Вывод уравнений для систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока и нулевым коэффициентом сноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.7:519.872:519.23

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИФФУЗИОННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО ПОТОКА И НУЛЕВЫМ

КОЭФФИЦИЕНТОМ СНОСА

Д. Б. Прокопьева, Т. А. Жук, Н. И. Головко

DERIVATION OF EQUATIONS FOR QUEUING SYSTEMS WITH INPUT STREAM DIFFUSION INTENSITY AND ZERO DRIFT COEFFICIENT

D. B. Prokopieva, T. A. Zhuk, N. I. Golovko

Аналитическими моделями информационных сетей и их отдельных элементов являются системы массового обслуживания (СМО). В данной работе строится математическая модель этой системы в виде системы уравнений относительно нестационарных и стационарных характеристик числа заявок в СМО. Рассматривается СМО с одним обслуживающим прибором, экспоненциальным обслуживанием, конечной или бесконечной емкостью накопителя. На вход поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок с диффузионной интенсивностью с упругими границами. Интервалы времени между соседними появлениями заявок имеют показательное распределение со случайным параметром, являющимся диффузионным процессом с коэффициентом сноса, равным нулю, и коэффициентом диффузии Ь. Время обслуживания заявок имеет показательное распределение с параметром / . Диффузионный процесс ) и параметр / являются интенсивностями входного потока и обслуживания соответственно. Для вывода уравнений относительно плотности диффузионного процесса и характеристик СМО применяется динамика Колмогорова. В первой части статьи в теореме 1 показан вывод уравнений для плотности интенсивности входного потока в нестационарном режиме. Получены начальные и краевые условия. Вывод этих уравнений осуществлен через уравнения для полумарковской цепи, аппроксимирующей диффузионный процесс. В результате предельного перехода полумарковская цепь переходит в диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса и коэффициентом диффузии Ь. В теореме 2 приведены уравнения для плотности интенсивности входного потока в стационарном режиме. Во второй части работы представлены уравнения для характеристик числа заявок СМО с конечным и бесконечным накопителями. Рассмотрены начальные и краевые условия. Уравнения для нестационарных характеристик числа заявок выведены в третьей теореме. Построены уравнения для внутренних и граничных точек. Уравнения для характеристик числа заявок в стационарном режиме представлены в четвертой теореме.

система массового обслуживания, уравнения относительно характеристик СМО, диффузионная интенсивность, нестационарный и стационарный режим

Analytical models of information networks and their separate elements are the queuing system (QS). In this work a mathematical model of the queuing system (QS) is being developed as a set of equations regarding non-stationary and stationary characteristics of applications number. The QS with one serving device, exponential service, as well as the final or infinite store is under consideration. Twice stochastic Poisson flow of applications with diffusive intensity with elastic borders arrives at the input. Time intervals between the next emergence of applications have indicative distribution with the casual parameter being diffusive process with the drift coefficient equal to zero and coefficient of diffusion b. Time of handling applications has indicative distribution with / parameter. Diffusive process A(t) and parameter / are intensity of the input stream and service respectively. Kolmogorov's dynamics is applied to derivation of equations concerning characteristics of the QS. In the first part of article, derivation of the equations for density of the input stream intensity in the non-stationary mode is shown in theorem 1. Entry and boundary conditions are received. Derivation of equations is carried out through the equations for the semi-Markov chain approximating diffusive process. As a result of limit transition, the semi-Markov chain turns into a diffusive process with zero coefficient of demolition and coefficient of diffusion b. In theorem 2 the equations for density of the input stream intensity are given in the stationary mode. In the second part of work, the equations for characteristics of QS applications with the final and infinite store are presented. Entry and boundary conditions are considered. The equations for non-stationary characteristics of applications number are developed in the third theorem. The equations for internal points and for boundary points are constructed. The equations for characteristics of applications number in the stationary mode are presented in the fourth theorem.

queuing systems, equations for QS characteristics, diffusive intensity, non-stationary and stationary mode

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование информационных сетей - актуальная техническая и научная проблема. Аналитическими моделями сети в целом и отдельных ее элементов являются, соответственно, сети и системы массового обслуживания. Вопросы моделирования СМО в информационных сетях исследуются в теории массового обслуживания [1 - 3].

