Использование симплексного четырехугольного конечного элемента в расчетах осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИМПЛЕКСНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В РАСЧЕТАХ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ИЗ НЕСЖИМАЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ

© 2005 г. А.П. Николаев, Е.И. Козлова

Обычно при решениях задач теории упругости использование условия несжимаемости материала приводит к упрощению, но в решениях на основе МКЭ этого не происходит, так как напряжения не полностью определяются деформациями [1]. Действительно, напряжения в несжимаемых телах определяются лишь с точностью до скалярнозначной функции а0, называемой гидростатическим давлением, которое не совершает работы в процессе деформирования тела. В конечно-элементных решениях гидростатическое давление является дополнительной неизвестной величиной.

1. Соотношения между напряжениями и деформациями. В осесимметрично загруженном теле с радиальной координатой г (рис. 1), окружной - 9 и осевой -2 радиальная деформация определяется через напряжения выражением [2]

1 /

= E(- -

Vü00 -VCT.

(1)

где Е - модуль упругости материала; V - коэффициент Пуассона; а гг, а 99, а гг - нормальные напряжения.

©-

Рис. 1

Добавив в скобки правой части (1) два слагаемых

vагг и - vагг, можно получить

Е V

а гг =--£ гг + "-а 0

1 + V 1 + V

(2)

где а 0 = а гг + а99 + а ^ - гидростатическое давление. Аналогично получаются соотношения:

= Е V

а т = £ т + а п;

1+ V 1+ V

E v

ü » = 7+ е zz + 7_ü о-1 + V 1 + V

Касательные напряжения равны [2]

Е

ü „ =

2 (1 + v)

Y,

(4)

где у гг - деформация сдвига.

Соотношения (1) - (4) можно представить в матричном виде:

4x1 4x4 4x1 1 + v

(5)

где {а}Т ={агга99аггагг}-вектор-строка напряжений; {е}Т ={егге99еггугг}-вектор-строка деформаций; {}Т ={а0а0а00}- вектор-строка гидростатического давления; [с]- диагональная матрица упругости.

2. Матрица жесткости четырехугольного торо-образного конечного элемента. В качестве конечного элемента принимается четырехугольник с узлами 1, 1, к, I (см. рис. 1). Для выполнения численного интегрирования выбирается локальный квадрат с локальными координатами п, изменяющимися в пределах -1 < п < 1. Глобальные координаты г, г связаны с локальными координатами билинейными зависимостями

X =

1 -5 1 i + 1 + 5 1 -Л, i , 1 + 5 1 + п

X1 +-

2 2 2 2 2 2 1 -51 -П ' ' мt

!-X * +

lx 1 = {ф(5,n)} {x„},

...... (6)

^ ^ 1x4 4x1

где под X понимается координата г или г внутренней

точки конечного элемента; {X у } ={Х1X1X кX1} -

матрица-строка узловых координат конечного элемента.

Дифференцированием (6) определяются производные глобальных координат в локальной системе г^,гп,,и локальных координат в глобальной системе выражениями:

г5 =К}Т Ь}; гп = К}Т Ь}; 2,% ={фд}Т К}; ={ф,п}Т К};

z

I

к

r

0

.п .

Яr =—т; п,г =

; Я, = -—•

л п ,г = .

А А

Я .

А = z, Я гп- г.Яz ,п •

(7)

В качестве узловых перемещений приняты перемещение и вдоль радиуса и перемещение V вдоль оси г. Перемещения внутренней точки конечного элемента через узловые перемещения аппроксимировались билинейными соотношениями (6):

u = {ф(Я,п)}Т {uy}; и = {ф(я,п)}Т {иy},

(8)

4x1

4x1

где

р = (Т

е„ =

{ф,я} я,r + {ф,п} п,r {иу}; рее = 1{ф}Г {иу };

{ф.я} +{ф.п} п,z {иу};

Y rz

{ф,Я} Я,z +{ф,п}Г п,z {иу} + {ф.я} я,г +{фп,r {иу}•

Или в матричном виде

{р}=[В ]{wy },

4x1 4x8 8x1

(10)

(11)

где {у }Т = {иу }Т {у }

вестных конечного элемента;

{ я}Т я, r +{ п}Г п.

[В] =

{0} {0}

{ф, я}Г я, z +{ф, п, {ф,я}Г Яz +{ф,п}г{п,z} {Ф'Я}ГЯ'r +{ф'п}гп

1 {Ф}Г

r

{0}

Из условия равенства работы внешних и внутренних сил при нагружении тела получается соотношение

|{а}Т {р}dV = J{w}r {P}dS,

V S

где {и} = {и и} - матрица-строка перемещений поверхностной точки конечного элемента; {Р}Г = {Р Р2} - матрица-строка заданных поверхностных нагрузок; ё¥ = 2кгёгё2 - элементарный объем;

- элементарная площадь внешней поверхности конечного элемента.

