Интервальный метод анализа очередей в системах массового обслуживания с пачечными потоками заявок Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНТЕРВАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ОЧЕРЕДЕЙ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПАЧЕЧНЫМИ ПОТОКАМИ ЗАЯВОК

Статья посвящена новому методу анализа очередей в системах массового обслуживания ( СМО), с потоками заявок общего вида, названному "интервальным". Рассматриваются пачечные потоки пакетов, характерные для современных мульти-сервисных сетей связи. Предлагается, в качестве анализируемой случайной величины использовать числа заявок, поступающих в течение интервалов обслуживания каждой заявки. Введено понятие дифференциальной интенсивности потока заявок и показано, что среднее число заявок на интервале обслуживания не зависит от закона распределения потока. Рассмотрен алгоритм последовательного определения средней длины очереди, с потоками заявок общего вида, и на его основе получено уравнение баланса для мгновенных значени очередей. На основании уравнения баланса, получено соотношение, обобщающее известную формулу Хинчина-Поллячека. Формула пригодна для определения средних значений очередей систем массового обслуживания, с произвольными потоками заявок. Показано, что знаменатель обобщенной формулы не зависит от вида анализируемого потока и определяется только значениями коэффициента загрузки системы. Рассмотрены частные примеры, подтверждающие справедливость полученной обобщенной формулы. Показано, что для пачечных потоков пакетов мультисервисных сетей определяющее влияние на размеры очередей оказывают корреляционные свойства потоков. Статья содержит раздел, анализирующий поведение пуассоновских потоков в мно-гоканальных( СМО), раздел, в котором рассматриваются пачечные потоки, а также раздел, рассматривающий аппроксимацию характеристик пачечных потоков в многоканальных системах. Отмечается , что средний размер очереди в многоканальных системах с пуассоновскими потоками зависит от характеристической функции и существенно уменьшается с увеличением числа каналов, из-за наличия статистического мультиплексирования. Рассматривается уравнение баланса для многоканальных (СМО). Показано, что в многоканальных ( СМО) с пачечными потоками, уменьшения размера очередей не происходит, и средний размер очереди практически не зависит от числа каналов. Предложена обобщенная формула Хинчина-Поллячека для многоканальных систем с потоками заявок общего вида. Предложена формула для аппроксимации характеристической функции степенной зависимостью и приведены примеры такой аппроксимации. Показано, что указанная степенная зависимость аппроксимирует характеристики многоканальных систем в широком диапазоне изменения числа каналов.

Лихтциндер Борис Яковлевич,

д.т.н., профессор Кафедры мультисервисных сетей и информационной безопасности (МСИБ) Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики (ПГУТИ), Самара, Россия, lixt@psuti.ru

Ключевые слова: системы массового обслуживания, пачечные потоки, размеры очередей, мультисервисные сети, коэффициент загрузки, корреляция, многоканальные системы массового обслуживания, мультиплексирование, аппроксимация.

Для цитирования:

Лихтциндер Б.Я. Интервальный метод анализа очередей в системах массового обслуживания с пачечными потоками заявок // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №3. С. 17-23.

For citation:

Likhttsinder B.Ya. (2017). Interval method of queuing analysis in queuing systems with batch demand flows. T-Comm, vol. 11, no.3, рр. 17-23. (in Russian)

T-Comm Vol. 1 1. #3-201 7

Введение

При анализе систем массового обслуживания наиболее часто применяются две вероятностные характеристики распределения. Это распределение интервалов и между соседними заявками и распределение интервалов времени обработки заявок г.

На основе указанных распределений легко определяются параметры

г

р = = И V

2 О,

VI = —

(г)2

(О

входящие в формулу Хиычина-Поллячека:

1ич 2-4

- /Г (1 + 1-7)

а--— ,

2(1 ~р)

где ц - средняя длина очереди; г - средне время обслуживания заявки; и - средний интервал между соседними заявками; О, — дисперсия времени обработки заявок.

Существенным ограничением формулы (1} является ее применимость исключительно к простейшим потокам, для которых интервалы между заявками распределены экспоненциально.

