Незавершенная работа в СМО с диффузионной интенсивностью входного потока с нулевым коэффициентом сноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

УДК 519.872+519.21+517.958+004.7

НЕЗАВЕРШЕННАЯ РАБОТА В СМО С ДИФФУЗИОННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО ПОТОКА С НУЛЕВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ СНОСА Е. С. Фролова, Т. А. Жук, Н. И. Головко

Аннотация. Системы массового обслуживания (СМО) являются аналитическими моделями информационных сетей и их отдельных элементов. В данной работе строится математическая модель СМО в виде системы уравнений относительно нестационарных и стационарных характеристик незавершенной работы в СМО. Рассматривается СМО с бесконечной емкостью накопителя, одним обслуживающим прибором, произвольным обслуживанием с функцией распределения В(х). На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок с диффузионной интенсивностью € [а, в] с упругими границами. Диффузионный процесс А(£) имеет нулевой коэффициент сноса а = 0 и коэффициент диффузии Ь > 0.

Цель данной работы — вывод уравнений относительно совместных распределений незавершенной работы и интенсивности входного потока в нестационарном и стационарном режимах.

Для вывода уравнений относительно характеристик СМО применяется динамика Колмогорова. В теореме 1 приводится вывод уравнения для нестационарного распределения незавершенной работы СМО в нестационарном режиме. Получены начальные и краевые условия, уравнения для внутренних и граничных точек. Вывод уравнений осуществлен с помощью полумарковского процесса, аппроксимирующего диффузионный процесс. Показано, что диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса а = 0 и коэффициентом диффузии Ь > 0 получается из полумарковского процесса в результате предельного перехода. В теореме 2 приводится вывод уравнения для стационарного распределения незавершенной работы СМО в стационарном режиме. Получены краевые условия.

Б01: 10.25587/8УРи.2019.101.27245

Ключевые слова: система массового обслуживания, уравнения относительно характеристик незавершенной работы, диффузионная интенсивность, нестационарный и стационарный режимы.

1. Введение

Актуальной технической и научной проблемой является моделирование информационных сетей. Система массового обслуживания является аналитической моделью информационной сети в целом и отдельных ее элементов соответственно. Вопросы моделирования СМО в информационных сетях исследуются в теории массового обслуживания. В качестве аналитических моделей информационных сетей в целом и отдельных их элементов использованы сети и системы

© 2019 Фролова Е. С., Жук Т. А., Головко Н. И.

массового обслуживания во многих работах, например в [1,2]. В [3] показано, что в силу специфики потока сообщений на узлах локальных и глобальных компьютерных сетей моделями web-узлов в сети Интернет являются СМО с диффузионной интенсивностью входного потока. Аппроксимация диффузионным процессом процессов в многолинейных СМО исследовалась в [4, 5], в СМО с большой нагрузкой в [6].

В данной работе строится математическая модель СМО с диффузионной интенсивностью входного потока в виде уравнений относительно нестационарных и стационарных характеристик незавершенной работы.

Рассмотрим СМО с бесконечным накопителем и одним обслуживающим прибором. Время обслуживания заявок п является случайной величиной с функцией распределения В(х). На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок, интенсивность которого А(4) представляет собой диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса а = 0 и коэффициентом диффузии Ь > 0. Случайный процесс А(4) принимает значения на промежутке [а, в] с упругими границами [7].

Введем следующие обозначения: А(4) — интенсивность входного потока в нестационарном режиме, А — в стационарном; Qk (4, х) = Р{^(£) = к,х < А(4) < х + ¿х}/^х, — число заявок в СМО в момент дк(х) = Р{^ = к, ж < А < х + ¿х}/^х, V — число заявок в СМО в стационарном режиме; Qk(í, х), дк(х) — нестационарные и стационарные характеристики числа заявок соответственно к > 0; f (4, х) = Р{х < А(4) < х + ¿х}/^х — нестационарная плотность интенсивности входного потока А(4); f (х) = Р{х < А < х + ¿х}/^х — стационарная плотность А, х € [а, в].

