Синтез многоуровневого реле для решения задачи управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

УДК 005; 519.7; 303.732

И. С. Рыжиков, В. А. Охорзин, К. В. Сафонов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

СИНТЕЗ МНОГОУРОВНЕВОГО РЕЛЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрено решение задачи терминального управления нелинейным динамическим объектом. Синтез многоуровневого реле осуществляется за счет решения экстремальной задачи модифицированным методом эволюционных стратегий.

Пусть мы имеем объект, заданный дифференци- где х(?)| альным уравнением:

- решение системы (1) при найден-

— = / (х, и ).

т

(1)

ном управлении (2) с параметрами Р* переключений (множества точек) и Ь* (множества индексов).

В итоге управление будет определено по решению задачи на безусловный экстремум (3). Задача (3) решалась с помощью гибридного модифицированного метода эволюционных стратегий [1] при заранее фиксированном числе переключений к.

Приведем пример работы алгоритма. Выберем где и - множество значений и , которые может прини- число переключений равным 10, для системы, описы-мать управляющее воздействие мощностью Ыи, что за ваемой дифференциальным уравнением вида

Необходимо найти такую функцию управления и(р), причем

и (?): Я ® и, и = {щ е Я, / = ,

конечное время Т система (1) перейдет из начального состояния х(0) = х0 в конечное состояние х(Т) = хТ.

Таким образом, для решения задачи необходимо найти функцию вида

и (?) =

и1, ? е 11,

Г е I,,

(2)

1=0

где /1 (/, ]) - функция индекса, /1 (/, ]) =

1,' = Ь, 0,/ ф ь .

Таким образом, задачу поиска терминального управления можно сформулировать в виде

^(Р, Ь) = \хТ - х(Т)

® Ш1П ,

Р* Ь* -

(3)

х' • х + х • и(?) = 0,

и и = {-А, 0, А}, где А - амплитуда реле, которую определим, добавив еще одну переменную в критерий (3). За время Т = 10 необходимо перевести данную

'2 л

систему из начального вектора х = | | в вектор ко-

нечных состояний х(Т) =

где I 1, / = 1, Ыи - интервалы, определенные точками

Nи «и

переключения, такие что У II = [0, Т], 1I 1 = 0;

1=1 1=1 уровни и заранее определены исполняющим устройством.

Пусть Р = : г < гг е (0, ¥] V/ = 1,к_, г0 = -

множество всех точек переключений,

Ь = : I 1 е N V/ = 1,к | - множество индексов. Тогда

при известном значении функции управления в момент времени определим множества интервалов

__Nи

I,, / = 1, N : I/. = {У (0,0+,] • /1 (/, Д ^ е Р V1},

-2

Найденное управление и траектории системы представим в виде графика (см. рисунок).

8 — 6 -4 -2 -0 — -2 -

0123456789 10

Траектории системы и найденное управление

Библиографическая ссылка

1. Охорзин В. А., Рыжиков И. С. Гибридный модифицированный метод эволюционных стратегий для решения задач идентификации динамических систем // Вестник СибГАУ. 2010. Вып. 4 (30). С. 20-23.

Прикладная математика

I. S. Ryzhikov, V. A. Okhorzin, K. V. Safonov Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

MULTILEVEL RELAY SYNTHESIS FOR CONTROL TASK

The authors consider a terminal control task for nonlinear dynamic plant. The control function synthesis is normalized to extremum problem, which is solved with modified evolutionary strategies method.

© Рыжиков И. С., Охорзин В. А., Сафонов К. В., 2011

УДК 539.314

С. И. Сенашов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСШИХ СИММЕТРИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Рассмотрено использование высших симметрии для размножения точных решений уравнений идеальной пластичности.

Уравнения пластичности можно записать в виде

ds с6 С6 --2ks (—cos26+--sin 26) = 0, (1)

dx dx dy

2ks (- sin 26- — cos 26) = 0,

dy dx dy

где y = x sin 6 + y cos 6; x = x cos 6- y sin 6.

Известно, что эта система допускает симметрию вида

J УХХ j I-УХ/2

где X = s + 2ks6.

Из определения симметрии следует, что если (x1(^, y), y1(4, y)) - решение системы (1), то произвольное решение системы уравнений y (т, X, y), x (т, X, y)

f=yxx, dt

dx = - yx/2 dt

yi = (k (h + X) - sin(h-X)) sin

+ cos(h-X)cos' h X

(3)

где п = G - 2Rs0.

Тогда, в соответствии с описанной выше процедурой, необходимо решить два уравнения:

dy _

бТ yxx,

y

= y^

(4)

Ух _ - ^

(5)

(2)

дX

ах 2

Задачи (4) и (5) - это классические задачи Коши для уравнений теплопроводности

Решение задач (4), (5) можно без труда построить, используя современную компьютерную графику, но исследование этих решений и их интерпретаций будут не так просты. Поэтому вместо решения Прандтля используется его характеристики. В координатах X, у эти характеристики имеют вид

с начальными условиями y (0, X, y) = y1, x (0, X, y), где т - непрерывный параметр, также является решением системы (1). Иными словами, высшая симметрия уравнения (1) позволяет построить целое семейство новых решений системы уравнений (1).

Реализуем эту процедуру на известном решении Прандтля, описывающем сжатие пластичного слоя. В координатах (y , x ) это решение имеет вид

x = (k (h + Х) - sin(h -x)) cos +

+ cos(h-X)sin 'h X

x2 = (-26+ sin26)cos 6 + cos 26 sin 6, y2 (-26 + sin 26)sin 6 + cos26 cos 6, 26 = h~£.

(6)

Вдоль одного семейства X = const, вдоль второго П = const.

Имеет место легко доказываемая лемма.

Лемма. Под действием симметрий характеристики решения переходят в характеристики решений (4), (5).

Из леммы следует, что характеристики решений (4), (5) могут быть получены из формул (6), если заменить x на x2, а y - на y2.

Характеристики являются плоскими кривыми, поэтому их исследование, построение и интерпретация проще соответствующих им решений.