктивная заявка, состояние 2 - пришли одна фиктивная и одна истинная заявка. Очевидно, что интервалы между четными заявками распределены по закону = е

Поток заявок с плотностью распределения может быть получен с помощью следующей модели. Интервалы между заявками в этом потоке также распределены по показательному закону, но параметр X этого закона может принимать

XX X»

случайным образом одно из т значений 1 ? 2? • • • хт соответственно с вероятностями а1, а2 ,... ат.

Таким образом, предполагается положительность коэффициентов ан, что является еще одним ограничением на вид дробно-рациональной функции (6). Для нашей модели еще необходимо, чтобы

т

.

(5)

V—1

Исследуем, какой модели процесса соответствует дробно-рациональная характеристическая функция интервалов между заявками:

as + a 1

Д _ п п-1

w ~ h sm +h s где S=jw.

sn 1 + ... + an

m-1

+ ... + bn

(6)

32

ВЕСТНИК КГУ, 2014. № 2

Запишем обратное преобразование Лапласа от выражения (6)

т

= , (7)

V=1

где Av - корни знаменателя; av - действительные коэффициенты; пv - кратность корня Яу

Ограничим наше рассмотрение действительными

положительными величинами Av. Получение потока с

вероятностным распределением интервалов, задаваемых формулой (8) возможно путем добавления в рассматриваемую модель потока операции просеивания (разрежения заявок).

Таким образом, для определения потока заявок можно применить формулу пуассоновского закона распределения.

УДК 539. 5:621. 89 Т.О. Алматаев

Андижанский машиностроительный институт, Узбекистан

ПРИМЕНЕНИЕ СГЛАЖИВАЮЩИХ СПЛАЙНОВ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ТРИБОТЕХНИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Аннотация. В работе нами для обработки и аппроксимации экспериментальных данных был применен сплайн-метод. Приведены результаты обработки и аппроксимации данных в аналитическом виде. Показана трёхкратная точность сплайн-метода по сравнению с известными методами.

Ключевые слова: триботехнические свойства, приработка, коэффициент трения, наполнитель, аппроксимация, сглаживающий сплайн, композиция, полимерный материал.

T.O. Almataev

Andijon Mechanical Engineering Institute, the Republic of Uzbekistan

USING SMOOTHING SPLINE IN AUTOMATING THE TRIBOTECHNICAL RESEARCH RESULTS

Abstract. The article introduces the use of the spline method for processing and approximation of the experimental data. The results of data processing and approximation were presented in the analytical form. The work shows the three-time accuracy of the spline method in comparison with other known methods.

Index terms: tribotechnical characteristics, breaking-

in, friction factor, filler, approximation, smoothing spline, composition, polymer material.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время имеется ряд новых методов прогнозирования свойств материалов при их создании и эксплуатации. Результаты, полученные этими методами, совершенно необходимы и для понимания физических процессов, и для построения физических и математических моделей взаимосвязи протекающих процессов, нужных для практического воплощения принципов прогнозирования. Разработка и внедрение новых методов обработки данных, а также автоматизация экспериментальных исследований позволяют расширить возможности экспериментальных установок, организовать новые направления исследований, повысить производительность труда исследователей и эффективность использования дорогостоящего оборудования [1-3].

Исследователи в практике часто сталкиваются с задачей, в которых по экспериментальным данным необходимо восстановить общий характер явления или процесса [1; 3]. Такие задачи решаются выбором из допустимого множества функций такой функции, которая наилучшим образом приближается к совокупности экспериментальных данных. Чаще всего для оценки меры качества приближения функции к экспериментальным данным используется величина среднеквадратичной ошибки. Практической реализацией данного подхода является метод наименьших квадратов, применение которого приводит к решению систем алгебраических уравнений [2; 3].

Теория

Для физико-механических и тирботехнических испытаний наиболее приемлемым является сплайн-методы приближения экспериментальных данных, поскольку они служат универсальным инструментом приближения и обеспечивают большую точность вычислений по сравнению с другими математическими методами [3-5].

В целом развитие теории сплайнов идет по двум направлениям:

1) интерполяционных сплайнов, удовлетворяющих системе определенных граничных условий и условий во внутренних точках областей;

2) сглаживающих сплайнов, когда рассматриваются вопросы оптимизации различного рода функционалов.

Сплайн-методы наиболее эффективны в случаях дискретного задания исходных данных. Для нашего случая наиболее употребительными являются сплайны невысокой степени, в частности параболические и кубические. Процесс построения таких сплайнов значительно проще, чем процесс построения сплайнов более высокой степени. Любой сплайн достаточной гладкости может быть представлен через базисные сплайны. В частности, при d = 1 для разложения используются так называемые «нормализованные» базисные сплайны степени m (B-сплайны). Они являются локальными (финитными), кусочно-полиномиальными функциями и удовлетворяют следующим условиям [1-3]:

1) Вт (х) = 0 при * е (X,, X,+ж+!);

2) Вт (х) > 0 при * е (X., X.+т +1);

b Xj + т +1

3) \ Вт (Г) dr = \ Вт (Г) dr = 1.

a Xj

СЕРИЯ «ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ», ВЫПУСК 9

33