Заметим, что интегралы

ь ь

I Qk(4,х) ¿х = Рк(4), J Чк(х) ¿х = Рк, к > 0,

а а

представляют собой нестационарное и стационарное распределения числа заявок соответственно.

Обозначим через и(4) незавершенную работу системы в момент времени Незавершенной работой и(4) называется остаточное время, необходимое для освобождения системы от находящихся в ней в момент времени 4 требований [8]. Другими словами, незавершенная работа в момент времени 4 — это количество времени и(4) работы прибора по обслуживанию всех находящихся в СМО заявок в момент времени Каждая новая заявка приносит с собой будущее время п работы обслуживающего прибора и увеличивает незавершенную работу. Поэтому незавершенная работа измеряется в единицах времени.

Реализации случайного процесса и(4) представляют собой следующие непрерывные ломаные. В момент прихода очередной заявки ломаная совершает вертикальный скачок на случайную величину п с функцией распределения В(х). Между моментами прихода заявок ломаная убывает под углом 45°. В моменты простоя, т. е. отсутствия заявок, ломаная лежит на оси абсцисс. В мо-

мент прихода очередной заявки незавершенная работа равна времени ожидания начала обслуживания пришедшей заявки.

Обычно в литературе, например в [8], для удобства теоретических исследований функция распределения незавершенной работы вводится как функция, непрерывная справа в точках разрыва: Н(ш,£) = P{U(£) < ш}, в силу того, что в точке ш = 0 эта функция имеет разрыв с нулевого на положительное значение

ад.

Поступим аналогично. Обозначим через Л.(ш) = P{ш < и < ш + стационарную плотность незавершенной работы и в стационарном режиме, через Н(ш, х) = P{U(£) < ш, х < Л(4) < х + — совместное нестационарное распределение незавершенной работы и(£) и интенсивности входного потока Л(£), через Ь(ш,х) = P{U < ш,х < Л<х + ¿х}/^х — совместное стационарное распределение незавершенной работы и и интенсивности входного потока Л.

Введем распределения:

H(uj,t,x) = h(w, x) =

и обозначения:

H(w, t) = P{w < U(t) < w + dw}, P{w < U(t) < w + dw, x < A(t) < x + dx}

dwdx

P{cj <[/<cj + du;,x<A<x + dx} dwdx

H+(w,t) = H(w,t), H+(w,t) = H(w,t), w> 0, h+ (w) = h(w), h+ (w) = h(w), w > 0, H+ (w,t, x) = H(w,t,x), H+ (w,t,x)= H(w,t,x), w> 0, h+(w, x) = h(w, x), h+ (w,x) = h(w,x), w> 0, 0+ = limw, w ^ 0, w > 0, 0- = lim w, w ^ 0, w < 0.

Будем рассматривать в пространстве кусочно непрерывных функций функции B(x), H(w, t), h(w), H(w, t, x), h(w, x), а также их частные производные по t, w, по x первого и второго порядков в области t > 0, w> 0, x £ [а, в ]. В дальнейшем будем использовать данные частные производные, повторно не оговаривая указанные свойства.

Заметим, что вероятность отсутствия заявок в нестационарном режиме в рассматриваемой СМО, т. е. вероятность простоя СМО, равна

b

H(0+,t) = Po(t) = J Qo(t,x) dx.

a

Соответственно H(0+,t,x) = Qo(t,x). Аналогичные рассуждения дают:

b

h(0+)= po = /qo(x) dx, h(0+ ,x)= qo(x).

Согласно определению нестационарное и стационарное совместные распределения незавершенной работы и интенсивности входного потока имеют вид

0,

ш < 0,

0,

ш < 0,

Н(ш,£,ж) =

0, ш = 0-,

Оз(^ж), ш = 0+, Н+ (ш,£,ж), ш> 0;

Ь(ш, ж)

0, ш = 0-,

9о (ж), ш = 0+, Ь+ (ш, ж), ш > 0.