Столбец {и} на основании (8) выражается в виде

{w} = [A] {wy},

(13)

{иу} = {и'и]ики1}; {иу} ={иги1 ики1} - матрицы-строки узловых перемещений.

Деформации в произвольной точке конечного элемента определяется через перемещения соотношениями [2]

ди и ди ди ди

егг =-г-; еее=-; егг = —; у„ — + . (9) дг г дг дг дг

С учетом аппроксимаций (8) соотношения (9) примут вид:

1 , . г

где [А] =

{ф}т {0}

_{0} {Ф}

С учетом (5),(8),(13) равенство (12) получает вид

I 1{р}Г [C]{р}rdrdz +

r z 1x4 4x4 4x1

+ Y+""I Iа ое о rdrdz = I [A]T {P}rdl,

(14)

где е0 = егг + еее+егг - объемная деформация; I -периметр сечения конечного элемента.

Принимая во внимание (10), объемную деформацию е 0 можно выразить через узловые неизвестные в матричном виде:

= {Y}T K },

I*8 8x1

(15)

где

МТ = {ф. я}Т Я' r + { п}Т п. r +

+ 2{Ф}Т {ф.я}т Я'z +{ф.п}Т п.

Используя (11) и (15), соотношение (14) можно после минимизации преобразовать к виду

- вектор узловых неиз-

[k]{Y}

iK Rj^ }

9x1

и0

9x1

(16)

где [к] = | |[Б]Г [С]Б"]гёгёг - матрица

жесткости

элемента

; {/} = |[^4]Г {Р}г^/ - вектор узловых

сил

элемента.

В соотношении (16) содержится 8 уравнений с 9-ю неизвестными. Эту систему нужно дополнить еще одним уравнением. В качестве дополнительного условия используется равенство нулю объемной деформации

~ (17)

-{у}Т {wy } = 0.

С условием (17) систему (16) можно представить в виде

K i

9x9

[K ] =

[к ]

{y}t

{y} 0

- модифицированная матрица жест-

см

ность внутреннего давления q = 60

даН

см

Граничные условия приведены в табл. 1, где цифрами 1 показаны отличные от нуля величины.

Таблица 1

кости конечного элемента.

Формирование матрицы жесткости системы выполняется обычным способом [3].

Числовой пример. Было определено напряженное состояние защемленной по торцам цилиндрической оболочки с исходными данными: внутренний радиус оболочки R = 0,5м; толщина h = 0,05м; коэффициент Пуассона V =0,5; модуль упругости

E = 2 • 105 даН ; длина оболочки l = 1,0 м; интенсив-

Номер узла u v

1,2,3 0 0

15,16,17 0 0

5,6,7, 10,11,12 1 1

Разбивка на элементы показана на рис. 2. Там же цифрами в кружках показана нумерация гидростатических давлений в элементах.

В табл. 2 приведены результаты расчета в трех вариантах при дискретизации рассматриваемой части оболочки (рис. 2) на 168, 300 и 392 конечных элемента с числами степеней свободы 415, 745 и 925, соответственно. Как видно, значения напряжений при различных числах пэ являются близкими по значению. Некоторые различия в результатах наблюдаются в точках заделки. Но и там сходимость можно признать удовлетворительной.

Табл. 2 отражает средние значения напряжений в узлах. В табл. 3 даются значения напряжений в одной узловой точке, принадлежащей четырем конечным элементам. Координаты точки равны г = 0,525 м; г = 0,33 м.