В работах [4, 5] показано, что в силу специфики потока сообщений на узлах локальных и глобальных компьютерных сетей моделями web-узлов в сети Интернет служат системы массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока, моделями библиотечных серверов являются СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока.

В данной работе строится математическая модель СМО с диффузионной интенсивностью входного потока относительно нестационарных и стационарных характеристик числа заявок.

Рассмотрим СМО с одним обслуживающим прибором, экспоненциальным обслуживанием с параметром /, емкостью накопителя N0 < да. На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок, интенсивность

которого X(t) представляет собой диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса a = 0 и коэффициентом диффузии b . Случайный процесс X(t) принимает значения на интервале [а, р\ с упругими границами [6].

Введем обозначения. Пусть Q (t, х) = P{v(t) = к, х <X(t) < х + dx)/dx, где v(t) - число заявок в СМО в момент t; q^ (х) = P{v = к, х < X < х + dx)/ dx, где v -число заявок в СМО и X - интенсивность входного потока в стационарном режиме, Q (t, х), qk (х) - характеристики числа заявок, к > 0; f (t, х) = P{ х < X(t) < х + dx)/ dx - нестационарная плотность интенсивности входного потока X(t); f (х) = P{ х <X< х + dx)/ dx - стационарная плотность X, х е [а, р\.

Цель данной работы - вывод уравнений относительно характеристик числа заявок Q (t, х), (х) с применением динамики Колмогорова [7].

1. Уравнения для плотности диффузионного процесса

Используя динамику Колмогорова, получим уравнения для плотности f (t, х) диффузионного процесса X(t). Справедлива теорема 1.

Теорема 1. Нестационарная плотность f (t, х) диффузионного процесса X(t) с нулевым коэффициентом сноса a и коэффициентом диффузии b удовлетворяет уравнению

f (t, х) _ b д 2f (t, х) dt 2 дх2

с начальным условием f (0, х) = f0 (х) и краевыми условиями f '(t,a) = 0,

f '(t,A) = 0.

Доказательство. Рассмотрим полумарковскую цепь XnM(t), аппроксимирующую диффузионный процесс. Определим следующую однородную полумарковскую цепь XM (t), непрерывную справа в точках разрыва.

Дискретное пространство состояний XnM (t) представляет собой равномерную сетку: сот = { хг : а = х0 < хх <... < хот = р, -хг = Ах, 0 < i < m-1 ). Изменения процесса XHm(t) происходят через интервалы времени At в моменты ^,t2.... Обозначим через Xn = XnM (tn + 0), n > 0, вложенную марковскую цепь с дискретным временем.

Вероятности переходов pi} = P{Xn+1 = х}\ Xn = xi ) определим следующим образом: ptj = 1/2, j = i -1, j = i +1; рг> = 0, j Фi -1, j Фi +1. Введем вероятности состояния марковской цепи Xn в n -й момент времени в состоянии

xk : P(n, к) = P{Xn = xk ).

Уравнения, связывающие p(n, к), для внутренних точек , 1 < k < m -1, получаем по формуле полной вероятности:

m 11

p(n + ^ к) = ^ p(n, j) • Pk =- p(n, к -1) + - p(n, к +1), 1 < к < m -1.

j=0 2 2

Далее строим разностную схему:

p(n +1, k) - p(n, k) _ 1 А2x p(n, k -1) - 2p(n, k) + p(n, k +1)

Ai 2 Ai А2 x '

Обозначим x = k - Ax , t = n - At, тогда от функции целочисленных аргументов p(n, k) можно перейти к рассмотрению некоторой функции f (t, x)

t x

непрерывных аргументов t, x: p(n, k) = p(—, —) = f (t, x) , причем

At Ax

p(n +1,k) = f(t + A t, x), p(n, k ± 1) = f(t, x ±Ax). Учитывая введенные обозначения, имеем:

f(t + At,x)-f(t,x) _ 1 A2x f(t,x-Ax)-2f(t,x) + f(t,x + Ax)

At " 2 At A2 x ' )

Осуществляя в (2) предельный переход при Ax ^ 0, At ^ 0, получим дифференциальное уравнение c частными производными (1) во внутренних точках x е(а, ß). Очевидно, что данный предельный переход возможен только при условии

lim A2x / At = const = Ъ. (3)