Обозначим через 5(ш) дельта-функцию Дирака. Согласно определению нестационарные и стационарные распределения незавершенной работы Н(ш, £), Л.(ш), Н(ш,4, ж), Л.(ш,ж) принадлежат классу обобщенных функций и представляются в виде

Н (ш,£) = Ро(^)^(ш) + Н+ (ш,£), Цш) = ро^(ш) + Мш), Н (ш,4,ж) = ^о(^,ж)5(ш) + Н+ (ш,4,ж), Л.(ш, ж) = ^о(ж)5(ш) + Л.+ (ш, ж).

Для СМО, аналогичной рассматриваемой, но с постоянной интенсивностью входного потока А, нестационарная функция распределения незавершенной работы И(ш,£) удовлетворяет нестационарному уравнению Такача, стационарная функция распределения незавершенной работы Ь(ш) удовлетворяет стационарному уравнению Такача [8].

Нестационарное уравнение Такача имеет вид

дЬ

ш

= -АИ(ш,£) + А У В(ш - в)

дш

(1.1)

ш > 0, ж е (а, в),

с начальным условием: И(ш, 0) = £(ш), с односторонним краевым условием по ш: И(0+,£) = Ро(*), С(ш) — заданная функция распределения. Стационарное уравнение Такача имеет вид

-\Ъ(ш) + А [ В(ш - ^ + ^^ =0, ш > 0, ж € (а, /3),

] дв дш

(1.2)

с односторонним краевым условием по ш: Ь(0+) = ро.

Цель данной работы — вывод уравнений относительно совместных распределений незавершенной работы И(ш,£, ж) и Ь(ш,ж) с применением динамики Колмогорова или так называемого ДЬ-метода [8]. Терминология «динамика Колмогорова» подразумевает сложную динамику вывода интегродифференци-альных уравнений для СМО с марковскими свойствами процессов входного потока и обслуживания [8]. В литературе по теории массового обслуживания понятие «динамика Колмогорова» используется достаточно давно. Например, в [8] «динамика Колмогорова — Чепмена» используется для вывода уравнений

ш

относительно характеристик числа заявок в СМО с простейшим пуассоновским потоком и экспоненциальным обслуживанием для вывода уравнения Такача в нестационарном режиме.

Для более глубокого понимания вывода уравнений в данной работе относительно совместных распределений незавершенной работы Н(ш,£, х), Ь(ш,х) с применением динамики Колмогорова читателю рекомендуется предварительно ознакомиться с методикой вывода уравнения Такача в [8].

2. Уравнения для характеристик незавершенной работы СМО

Уравнения для нестационарного распределения Н(ш, х) приводятся в следующей теореме.

Теорема 1. Нестационарное распределение Н(ш, х) незавершенной работы и(£) удовлетворяет:

(1) интегродифференциальному уравнению

ш

дН(ш,£,х) Г дН(в,4,х) ,

_ . + I ™ I и!,. „\

В(ш — в)-

дв

дН(ш,*,х) Ь д2Н(ш, х) п . . .

+-+ о-да , ш>0,х£(а,Р), 2.1

дш 2 д2х

(2) начальному условию Н(ш, 0,х) = £(ш,х), где £(ш,х) — заданная функ-

в

ция, § £(ш, х) ¿х — функция распределения,

а

(3) одностороннему краевому условию по ш:

Н(0+Лх) = до(4,х), (2.2)

(4) краевым условиям

Н'Х (ш,4,а) = 0, (2.3)

Н>Лв) = 0. (2.4)

Доказательство. Для вывода уравнения (2.1) воспользуемся динамикой Колмогорова вывода уравнения Такача [8] и уравнений относительно характеристик числа заявок в рассматриваемой СМО [9].

Рассмотрим полумарковский процесс Лпм (£), аппроксимирующий диффузионный процесс Л(£). Дискретное пространство состояний Лпм (£) задается однородной марковской цепью Лп , п > 1, со значениями на равномерной сетке:

{а = хо < х1 < • • • < хт = в, х^+1 — х^ = Ах = ¿х = 0, 0 < г < т — 1}.