Имеется много попыток модернизации формулы (1) с целью ее применения для не экспоненциальных потоков заявок [1], 16-8]. Однако, все полученные результаты применимы лишь для слабо изменяющихся входных потоков, для которых коэффициент вариации интервалов между заявками не превышает единицу. Современные мультисервисные телекоммуникационные сети имеют входные потоки пакетов, для которых коэффициент вариации в несколько раз превышает единицу. К таким потокам применение аналитических соотношений, указанных в [I], становится невозможным. Это обусловлено тем, что в качестве основного параметра, характеризующего дину очереди, в аналитических соотношениях используется коэффициент р загрузки по времени. Он отображает среднюю долю времени, приходящуюся на обработку одной заявки.

Вместе с тем, Л. Клсйнроком [2] показано, что длина очереди одноприборной СМО, в общем случае, определяется случайной величиной т - числом поступивших заявок, приходящихся на одну обработанную заявку.

Обозначим через ш- математическое ожидание, а через ш2 - второй начальный момент указанной случайной величины.

Определение коэффициента загрузки

Что же такое коэффициент загрузки, и какова методика его определения?

Анализ будем проводить для стационарных, ординарных, потоков событий (заявок) во времени.

Выбираем на оси времени произвольный момент, обозначаемый / , поскольку поток стационарный, выбор начального момента времени не имеет значения. Рассмотрим интервал времени Т (начиная с момента / =0), па котором

сохраняется стационарность потока и происходит достаточно большое число К событий. Параметр средней интенсивности X на указанном интервале времени Г определяется

Л -— [соб ! с) Т

(2)

Разделим весь интервал Т на достаточно большое число равных промежутков времени Аг таких, па которых могло бы произойти не более одного события. Условие ординарности потока событий всегда позволяет выбрать такой малый промежуток времени Д/.

Число таких промежутков на интервале Т обозначим через

М - — . (3)

АГ

На каждом из промежутков Д/ может возникнуть событие (с вероятностью р =—) или отсутствовать событие

М

(с вероятностью (1 - Р)).

Обозначим через Дм, число событий на промежутке времени Д/(., 1 = |,М

— с вероятностью Р [О - с вероятностью I - Р

Введем в рассмотрение понятие дифференциальной интенсивности событий па промежутке времени А!

Аг»,

Am, =

X. = ■ "- , Anr = X. ■ Af A t

Я,=

1

— - при M

(4)

О - при отсутствии события Рассмотрим па оси времени некоторое временное «окно» длительностью г и включающее в себя г промежутков А/ г

г = ■

Д1

(5)

Число событий (заявок) наступивших за интервал времени г, начинающийся на промежутке Д/(, обозначим через

т<(г)

ГП;

Среднее число заявок m, (г) , поступивших на интервалах г, по всем промежуткам Дг., i = I, М, обозначим через т<г) :

M

(6)

г-]

После подстановки, получим

где Ку - суммарное число событий, возникающих па достаточно большом интервале времени Т, сдвинутом относительно начала отсчета г„ на 5 промежутков времени А(. Поскольку процесс стационарен, значения Кг не зависят от сдвига л и остаются неизменными и равными К. Следовательно,

К й К

т(т) -—У у =--г

Mti M

С учетом (2), (3) и (5), окончательно получим

(7)

т(т) = Я-т. (8)

Среднее число событий, поступающее за постоянныйг интервал времени г, не зависит от вида закона распределения потока событий. Если предположить, что рассма1ри-ваемые события представляют собой заявки, поступающие в некоторую С МО, и любая из заявок обслуживается полностью за одинаковое, постоянное время г, то параметр

т(г) точно совпадает с коэффициентом загрузки р-Л г указанной СМО

Итак, коэффициент загрузки р может быть получен в

результате усреднения случайных чисел т;(х") заявок, попадающих в интервалы времени г , начинающихся па промежутках Д/., i — ],М . Второй начальный момент «г(г) и дисперсия Ц„(г) могут быть получены соответствующим усреднением квадратов укзанных величин.

Взаимные корреляционные моменты

Возникновению заявки на очередном промежутке Д/ сопутствует процесс ее обработки, длящийся в течение интервала времени т . При отсутствии заявки на Д t. ( а mi = 0),

процесс обслуживания не возникает.