At^0

Будем считать, что (3) выполняется в силу условия A2x / At = Ъ . Уравнение (1) представляет собой уравнение диффузии относительно плотности f (t, x) (уравнение Фоккера-Планка или прямое уравнение Колмогорова) диффузионного процесса Ä(t). В результате предельного перехода полумарковская цепь Хпм (t) переходит в диффузионный процесс Ä(t) с нулевым коэффициентом сноса и коэффициентом диффузии Ъ . Действительно, для коэффициента сноса a имеем [3, 6]:

a = lim — f ( y - x)F(t, x; t + At, y)dy = lim — | - Ax1 + Ax1 | = 0,

At^o At J, 7 v ' At^o At l 2 2 J

y-x| <£ 4 '

для коэффициента диффузии Ъ [3, 6]:

Ъ = lim— f( y - x)2 F (t, x; t + At, y)dy = lim— | A2 x1+ A2 x1 |= lim A-x.

At^o At V ; ' At^o At l 2 2 J At^o At

Рассмотрим теперь уравнение для p(n, k) в граничной точке x0. По формуле полной вероятности

p(n + 1,o) = 1 p(n,o) +1 p(n,1). (4)

Перейдем в (4) к функциям непрерывных аргументов: f (t + At,a) = 1 f (t,a) +1 f (t,a + Ax) . Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки (t, а) и приводя подобные, получим

^Ol At + o(At) = 1 Wal Ax + o(Ax). (5)

dt v ' 2 ax v '

Разделим обе части равенства (5) на Ах. Выполняя предельный переход в

А2х д/(г а) уравнении (5) при Ах ^ 0, учитывая, что А/ =-, имеем: --— = 0 .

Ь дх

Применяя аналогичные рассуждения к уравнению (5) в точке (г, Р), получим: д/(г, Р) / дх = 0. Теорема доказана.

Следующая теорема вытекает из того, что в стационарном режиме

д/ (г, х)/ дг = 0.

Теорема 2. Стационарная плотность /(х) диффузионного процесса Л(г) с нулевым коэффициентом сноса а и коэффициентом диффузии Ь удовлетворяет уравнению /"(х) = 0 с краевыми условиями / '(а) = 0, /"(р) = 0 .

2. Уравнения для характеристик числа заявок СМО типа M/M/1/No Обозначим через N = N +1 - максимальное число заявок в СМО, через

Уп - число заявок в СМО в момент времени ги.

Теорема 3. Нестационарные характеристики числа заявок Ql (г, х) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

1 = 0: = + а«,х) Д^ШИ, (6)

дг 2 дх

0 < I < N: ^^ = х®,_1 (г, х) - (х + (г, х) + &+1 (г, х) + Ь , (7)

дг 2 дх

, = N : ЩЛ = х^х)-ШЬх) + Ь^2^ (8)

с краевыми условиями:

дШ,(г,а)_0 дШ,(г,Р) =0

дх дх

с начальным условием: & (0, х) = щ (х), причем выполняется условие нормировки:

N

Ё & (г, х) = /(г, х). (10)

I=0

Доказательство. Определим вероятности состояний:

р(1,п,к) = Р{уп= I,\ = хк }. Получим уравнения, связывающие р(1,п,к), во

внутренних и граничных точках интервала изменения процесса Хп. Для

внутренних точек х^ е (а, р) при 0 < I < N по формуле полной вероятности имеем:

р(1п +1,к) = ЁЁР{уп+1 = ЬК+1 = хк| У„ = = хJ }- Р^Л,к) . (11) Обозначим через Рк (г, 1) = р{^п+1 = КК+1 = хк| = 1,к = х1 } "г (Аг) -

к | ' п ' ? ' 'п

вероятность поступления г заявок на интервале длиной Аг, через шг (Аг) -вероятность обслуживания г заявок за промежуток времени Аг. Заметим, что ог (Аг), шг (Аг) принимают следующие значения:

и0 (А?) = 1 - х] А? + о(Аг), ш0 (А?) = 1 -/А/ + о(А?), о1 (А?) = х} А? + о(М),

шх (А?) = /А? + о(Аг) иг (Аг) = о(А1;),г > 2, (Аг) = о(А?), г > 2. (12)

Переходные вероятности получим по формуле полной вероятности согласно (12): р^(/,/) = 0 при условии . - к| > 1; при условии - к| < 1 имеем:

р]к (/-1,1) =1 ^+1(А? К (А?) =1 я,. А? + о(А1),

2 г>0 2

рк (/, I) =1Е (А?к (А?) =1 -1(х, + / А + о(А1),

2 г>0 22

р к (/ +1,1) =1 Е^г (А? К+1 (А?) =1 /А? + о(А1),

2 г>о 2

р.к (/, I) = о(А?), |/ -1 > 1, |] - к < 1; р.к (¿, I) = о(А1) , |] - к > 1,

р.к (0,0) = 1 - X.. А? + о(А?), - к < 1, р.к N N = 1 -/А? + о(А1)^7 - к| < 1.