Изменения процесса Лпм (£) происходят через интервалы времени А£:

А£ = А2 х/Ь, (2.5)

в моменты времени 4п,п > 1, где Ь > 0 — некоторая положительная константа. Полумарковский скачкообразный процесс Апм (4) доопределим в точках разрыва непрерывным справа. Однородная марковская цепь Ап = Апм(4п + 0+), п > 1, представляет собой вложенную марковскую цепь с дискретным временем. Вероятности переходов

однородной марковской цепи Ап определим следующим образом:

= 1/2, j = г - 1, j = г + 1; р^г = 0, j = г - 1, j = г + 1, роо = Ртт = 1/2.

Обозначим условную плотность ^ распределения А(4):

^(4, у, т, ж) = Р{ж < А(т) < ж + ¿ж | А(4) = у}/^ж, 4 < т = 4 + Д4.

В результате предельного перехода при ^ 0, Дж ^ 0 полумарковская цепь Апм(4) переходит в диффузионный процесс А(4) с нулевым коэффициентом сноса а = 0 и коэффициентом диффузии Ь > 0 [7-10].

Действительно, согласно определению диффузионный процесс это непрерывный марковский процесс с независимыми приращениями 2-го порядка (с ненулевым моментом приращения 2-го порядка и нулевыми моментами приращения старшего порядка). Вычисляя моменты приращения для полумарковской цепи Апм(4) [7, 8,10], получим:

1) момент приращения 1-го порядка

р^ = Р{Ап+1 = жг | Ап = ж^"}

Ит -— / (х — у)Р{1,, у, I + х) ¿х Д4-о дг У У ' '

\x-y\Ke

равен коэффициенту сноса диффузионного процесса А(4), 2) момент приращения 2-го порядка

\x-y\Ke

равен коэффициенту диффузии диффузионного процесса А(4),

3) момент приращения к-го порядка полумарковской цепи Апм(4)

равен моменту приращения к-го порядка диффузионного процесса Л(4), к > 3.

Более подробно аппроксимация диффузионного процесса Л(4) полумарковской цепью Лпм(4) рассматривается в [7-10]. В дальнейшем при выводе уравнений будем наблюдать следующие марковские процессы в моменты времени 4п: вложенную однородную марковскую цепь Лп с дискретным временем, входной дважды стохастический пуассоновский поток заявок с диффузионной интенсивностью, незавершенную работу и(4п).

Рассмотрим вывод уравнения (2.1). Пусть 4 = 4п.

Так как Лпм(4) аппроксимирует диффузионный процесс Л(4), в дальнейшем вместо интенсивности Л(4) будем использовать полумарковский процесс Лпм(4). Рассмотрим временной интервал + А4). Пусть в момент времени 4 + выполняется Лпм(4 + А4) = х = х^, 1 < г < т — 1, т. е. х < Лпм(4 + А4) < х + ¿х, х € (а, в).

Рассмотрим событие

А = {и(4 + А4) < ш, х < Лпм(4 + А4) < х + ¿х} (2.6)

и вероятность этого события P(A) = Н(ш, 4 + А4, х) ¿х. Найдем связь значения функции Н(ш, 4 + А4, х) с ее возможным значением в момент времени 4 = 4п, т. е. рассмотрим попадание СМО в состояние А из всевозможных других состояний.

Изменение состояний СМО на промежутке времени (4, 4 + А4) возможно за счет изменения процесса Лпм(4), появления заявок, изменения процесса и(4).

Введем события В;, 1 < I < 3, заключающиеся в том, что на промежутке времени (4,4 + А4) процесс Лпм(4) может изменить свое значение на значение х^ с указанного ниже значения:

1) В1 = {со значения у1 = х^_1}, P(B1) = 1/2,

2) В2 = {со значения у2 = х^+1}, P(B2) = 1/2,

3) В3 = {со значения у3 = х^- }, 0 < ] < т, ^ = г — 1, ^ = г + 1, P(B3) = 0.