Разделим весь рассматриваемый интервал времени Т на N одинаковых интервалов, длительностью Г . Порядковый номер интервалов обозначим через /. Вследствие ординарности потоков заявок, в течение каждого j-ro интервала времени поступает целое число заявок /мДг) (/ = 0,1,2...). Число заявок, поступающих в течение времени г, является дискретной случайной величиной с математическим ожиданием

т(г), вторым начальным моментом т~(г) и дисперсией

В течение каждого /-го интервала времени в СМО находится заявок, ожидающих в очереди. Длина очереди также является дискретной случайной величиной с математическим ожиданием ¿/{г}.

Обозначим через <7,,(г) элемент последовательности случайных чисел, сдвинутый влево относительно (¡¡(т) на / промежутков времени г.

Определим вторые взаимные начальные моменты последовательностей ш,(т) и д, .(г)7 как математические ожидания произведений их соответствующих элементов,

К^^нШМ /,У=0,1,2.1 (9)

Вторые взаимные центральные моменты указанных последовательностей, называемые корреляционными моментами или ковариацией, определяются как математические ожидания произведений центрированных значений их элементов.

¿V/»:(г) = 1(г)" ' lmi (г) -íJ = 0,1,2... (10)

Между указанными моментами существует известное со-

отношение

Алгоритм последовательного определения средней

длины очереди в СМО

Рассмотрим предлагаемый алгоритм на конкретном примере. Предположим, что все заявки, поступающие в одно-приборную СМО, имеют одинаковое время обслуживания г и алгоритм обслуживания FIFO. Поток заявок показан на рис. 1а.

Процесс обработки заявок в такой СМО всегда состоит из последовательности чередующихся периодов занятости обслуживающего прибора (прибор обрабатывает заявки) и периодов простоя, в течение которых заявки в обслуживающем приборе отсутствуют.

Предположим, что перед началом рассмотрения, СМО была свободной, поэтому с приходом первой заявки период простоя завершается и начинается период занятости (заявка начинает обрабатываться обслуживающим прибором), В течение интервала времени г вначале поступают четыре заявки (первая, вторая, третья и четвертая) рис. 16.

Заявка с номером один сразу же поступает в обслуживающий прибор, а остальные три заявки становятся в очередь рис. 1в. В течение следующего интервала времени г в обслуживающем приборе находится заявка с номером два, при этом очередь уменьшается на одну заявку. Аналогичное уменьшение очереди происходит при поступлении в обслуживающий прибор заявки с номером три. В течение следующего интервала т, когда происходит обработка четвертой заявки, в СМО поступают еще две, с номерами пять и шесть, которые становятся в очередь.

Так, последовательно происходит непрерывная обработка всех заявок, включая заявку с номером девять. Если интервал между очередными заявками 9 и 10 окажется достаточно большим, таким, что во время обработки заявки с номером 9 не успеет поступить очередная заявка с номером 10, то непрерывный процесс обработки (период занятости) закончится и наступит период простоя. Период простоя длится до момента появления заявки с номером 10, которая на рисунке не показана.

1 2 3 4 III 5 6 II 1 1 S 9

аемые i 2 3 J 5 6 Т в 5

а - Поступление заявок в систему 0 2 0 1:

Постулнвшж

обслуживаемые ¡ т д

заявки, i Л--'---

1 i - I

б - Поступнвшне заявки в течение интервалов обработан 3 2 12 112 10

Заявки в очереди

обслуживаемые j j

заявки, i •

3

8

8

HL

V/1 (Г)=ЩЧ W + ' "Щ-

(П)

в - Формирование очередей на каждом интервале обработка

Рис. I. Формирование очередеЛ заявок

Поступление любой заявки в систему сопровождается появлением некоторой работы, связанной со временем, необходимым па обслуживание указанной заявки.