Таким образом, из (11) получим:

р(1, п +1, к) =1 А?(р(/ -1, и, к -1)х^ + р(/ -1, п, к +1)х^+1) +

,п + 1,к) = — А?( р(/ -1, п, к - 1)х,, , + р(1 -1, п, +1 (р(/, п, к -1)(1 - (х^ + /)А?) + р(/, п, к +1)(1 - (Хк+1 + /)А?)) +

+1 /А?(р(/ +1, п, к -1) + р(/ +1, п, к + 1)). (13)

Сгруппируем слагаемые в (13) и разделим обе части равенства на А?: р(/, п +1, к) - р(/, п, к) 1 А2х р(/, п, к +1) - 2р(/, п, к) + р(/, п, к -1)

А? 2 А? А2 х

-1 (р(/, п, к -1)(х* - Ах + /) + р(/, п, к +1)(х* + Ах + /))+1 /(р(/ +1, п, к +1) +

+ р(/ +1, п, к-1)) +1 (р(/-1, п, к-1)(х - Ах) + р(/-1, п, к + 1)(х + Ах)). (14)

Перейдем в данном уравнении от функций дискретных аргументов к

? х

функциям непрерывных аргументов: р(/,п,к) = р(/, —,—) = ^(?,х) . При

А? Ах

Ах ^ 0, А? ^ 0, при условии, что А? = А2х / Ь , получим из (14) уравнение (7) для внутренних точек х е (а, 0). Аналогичным образом выводятся уравнения (6), (8) для / = 0, / = N.

Для получения уравнений в граничной точке х0 = а также используем формулу полной вероятности. В случае 0 < I < N получим:

р(/, п +1,0) = 1 А?(р(/ -1, п,0)а + р(/ -1, п,1)(а + Ах)) +1 (р(/, п,0)(1 - (а + /)А?) +

+ р(/, п,1)(1 - (а + Ах + /л)А?)) +1 /А?(р(/ +1, п,0) + р(/ +1, п,1)).

Перейдем в последнем уравнении к функциям непрерывных аргументов:

а, (/ + At, а) = 1 At(^ а)а + Q¡(^ а + Ах)(а + Ах})+1 а (^ а)(1 - (а + ц)At) +

+ а (^ а + Ах)(1 - (а + Ах + ц) At)) +1 (<а+1 (^ а) + а/+1 (t, а + Ах)).

Применим к слагаемым в последнем уравнении формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точи а) :

а (Г, а) + (^а) At + о(А) =1 а) +1 (а + Ах^а^ (Г, а) +

дt 2 2

+1 (а + Ах)АА ^-l(t,а) +1 (1 - (а + ц)Аа (t, а) +1 (1 - (а + Ах + ц)Аа (t, а) + 2 дх 2 2

+1 (1 - (а + Ах + ц^)Ах дQ¡(t,а) +1 цAtQг+1 (t, а) +1 цAtQг+1 (t, а) + 2 дх 2 2

1 Л Л дQ¡+1(t,а)

+ - • цAtAх +1 у 7 + o(At).

2 дх

В полученном уравнении приведем подобные, разделим обе части

да (t ,а) Л

равенства на Ах и возьмем предел при Ах ^ 0, в итоге получим -= 0.

дх

Аналогично выводятся уравнения для I = 0, I = N и второй граничной точки хя = Р да(^Р)!дх = 0, т.е. (9). Условие нормировки (10) следует из формулы полной вероятности:

N N

/(^ х) = Р{ х < Л(г) < х + dх)l дх = ^ P{v(t) = к, х < Л(г) < х + дх}/ дх а (t, х) .

N N

, х) = Р{ х < Л(г) < х + дх}/ дх = ^ ) = к, х < Л^) < х +

¡=0 ¡=0

Теорема доказана.

