Использование высших симметрий для построения точных решений уравнений пластичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

I. S. Ryzhikov, V. A. Okhorzin, K. V. Safonov Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

MULTILEVEL RELAY SYNTHESIS FOR CONTROL TASK

The authors consider a terminal control task for nonlinear dynamic plant. The control function synthesis is normalized to extremum problem, which is solved with modified evolutionary strategies method.

© Рыжиков И. С., Охорзин В. А., Сафонов К. В., 2011

УДК 539.314

С. И. Сенашов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСШИХ СИММЕТРИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Рассмотрено использование высших симметрии для размножения точных решений уравнений идеальной пластичности.

Уравнения пластичности можно записать в виде

ds с6 С6 --2ks (—cos26+--sin 26) = 0, (1)

dx dx dy

2ks (- sin 26- — cos 26) = 0,

dy dx dy

где y = x sin 6 + y cos 6; x = x cos 6- y sin 6.

Известно, что эта система допускает симметрию вида

J УХХ j I-УХ/2

где X = s + 2ks6.

Из определения симметрии следует, что если (x1(^, y), y1(4, y)) - решение системы (1), то произвольное решение системы уравнений y (т, X, y), x (т, X, y)

f=yxx, dt

dx = - yx/2 dt

yi = (k (h + X) - sin(h-X)) sin

+ cos(h-X)cos' h X

(3)

где п = G - 2Rs0.

Тогда, в соответствии с описанной выше процедурой, необходимо решить два уравнения:

dy _

бТ yxx,

y

= y^

(4)

Ух _ - ^

(5)

(2)

дX

ах 2

Задачи (4) и (5) - это классические задачи Коши для уравнений теплопроводности

Решение задач (4), (5) можно без труда построить, используя современную компьютерную графику, но исследование этих решений и их интерпретаций будут не так просты. Поэтому вместо решения Прандтля используется его характеристики. В координатах X, у эти характеристики имеют вид

с начальными условиями y (0, X, y) = y1, x (0, X, y), где т - непрерывный параметр, также является решением системы (1). Иными словами, высшая симметрия уравнения (1) позволяет построить целое семейство новых решений системы уравнений (1).

Реализуем эту процедуру на известном решении Прандтля, описывающем сжатие пластичного слоя. В координатах (y , x ) это решение имеет вид

x = (k (h + Х) - sin(h -x)) cos +

+ cos(h-X)sin 'h X

x2 = (-26+ sin26)cos 6 + cos 26 sin 6, y2 (-26 + sin 26)sin 6 + cos26 cos 6, 26 = h~£.

(6)

Вдоль одного семейства X = const, вдоль второго П = const.

Имеет место легко доказываемая лемма.

Лемма. Под действием симметрий характеристики решения переходят в характеристики решений (4), (5).

Из леммы следует, что характеристики решений (4), (5) могут быть получены из формул (6), если заменить x на x2, а y - на y2.

Характеристики являются плоскими кривыми, поэтому их исследование, построение и интерпретация проще соответствующих им решений.

Решетневскце чтения

S. I. Senashov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

USE OF HIGH SYMMETRIES FOR CONSTRUCTION OF EXACT SOLUTIONS OF EQUATIONS PLASTICITY

Work is devoted to construction of new solutions of 2-dimensiomal ideal plasticity.

© CernmoB C. H., 2011

УДК 512.554

В. А. Середа, А. С. Федосенко Красноярский государственный аграрный университет, Россия, Красноярск

НЕКОТОРЫЕ ТОЖДЕСТВА В АЛГЕБРАХ НОВИКОВА

Рассмотрены тождества в алгебрах Новикова над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей.

Пусть ф - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Неассоциативная алгебра А называется алгеброй Новикова [1; 2], если в А выполняются тождества

х(уг) = у(хг), (х, у, г) = (х, г, у)

Авторами было доказано, что в алгебре Новикова выполняются следующие тождества:

(х, у, г) - (у, г, х) = [х, у]г, (х, у, г) - (г, х, у) = [у, г]х + [х, у]г, 2(у, г, х) = [уг, х] + [ух, г], 2(у, г, х) - (г, х, у) - (х, у, г) = [у, г]х - [х, у]г, [уг, х] + [ух, г] - (г, х, у) -(х, у, г) = [у, г]х - [х, у]г = = [уг, х] + [ух, г] - (г, х, у) - (х, у, г) = [у, г]х + [у, х]г,

(х, у, (г, /, м)) - (у, х, (г, t, м)) = = (г, /, (х, у, м)) - (г, /, (у, х, м)), (х, у, (г, t, м)) = (х, м, (г, t, у)).

Здесь [х, у] = ху - ух - коммутатор элементов х и у; (х, у, г) = (ху)г - х(уг) - ассоциатор элементов х, у и г.

Библиографические ссылки

1. Балинский А. А., Новиков С. П. Скобки Пуассона гидродинамического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283, № 5. С. 1036-1039.

2. Середа В. А., Филиппов В. Т. О гомотопах алгебр Новикова // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, №1. С. 175-182.

V. Sereda, A. Fedosenko Krasnoyarsk State Agrarian University, Russia, Krasnoyarsk

SOME IDENTITIES IN NOVIKOV'S ALGEBRAS

We consider the identities in Novikov's algebras over arbitrary associative-commutative ring with identity.

© Середа В. А., Федосенко А. С., 2011