T-Comm Vol. 1 1. #3-201 7

7Т>

Уравнение баланса

Для любой одноприборной СМО справедливо рекуррентное соотношение, устанавливающее связь между поступающими и обработанными заявками [3].

qi{T) = qi_x(T) + mi(r)-öi(T). (12)

[ 0, если (г) = mt (г) = О

(13)

[1, в противном случае Обратим внимание на некоторые очевидные особенности

)=Ъ(т% 6,(т)»ь(т) = (14)

Предпоследнее равенство легко получить, найдя математическое ожидание левой и правой частей (12).

Возведем в квадрат левую и правую части (12) и найдем математические ожидания от полученных выражений. С учетом (11 и 8) получим,

— DK(r) + 2fi (г) р

с/(г) =-—--— ■

2(1-/7) 2

(15)

где В.(г) — дисперсия /нДг), а ц (г) второй взаимный

центральный корреляционный момент указанных последовательностей г) и /нДг), называемый ко в ар нацией.

Указанное соотношение обобщает известную формулу Хинчина-Поллячека и справедливо для любых потоков заявок, при постоянном времени обслуживания г [3-5].

Распространение полученной формулы на системы, с различными временами обслуживания, не представляет принципиальных трудностей.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Интервал времени обработки г всегда остается меньше, чем минимальный промежуток времени ¿> между двумя соседними заявками. В этом случае в интервал г не может попасть более одной заявки, а корреляционные связи отсутствуют. Дисперсия £) (г), при этом, определяется соотношением:

»„(*)=р{У-р).

подставляя значение для дисперсии в (15), получим, д(т) = 0, что и следовало ожидать.

2. Рассмотрим пуассоновскИЙ поток заявок. Для такого потока

Е>М = Р-

Коэффициент корреляции для пуассон о веко го потока также равен нулю.

После подстановки в (15), получаем формулу Хинчина -Поллячека в её обычном виде:

Я(т) =

2(1 -р)

3. Рассмотрим поток заявок, имеющий пачечный характер, с максимальной интенсивностью поступления заявок, равной я и средней интенсивностью л . Времена обслуживания заявок постоянны и равны г . Максимальное число

заявок, поступающих в течение интервала времени г обозначим через

/ил|> (г) = Я^ ■ г .

Выберем некоторый, достаточно большой промежуток времени, на котором подряд размещается N интервалов обслуживания. Поскольку поток носит пачечный характер, па К интервалах заявки поступают, а на остальных интервалах отсутствуют. Расположение интервалов независимое. Рассмотрим наихудший случай, когда па каждом из указанных интервалов поступает одинаковое, максимально - возможное число заявок /н^Дг). Очевидно, что должно выполняться условие

= Или К-Л^ =NA

Обозначим отношение

К Л

N Я

, где

Р - вероятность того, что интервал г заполнен заявками. Обратная величина к = — характеризует иачечпость потока.

С учетом сказанного, получим m(r) = m ■ Р — Л ■ т = р

'«2(г)ML Р = Ь DJr) = p2(k-]).

Поскольку расположение пачек независимое, коэффициент корреляции между ними равен нулю. Подставляя значения дисперсия в (15), получим

2(1 -р)

Убеждаемся в том, что повышение иачечности потока приводит к существенному (в несколько раз) увеличению очередей.

И, лишь при значениях Р'к = Лт^-т = 1, приходим к рассмотренному выше первому случаю, когда очередь отсутствует (пачки содержат Fie более одной заявки).

Особенности многоканальной обработки

пуассоновских потоков

Статистическое мультиплексирование трафика широко применяется для повышения эффективности использования канального ресурса мультисервисных телекоммуникационных сетей [<)J. Вся пропускная способность канала разделяется па отдельные единичные каналы, а каждому виду сервиса предоставляется соответствующее число единичных каналов. Однако, поскольку каналы являются виртуальными, то каждый вид трафика может использовать любые из свободных виртуальных каналов, и система может рассматриваться как многоканальная система массового обслуживания (СМО), с одинаковыми каналами. Естественно, что общее время пребывания заявок в очередях, при закреплении за каждым потоком конкретных физических каналов будет больше, чем в случае обслуживания любым из освободившихся каналов. Теория массового обслуживания, дает на этот вопрос исчерпывающий ответ для заявок, образующих

m

У

Т-Сотт Уо1.1 1. #3-201 7

У

COMMUNICATIONS

INTERVAL METHOD OF QUEUING ANALYSIS IN QUEUING SYSTEMS WITH BATCH DEMAND FLOWS

Boris Ya. Likhttsinder, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russian Federation, lixt@psuti.ru