На промежутке времени (4, 4 + А4) может появиться следующее число заявок:

1) С1 = {не поступило ни одной заявки}, P(C1|B;) = 1 — + о(А4),

2) С2 = {поступила одна заявка}, P(C2|B;) = + о(А4),

3) С3 = {поступило более одной заявки}, P(Cз|B;) = о(А4), где вероятности указаны для значений I: 1 < I < 3.

Рассмотрим на промежутке времени (4, 4 + А4) различные изменения процесса и(4). Появление события А возможно в следующих случаях.

1. В систему за промежуток времени (4,4 + А4) не поступило ни одной заявки, т. е. незавершенная работа не совершала скачка. В этом случае

и (4 + А4) = и (4) — и для условной вероятности состояния СМО имеем

P{A|ClBг} = P{U(4 + А4) < ш, х < Лпм(4 + А4) < х + ¿х^В;} = P{U(4) — < ш, х < Лпм(4 + А4) < х + ¿х|В}

= Р{и(4) < ш + Д4, ж < Апм(4 + Д4) < ж + ¿ж|Вг} = Р{и(4) < ш + Д4, уг < Апм(4) < уг + ¿ж}

= Н(ш + Д4, 4, уг) ¿ж, 1 < I < 3.

2. В систему за промежуток времени (4, 4 + Д4) поступила одна заявка, т. е. незавершенная работа совершила скачок на случайную величину п. В этом случае и(4 + Д4) = и(4) + п — Д4 и для условной вероятности состояния СМО имеем

Р{А|С2Вг} = Р{и(4 + Д4) < ш, ж < Апм(4 + Д4) < ж + ¿ж|С2Вг} = Р{и(4) + п - Д4 < ш, ж < Апм(4 + Д4) < ж + ¿ж|В} = Р{и(4) < ш + Д4 - п, уг < Апм(4) < уг + ¿ж}

= У Р{п < ш + Д4 - в}Р{в < и(4) <в + ¿в, уг < Апм(4) < уг + ¿ж}

в=о

д Н(я,*,уг)

/ Д^ + А^-а)911^'*'^ № 1 < г < 3. } дв

(ш

о

Таким образом, по формуле полной вероятности получаем

г=з г=з

Н(ш,4 + Д4,жг) ¿ж = Р(А) = ^^3 Р(А|СГВг)Р(СгВг)

г=1 г=1 г=з г=з

= Р(А|СгВг)Р(Сг|Вг)Р(Вг)

г=1 г=1 г=з г=з

= Р(Вг)Р(СГ|Вг)Р(А|СгВг)

г=1 г=1

^ { (1 - жг_1 А4)Н(а; + Д£, жг_1) ¿ж

дН(в,4,жг-1) (ш + ш — я --—--1 ахав

+ жг_1А£ j В{ш + АЬ-в)-

дв

о

+ ^ | (1 - жг+1 Д4)Н(а; + Дг, жт) ¿ж

+ жг+хД4 j В{ио + АЬ - +о{Аг).

о

Рассмотрим в последней формуле справа функцию Н(ш + Д4, 4, у) аргументов ш,4, у, где у = ж^-1 или у = ж^+1. Сократив ¿ж слева и справа, применив к

функции Н(ш + А4, у) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано по переменной ш:

н(ш + Аь, г, у) = н(ш, г, у) + д^ + 0(Аг),

дш

получим

н(ш, г + АЬ, хг) = - {(1 - жг_1

Н----А£

дш

ш+Аг

+ Xi-1Аt J В(ш + — в) о

дН(в, х^_1) дв

¿в

+ -<( (1-жг+1А£)

ш+Аг о

Отсюда после раскрытия скобок следует, что

тт/ , ч

Н(ш, г, х1+1) н----

дш

дН(в,4, хг+1)

1 дН(ш,4,хг_1К , 1

ш+Аг

+ —-4 д^ " АЬ + ^х^АЬ J В{ш + АЬ- ^ Лз

о

1„, . , 1 . , 1 дН(ш,4,хг+1)

