Решение терминальной задачи управления для нелинейных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных.

УДК 005; 519.7; 303.732

И. С. Рыжиков

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

РЕШЕНИЕ ТЕРМИНАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассматривается задача управления нелинейным динамическим объектом. Исходная задача была сведена к поиску экстремума функции многих переменных. В качестве решений задачи управления рассматриваются регуляторы типа реле.

В данной работе рассматривается один из методов решения задачи управления нелинейным динамическим объектом. Имеем объект, заданный нелинейным дифференциальным уравнением:

dx

— = f (x, u). dt

(1)

Необходимо найти такую функцию управления и(/), что за конечное время Т система (1) перейдет из начального состояния х(0) = х0 в конечное х(Т) = хТ .

Поскольку для линейной динамической системы решение задачи оптимального управления может быть найдено методом моментов [1; 2], которое при функционалах определенного вида представляет собой идеальное реле, то, допустим, что терминальная задача для нелинейной системы может быть решена при функции управления аналогичного типа.

Таким образом, для решения задачи необходимо найти функцию вида

u (t) =

-A, t e I1 A, te L '

(2)

где !х, 12 - интервалы, определенные точками переключения, такие, что и 12 = [0, Т]; А - амплитуда реле.

Пусть R = \rj : r < rt+

F(R, A) = - x(T)

A=A*, R=R*

I ® min.

A*,R*

(3)

В итоге, управление будет определено по решению задачи на безусловный экстремум (3). Задача (3) решалась с помощью гибридного модифицированного метода эволюционных стратегий, при заранее фиксированном числе переключений к.

Приведем пример работы алгоритма. Выберем число переключений равным 12 для системы, описываемой дифференциальным уравнением вида

- y'+ (5 • sin( y) +1) u (t) +

У

\У' u (t)| +1

= 0.

За время T = 5 необходимо перевести данную сис-

' 2 ^

тему из начального вектора x =

в вектор конеч-

ных состояний х(Т) = 0 . Найденное управление и траектории системы представлены на рисунке.

: (0, T] "i = 1, к , r0 = 0 } -

множество всех точек переключении, тогда при известном значении функции управления в момент времени определим множества интервалов I1, 12. Если

u(0) < 0 , то I1 = {(rw-2,r2i-1], 2•i -1 < card(R),i eN} и I2 = {(r2i-1, r2, ], 2 •i < card (R), i eN} , а при u(0) > 0 :

I1 = {(r2i.-1,r2i], 2•i <card(R),i eN}

и

I2 = {(r2,-2, r2i-1 ], 2 • i -1 < card (R), i eN} .

Таким образом, задачу поиска можно сформулировать следующим образом:

0 1 2 3 4 5

Траектории системы и найденное управление

Библиографические ссылки

1. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе МаШсаА Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2004.

2. Рыжиков И. С. Оптимальное управление линейными системами методом моментов // материалы VIII Всерос. конф. молодых ученых по мат. моделированию и информац. технологиям. Новосибирск, 2007.

Решетневские чтения

I. S. Ryzhikov

Siberian state Aerospace University named after academician F. M. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

THE SOLUTION OF THE TERMINAL CONTROL PROBLEM FOR NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS

The control problem for nonlinear dynamic object is covered. The control purpose was restricted to the optimization of several variables. As the solution the relay regulators are considered.

© PBimKOB H. C., 2010

УДК 629.7

В. В. Сстмш, К. В. Петрухина

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева (Национальный исследовательский университет), Россия, Самара

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДВИГАТЕЛЕЙ БОЛЬШОЙ И МАЛОЙ ТЯГИ

Использование на космическом аппарате комбинации двигателей большой и малой тяги сочетает в себе достоинства как импульсных маневров (малое время перелета), так и маневров с малой тягой (большая масса полезной нагрузки) и позволяет найти компромисс между критериями «масса полезной нагрузки» - «продолжительность перелета». Поэтому проблема оптимизации комбинированных схем межорбитальных перелетов является актуальной с точки зрения повышения эффективности космических транспортных операций.

Комбинированная схема межорбитального перелета предполагает использование на первом этапе (формирование промежуточной эллиптической орбиты) химического разгонного блока, а на втором - солнечной электрореактивной двигательной установки (формирование целевой, например геостационарной, орбиты).

Решается задача выбора оптимальных баллистических схем перелетов космического аппарата (КА) между произвольными эллиптическими орбитами с использованием двигателей большой и малой тяги. Предлагается следующая схема решения многокритериальной задачи оптимизации для комбинированных перелетов: в качестве главных критериев принимаются масса полезной нагрузки на целевой орбите и продолжительность перелета, а остальные критерии (общее время пребывания КА в радиационных поясах Земли и длительность теневых участков) переводятся в разряд ограничений.

Предложен следующий поэтапный метод решения задачи. На первом этапе критерии времени пребывания КА в тени и в радиационных поясах Земли переводятся в разряд ограничений, и решается двухкрите-риальная задача оптимизации. На втором этапе проводится проверка выполнения ограничений. Для этого разработаны методики расчета времен пребывания КА в тени Земли и в радиационных поясах. Из множества полученных решений отбрасываются альтернативы, не удовлетворяющие ограничениям. Третий этап - этап синтеза проектно-баллистических характеристик перелета в целом, на основе решения частных задач с учетом ограничений, заключающийся в совместной оптимизации траекторий, законов управления вектором тяги, параметров баллистической схемы маневра и проектных параметров КА.

Решается динамическая задача оптимального управления элементами орбиты: большой полуосью, эксцентриситетом и наклонением. Формулируется задача оптимизации траектории в строгой постановке, описывается формализм ее решения на основе принципа максимума Л. С. Понтрягина [1]. Применение принципа максимума позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение задачи оптимального управления элементами орбиты в строгой постановке, вытекающей из формализма Ла-гранжа-Понтрягина, связано с большими вычислительными трудностями, кроме того, на первый план выходит проблема сходимости и устойчивости алгоритма решения краевой задачи и единственности решения.

Предложен приближенный метод решения задачи, основанный на использовании принципа расширения допустимых состояний и управлений [2] для редукции задачи оптимизации в строгой постановке к задаче локальной оптимизации. На основе принципа взаимности в теории оптимизации задача о минимуме критерия при фиксированных граничных условиях сводится к задаче о минимуме невязки конечных значений вектора состояния (большой полуоси, эксцентриситета и наклонения промежуточной орбиты) при фиксированном времени перелета. Вводится терминальный критерий в виде квадратичной формы, характеризующей обобщенную невязку по большой полуоси, эксцентриситету и наклонению орбиты. Вводится требование монотонного изменения указанных элементов орбиты. Поставленная задача отыскания законов управления ориентацией вектора тяги КА с электрореактивной двигательной установкой сводится к задаче выбора локально-оптимального закона