Abstract

Article is devoted to the new method of the analysis of queues in systems of multiservice with flows of requests of a general view called "interval". The kidney flows of packets characteristic of modern multiservice communication networks are considered. It is offered, as the analyzed random variable to use numbers of the requests arriving during intervals of servicing of each request. The concept of differential intensity of a flow of requests is entered and shown that the average of requests on an interval of servicing doesn't depend on the distribution law of a flow. The algorithm of consecutive determination of average length of a queue, with flows of requests of a general view is considered, and on its basis the balance equation for instant values of queues is received. Based on the balance equation, the ratio generalizing the known formula Pollaczek-Khinchin is received any flows of requests. The formula is suitable for determination of average values of queues of systems of mass servicing, with any flows of requests. It is shown that the denominator of the generalized formula doesn't depend on a type of the analyzed flow and is determined only by values of load factor of system. The private examples confirming justice of the received generalized formula are reviewed. It is shown that for kidney flows of packets of multiservice networks the determining impact on the extent of queues is exerted by correlation properties of flows. Article contains the section analyzing behavior of Poisson streams in systems of mass service has undressed in which kidney streams are considered, and also - the section considering approximation of characteristics of kidney streams in multichannel systems. It is noted that the average size of the queue in multichannel systems with Poisson's streams depends on the characteristic function and significantly decreased with increasing the number of channels because of the statistical multiplexing. We consider the balance equation for multichannel queuing systems (QS). It is shown that in the multichannel QS with burst flows, reducing the size of the queues does not occur, and the average queue size is virtually independent of the number of channels. The generalized formula Khinchin-Pollyachek for multichannel systems with flows of general type applications. The formula for the approximation of the characteristic function and the power-law dependence are examples of such approximation. It is shown that this power relationship approximates the characteristics of multichannel systems in a wide range of channels.

Keywords: systems of mass servicing, kidney flows, extent of queues, multiservice networks, load factor, correlation, multiplexing, coefficient of loading, approximation.

References

1. Ventzel E.S. (1980). Operations analysis. Moscow: Nauka, 208 p. (in Russian)

2. Kleinrock L. (1979). Queueing computer systems. Vol.2. Tranlated from English: Moscow: Mir. (in Russian)

3. Likhtsinder B.Y. (2011). Interval method of traffic analysis in multiservice communication systems. A supplement to magazine "Infocommunication technologies", no. 8, pp. 104-152. (in Russian)

4. Likhtsinder B.Y. (2015). Interval method of traffic analysis in multiservice access networks. Samara: PSUTI Publ., 121 p. (in Russian)

5. Likhtsinder B.Y. (2007). About some generalizations of Pollaczek-Khinchin formula. Infokommunikacionniye technologii, vol. 5, no. 4, pp. 253-258. (in Russian)

6. Lakatos L. (2008). A note on the Pollaczek-Khinchin formula. Annal. Univ. Sci. Budapest Sect. Comp., vol. 29, pp. 83-91.

7. Zheng F.U., Wang J. (2015). A new method for the Pollaczek-Khinchin formula. ICIC express letters. Part B, Applications: an international journal of research and surveys, vol. 6, pp. 1619-1624.

8. Huang L., Lee T.T. (2013). Generalized Pollaczek-khinchin formula for markov channels. Communications, IEEE Transactions, vol. 61, no. 8, pp. 3530-3540.

9. Stepanov S.N. (2015). Teletraffic theory. Concepts, models, applications. Moscow, Goryachaya liniya-Telecom Publ., 808 p. (in Russian)

10. Jh. Martin. (1975). A System analysys of data transfer. Vol. 2. Moscow: Mir, 43lp. (in Russian)

Information about authors

Boris Ya. Likhttsinder, Department of Multiservice Networks and Information Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics. Samara, Russian Federation