дН(в, )

дв

+ 2Н(Ш> ~ -Жг+1 АШ(ш, г, х1+1) + --

-Аг

ш+Аг

+ -жг+1А£ / + + о(А£). (2.7)

2 } дв

Вычтя из левой и правой частей Н(в, х^) и разделив обе части уравнения на А4, получим разностное уравнение

Н(ш,4 + А4, хг) — Н(ш,4,х,) 1

А4

ш+Аг

+ 2<Жг

-1 У В(ш + — в)

дН(в, ) дв

¿в

о

ш+Аг

+ хг+1 J В(ш + — в)

дв

¿в

2 дш

дш

1 Д2ж H(w,t,xi_i) - 2H(w,i,Xi) + H(w,i,xm) + 2^" Д^ +0(Ai)' (2'8)

Выполнив предельный переход при Дг ^ 0, Дж ^ 0, с учетом (2.5) и условия

lim Д2ж/Дг = b, Дж ^ 0, Дг ^ 0, (2.9)

получим из разностного уравнения (2.8) дифференциальное уравнение (2.1).

Для получения уравнения в граничной точке жо = а воспользуемся, как показано выше, формулой полной вероятности, из которой аналогично (2.7) следует:

Н(ш, t + Аt, жо) = — Н(ш, t, жо) — —жоАШ(ш, t, xq)

ш+At

1 dH(w,i,xo)A 1 Л f Л ,dH(s,i,xo) , + -v ' ' At + -x0At / Bcj + Ai-S -v ' '

2 ош 2 ds

^ , 1 A TT, , 1 <9H(w,i,xi)A

+ -H(w,i,xi) - -жх AiH(cj, t, x{) + --v ' ' At

2 2 2 дш

ш+At

+ \XlAt [ В(ш + At - ds + o(At). (2.10)

2 J ds

о

О учетом Ж1 = жо+Аж рассмотрим в (2.10) функции И(ш, t + А^ ж), И(ш, ж + Дж) аргументов ш, t, ж, ж = жо. Применив в (2.10) к функции И(ш, t + Аt, ж) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано по переменной ^

И(ш, t + Аt, ж) = И(ш, t, ж) + И£(ш, t, ж)Аt + o(Аt),

к функции И(ш, ^ ж + Аж) по переменной ж:

И(ш, t, ж + Аж) = И(ш, t, ж) + ИХ(ш, t, ж)Аж + о(Аж),

приведя подобные И(ш, t, жо) слева и справа, разделив полученное уравнение на Аж, выполнив предельный переход при Дt ^ 0, Аж ^ 0, с учетом условий (2.5) и (2.9), получим из (2.10) краевое уравнение (2.3).

Для получения уравнения в граничной точке жт = в воспользуемся, как показано выше, формулой полной вероятности, из которой аналогично (2.7) следует:

Н(ш, t + Д£, хт) = —Н(ш, t, хт) — —хтАЬ, хт)

ш+At

1 dH(w,i, жт) . 1 Л ¡' . „ , dH(s,t, жт) , + --V ' ' At + -xmAt / ßcü + Ai-s -v ' da

2 дш 2 J ds

о

1 , , 1 , , 1 dH(w,t,xm-1) + -H(cj, t, xm-i) - —xm_i ДШ(ш, t, xm—i) + --—-At

ш+At

+ \xrn_1At J B^ + At-s) 9H(a') + o(At). (2.11)

о

C учетом xm-1 = xm — Ax рассмотрим в (2.11) функции H(w,i + Ai, x), H(w, i, x — Ax) аргументов w, i, x, x = xm. Применив в (2.11) к функции H(w, i + Ai, x) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано по переменной i, к функции H(w, i, x — Ax) по переменной x:

H(w, i, x — Ax) = H(w, i, x) — HX(w, i, x)Ax + o(Ax),

приведя подобные H(w,i,xm) слева и справа, разделив полученное уравнение на Ax, выполнив предельный переход при Ai ^ 0, Ax ^ 0, с учетом условий (2.5) и (2.9) получим из (2.11) краевое уравнение (2.4).