Следующая теорема вытекает из того, что в стационарном режиме

д

д а & х)=0. дt

Теорема 4. Стационарные характеристики числа заявок 4 (х) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений: Ь " Ь "

-40 (х)-х^0(х) + ц?1(х) = 0, -ЧN (х) + х4^1(х)-цqN(х) = 0, Ь "

-41 (х) + х41-1(х) - (х + Ц)41(х) + Ц41+1(х) = 0, 0 <1 < N

г г

с граничными условиями: 4 (а) = 0, 4 (Р) = 0.

N

Причем выполняется условие нормировки: ^ 4 (х) = /(х) .

I=0

Таким образом, с использованием динамики Колмогорова построены краевые задачи для нестационарной и стационарной плотности диффузионного процесса, нестационарных и стационарных характеристик числа заявок в дважды стохастическом СМО с диффузионной интенсивностью входного потока, экспоненциальным обслуживанием, одним обслуживающим прибором и конечным накопителем.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Коузи, Д. Компьютерные сети. Книга 2: Networking Essentials / Д. Коузи, Р. Пит, М. Спортак. - Киев: Диасофт, 1999. - 452 с.

2. Левин, М. Компьютерные сети. Устройство, подключение и использование / М. Левин. - Москва: Оверлей, 2000. - 416 с.

3. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. - Москва: Наука, 1966. - 432 с.

4. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях / Н. И. Головко [и др.] // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2008. - Т. XI, № 2(34). - С. 50-64.

5. Головко, Н. И. Применение моделей СМО в информационных сетях: моногр. / Н. И. Головко, В. В. Катрахов. - Владивосток: Изд-во ТГЭУ, 2008. -272 с.

6. Баруча-Рид, А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения / А. Т. Баруча-Рид. - Москва: Наука, 1969. - 512 с.

7. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок: пер. с англ. И. И. Грушко; ред. В. И. Нейман. - Москва: Машиностроение, 1979. - 432 с.

REFERENCES

1. Kouzi D., Pit R., Sportak M. Komp'yuternyye seti. Kniga 2: Networking Essentials [Computer networks. Book 2: Networking Essentials]. Kiyev, Diasoft, 1999, 452 p.

2. Levin M. Komp'yuternyye seti. Ustroystvo, podklyucheniye i ispol'zovaniye [Computer networks. Device, connection and use]. Moscow, Overley, 2000, 416 p.

3. Gnedenko B. V., Kovalenko I. N. Vvedeniye v teoriyu massovogo obsluzhivaniya [Introduction to the theory of mass service]. Moscow, Nauka, 1966, 432 p.

4. Golovko N. I., Karetnik V. O., Tanin V. E., Safonyuk I. I. Issledovaniye modeley sistem massovogo obsluzhivaniya v informatsionnykh setyakh [Research of models of systems of mass service in information networks]. Sibirskij zhurnal industrialnoj matematiki, 2008. vol. 11, no. 2(34), pp. 50-64.

5. Golovko N. I., Katrakhov V. V. Primeneniye modeley SMO v informatsionnykh setyakh [Application of QS models in information networks]. Vladivostok, izdatelstvo TGEU, 2008, 272 p.

6. Barucha-Rid A. T. Elementy teorii markovskikh protsessov i ikh prilozheniya [Elements of the theory of Markov processes and their application]. Moscow, Nauka, 1969, 512 p.

7. Kleinrock L. Queueing sistems. New York, Wiley, 1975. 432 p. (Russ. Ed.: Kleinrock L. Teoriya massovogo obsluzhivaniya). Moscow, Mashinostroyeniye, 1979, 432 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Прокопьева Дина Борисовна - Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет; старший преподаватель кафедры «Высшая математика»; E-mail: [email protected]

Prokopieva Dina Borisovna - Far Eastern State Technical Fishery University; senior teacher of the Department of higher mathematics; E-mail: [email protected]

Жук Татьяна Алексеевна - Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет; кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры «Высшая математика»; E-mail: [email protected]

Zhuk Tatyana Alekseevna - Far Eastern State Technical Fishery University; associate professor of the Department of higher mathematics; E-mail: [email protected]

Головко Николай Иванович - Дальневосточный федеральный университет; доктор технических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и анализа; E-mail: [email protected]

Golovko Nikolay Ivanovich - Far Eastern Federal University; doctor of technical sciences, professor of the department of algebra, geometry and analysis; E-mail: [email protected]