Таблица 2

Координаты узлов Напряжения ( даН ) см 2

пэ = 168 пэ = 300 пэ = 392

г(м) г(м) а гг аее а zz а rr аее а zz а rr аее а zz

0,5 0 -51,47 657,92 217,48 -51,42 657,80 218,46 -51,41 657,78 218,63

0.525 0 -28,05 627,54 226,0 -28.05 627,14 226,25 -28,14 627,08 226,29

0,55 0 -6,72 601,32 234,5 -6,75 600,66 233,87 -6,76 600,55 233,80

0,5 0,167 -51,97 606,45 140,61 -51,92 607,05 141,58 -51,91 607,15 141,75

0,525 0,167 -29,01 610,76 225,0 -28,97 610,02 225,25 -28,97 611,07 225,30

0,55 0,167 -7,07 617,56 307,69 -7,06 616,53 307,23 -7,06 616,53 307,15

0,5 0,33 -30,16 391,70 74,9 -53,25 391,82 72,97 -53,28 393,01 72,64

0,525 0,33 -30,16 436,92 224,16 -30,12 438,78 224,35 -30,11 439,09 224,40

0,55 0,33 -7,05 480,47 370,4 -6,78 483,02 372,71 -6,73 483,46 373,10

0,5 0,5 690,81 690,81 1096,89 768,76 768,76 10174,47 801,58 801,58 1198,96

0,525 0,5 169,35 169,35 220,38 177,5 177,5 219,78 178,95 178,95 220,47

0,55 0,5 -303,78 -303,78 -510,58 -337,14 -337,14 -530,60 -351,55 -351,55 -534,33

/ У 17 12 7 3 J 4 А

/ / / 14 9 4

/ 16 11 6 2

/

/ / / 13 8 ©

/ 15 10 5 1 э—d—

/ / 1 1 1 i llll [ i i 1

/j Z q о „

Рис. 2

Таблица 3

Номер элемента Напряжения ( даН ) см 2

а rr аее а zz а 0

1 -39,72 415,49 202,53 562,40

2 -23,90 459,31 246,35 693,86

3 -37,02 418,18 201,75 570,48

4 -19,81 463,40 246,98 706,14

Гидростатические давления а 0 во всех элементах

отличны от нуля.

Элементы 1 и 2 расположены слева от вертикали рассматриваемой точки при порядковом счете снизу вверх. Элементы 3 и 4 расположены справа от указанной вертикали также при порядковом счете снизу вверх.

Следует отметить, что ни в одной строке табл. 2 не выполняется равенство а0 = агг + аее+агг, а средние значения левой и правой частей равенства для всех четырех элементов оказались практически одинаковыми: а0р = 633,32; (агг + аее+агг)ср = 633,38.

Следует сделать вывод, что представленный конечный элемент вполне приемлем для расчета осе-симметрично загруженных тел вращения из несжимаемых материалов.

Литература

1. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с англ. М., 1976.

2. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1970.

3. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л., 1974.

15 марта 2005 г

Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

УДК 664.8.036

РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПРИ ПАРОКОНТАКТНОМ НАГРЕВЕ ПРОДУКТОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТАРЕ

© 2005 г. М.Э. Ахмедов, Т.А. Исмаилов

Создание высокопроизводительного теплообмен-ного оборудования, отвечающего современному уровню развития промышленности и техники, требует существенной интенсификации протекающих в них теплообменных процессов.

Одним из эффективных способов, как с точки зрения интенсификации самого процесса теплообмена, так и экономии энергозатрат, является контактный нагрев продукта посредством подачи греющего пара в банку с продуктом [1].

Теплообмен при пароконтактном нагреве продуктов представляет собой сложное явление, связанное с одновременным переносом теплоты и массы вещества. При этом количество перенесенной массы определяется величиной сконденсированного пара, а переданная теплота (при условии насыщенного пара) -теплотой парообразования [2].

Число факторов, влияющих на процесс передачи теплоты при пароконтактном нагреве, значительно больше, в частности при этом наибольшие значения приобретают как теплофизические свойства греющего пара, так и физико-химические свойства продукта. Учет всех факторов, влияющих на процесс теплообмена при пароконтактном нагреве, и их анализ представляется очень трудным не только в теоретическом, но и в экспериментальном плане.

Основным параметром, играющим первостепенную роль в процессе тепловой стерилизации пищевых продуктов, в том числе и посредством пароконтактно-го нагрева, является температура продукта, которая является основным фактором для установления режимов стерилизации консервов. Поэтому одной из основных задач в исследовании процесса стерилизации консервов пароконтактным нагревом является опре-

деление температурного поля продукта, или выявление динамики изменения температуры в различных точках продукта в зависимости от параметров греющего пара, условий его подвода в продукт, физических свойств нагреваемого продукта и т. д.

В данном случае, когда нагрев осуществляется паром, подаваемым барботером, помещенным в банку, задача сводится к расчету нестационарного температурного поля в бесконечной вдоль оси составной трубе, нагреваемой с внутренней поверхности от источника теплоты заданной интенсивности q с учетом конвекции в радиальном направлении (рис. 1).

1

Рис. 1. Схема прогрева неограниченной трубы от внутреннего источника: 1 - труба; 2 - продукт;

3 - барботер для подачи пара

Предполагается, что термическое сопротивление наружной стенки пренебрежимо мало по сравнению с термическим сопротивлением внутреннего слоя трубы, что теплофизические свойства материала не зависят от температуры. Отсюда уравнение теплопровод-

2