Вывод краевого условия (2.2) и начального условия показан выше. Теорема 1 доказана.

Заметим, что уравнение (2.1) отличается от нестационарного интегродиф-ференциального уравнения Такача (1.1) наличием слагаемого с дифференциальным оператором (b/2)HXx(w, i, x), w > 0, x g (a,ß). Поэтому уравнение (2.1) назовем нестационарным уравнением типа Такача.

Теорема 2. Если в СМО существует стационарный режим, то стационарное распределение h(w, x) незавершенной работы U(i) удовлетворяет

(1) интегродифференциальному уравнению

ш

-хЦш,х) + X Г В(ш - ds + + = о, (2.12)

J ds dw 2 d2x

о

w > 0, x g (a,ß),

(2) одностороннему краевому условию по w:

h(0+,x)= qo(x), (2.13)

(3) краевым условиям

hX(w,a) = 0, (2.14)

hX(w,ß) = 0. (2.15)

Доказательство. При начальных условиях Pk(0) = k > 0, СМО сразу находится в стационарном режиме в любой момент времени i > 0. Формулы (2.12), (2.14), (2.15) следуют из формул (2.1), (2.3), (2.4), так как в стационарном режиме H£(w,i,x) = 0, а нестационарное распределение H(w,i,x) заменяется стационарным распределением h(w, x).

При произвольном начальном распределении второй способ получения

уравнения (2.12) заключается в предельном переходе в уравнении (2.1) при

i ^ то. В этом случае h(w,x) = lim H(w,i,x), lim H£(w,i,x) = 0. Указанные

t—t—

пределы существуют, так как согласно условию теоремы в СМО существует стационарный режим. Вывод краевого условия (2.13) показан выше. Теорема 2 доказана.

Заметим, что уравнение (2.12) отличается от стационарного интегродиф-ференциального уравнения Такача (1.2) наличием слагаемого с дифференциальным оператором (b/2)hX'x(w, x), w > 0, x g (a, ß). Поэтому уравнение (2.12) назовем стационарным уравнением типа Такача.

3. Заключение

В работе рассматривается СМО с бесконечным накопителем и одним обслуживающим прибором с произвольным распределением времени обслуживания. На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок, интенсивность которого представляет собой диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса, ненулевым коэффициентом диффузии и упругими границами. Для рассматриваемой СМО получены нестационарное и стационарное уравнения типа Такача для характеристик незавершенной работы в СМО с применением динамики Колмогорова и с использованием аппроксимации диффузионного процесса полумарковским процессом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клейнрок Л. Коммуникационные сети. Стохастические потоки и задержки сообщений. М.: Наука, 1970.

2. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.

3. Головко Н. И., Каретник В. О., Танин В. Е., Сафонюк И. И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 11, № 2. С. 50-64.

4. Biswas S. K., Sunaga T. Diffusion approximation method for multi-server queueing system with balking // J. Oper. Res. 1980. V. 23, N 4. P. 368-385.

5. Dai J. G., He S., Tezcan T. Many-server diffusion limits for G/Ph/n+GI queues // Ann. Appl. Probab. 2010. V. 20, N 5. P. 1854-1890.

6. Cromoll H. C. Diffusion approximation for a processor sharing queue in heavy traffic // Ann. Appl. Probab. 2004. V. 14, N 2. P. 555-611.

7. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969.

8. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.

9. Прокопьева Д. Б., }Кук Т. А., Головко Н. И. Вывод уравнений для систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока и нулевым коэффициентом сноса // Изв. КГТУ. 2017. № 46. С. 184-193.

10. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 13 октября 2018 г. После доработки 10 декабря 2018 г. Принята к печати 1 марта 2019 г.

Фролова Евгения Сергеевна

Морской государственный университет им. Г.И. Невельского, ул. Верхнепортовая, 50а, Владивосток 690059 [email protected]

Жук Татьяна Алексеевна, Головко Николай Иванович Дальневосточный федеральный университет, ул. Суханова 8, Владивосток 690091 Tatyana_zhukdv@mail. ru, golovko . ni'ädvf u. ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

UDC 519.872+519.21+517.958+004.7

UNFINISHED WORK IN QUEUEING SYSTEM WITH THE INPUT STREAM DIFFUSION INTENSITY WITH ZERO RATIO OF DRIFT E. S. Frolova, T. A. Zhuk, and N. I. Golovko

Abstract: An analytical model of information networks and their separate elements is the queueing system (QS). In this work, we construct a mathematical model of a QS as a system of equations for nonstationary and stationary characteristics of unfinished work in the QS. The QS is considered with one servicing device, exponential service, and infinite storage capacity. On the input, a doubly stochastic Poisson stream of requests with the diffusion intensity A(i) € [a,/3] with springy boundaries is received. The diffusion process A(i) has a zero ratio of drift a = 0 and diffusion coefficient b > 0. The service time n has arbitrary distribution with the distribution function B(x).

The goal of this work is derivation of equations concerning the joint distributions of unfinished work and the intensity of the input flow in non-stationary and stationary modes.

The Kolmogorov dynamics is applied for obtaining equations on the characteristics of requests of unfinished work. Theorem 1 provides the equations in the case of non-stationary distribution of an unfinished work in QS with the transient regime. The initial and boundary conditions and equations for interior and boundary points are obtained. The equations are derived with the use of the semi-Markov process approximating the diffusion process. We show that the diffusion process with the zero coefficient of drift a = 0 and diffusion coefficient b > 0 is received from semi-Markov process as a result of limit transition. Theorem 2 gives the equations in the case of stationary distribution of an unfinished work in QS for a stationary mode. Boundary conditions are obtained.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.101.27245

Keywords: queueing system, equations for characteristics of unfinished work, diffusion intensity, non-stationary and stationary regimes.

REFERENCES

1. Kleinrock L., Communication Nets; Stochastic Message Flow and Delay, McGraw-Hill Book Co., New York (1964).

2. Kleinrock L., Queueing Systems, Vol. II: Computer Applications, Wiley-Intersci., New York (1976).

3. Golovko N. I., Karetnik V. O., Tanin V. E., and Safonyuk I. I., "Research of queueing systems models in information networks [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 11, No. 2, 50—64 (2008).

4. Biswas S. K. and Sunaga T., "Diffusion approximation method for multi-server queueing system with balking," J. Oper. Res., 23, No. 4, 368-385 (1980).

5. Dai J. G., He S., and Tezcan T., "Many-server diffusion limits for G/Ph/n+GI queues," Ann. Appl. Probab., 20, No. 5, 1854-1890 (2010).

6. Cromoll H. C., "Diffusion approximation for a processor sharing queue in heavy traffic," Ann. Appl. Probab., 14, No. 2, 555-611 (2004).

© 2019 E. S. Frolova, T. A. Zhuk, N. I. Golovko

7. Bharucha-Reid A. T., Elements of the Theory of Markov Processes and Their Applications, Soc. Ind. Appl. Math. (1963).

8. Kleinrock L., Queueing Systems, Vol. I: Theory, Wiley-Intersci., New York (1975).

9. Prokopieva D., Zhuk T., and Golovko N., "Derivation of equations for queueing systems with the diffusion intensity of the input stream and zero ratio of drift [in Russian]," Izv. KGTU, No. 46, 184-193 (2017).

10. Gnedenko B. V. and Kovalenko I. N., Introduction to Probability Theory [in Russian], Nauka, Moscow (1966).

Submitted October 13, 2018 Revised December 10, 2018 Accepted March 1, 2019

Evgeniya S. Frolova

Maritime State University named after Admiral G. I. Nevelskoy, 50a Verkhneportovaya Street, Vladivostok 690059, Russia [email protected]

Tatyana A. Zhuk and Nikolay I. Golovko Far Eastern Federal University, 8 Sukhanov Street, Vladivostok 690950, Russia [email protected], [email protected]