Учет несжимаемости материала в расчетах осесимметричных оболочек с использованием метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

***** ЯЗШСЖИ)Г ***** № 2(18) 2010

АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ

УДК 539.3

УЧЕТ НЕСЖИМАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА В РАСЧЕТАХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

MATERIAL INCOMPRESSIBILITY REGISTRATION IN THE AXISYMMETRIC SHELLS WITH FINITE ELEMENTS METHODS USE CALCULATIONS

Е.И. Сорокина, кандидат технических наук, доцент

ФГОУВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

E.I. Sorokina

Volgograd state agricultural academy

Приводятся основные соотношения теории упругости осесимметрично загруженных тел вращения из несжимаемых материалов (коэффициент Пуассона равен 0,5).

Компоненты тензора напряжений выражены через деформации и гидростатическое давление в аналитическом и матричном виде.

Axisymmetric loaded rotation bodies from incompressible materials resiliency theory correlations are given in the article (Puasson’s coefficient is equal to 0.5).

The stress tensor components are expressed through deformations and hydrostatic pressure in analytic and matrix forms.

Ключевые слова: оболочка, объемный конечный элемент, несжимаемый материал, напряжения, деформации, перемещения, гидростатическое давление, матрица.

Keywords: shell, volumetricalfinite element, incompressible material, tensions, deformations, displacement, hydrostatic pressure, matrix.

Известно, что многие упругие при деформациях материалы деформируются без заметного изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены именно для таких материалов.

Кроме того, деформирование несжимаемых материалов происходит без изменения объема, их характерной особенностью является то, что напряжения не полностью определяются деформациями. Действительно, напряжения в несжимаемых телах определяются лишь с точностью до скалярозначной функции <т0,

называемой гидростатическим давлением, которое не совершает работы в процессе деформирования тела. В конечно-элементных решениях гидростатическое давление является дополнительной неизвестной величиной.

1 Соотношения между напряжениями и деформациями.

При осесимметричном деформировании отличными от нуля являются четыре компоненты тензоров деформаций и напряжений. Компоненты тензора деформаций, действующие по граням элемента, определяются через перемещения выражениями

ды и до ди до ,

8 гг =^’ £®0 =_ ’ 8 гг = ^~’Угг =“+“• (1)

< г г дг дг < г

Радиальная деформация выражается через напряжения зависимостью

£гг = ^ гг ~ ^ее - ) > (2)

Е

где Е - модуль упругости материала; V - коэффициент Пуассона; (Тгг, <Т@@, О22 - нормальные напряжения.

Добавив в правую часть (1) два слагаемых \,<тгг и - vo^rr, можно получить

Е V

°'гг=-----8гг+~----(3)

1+V 1+У

где <Т0 = (Тгг + <Т@@ + (Т22 - гидростатическое давление.

Аналогично получают соотношения

Е V Е V , ч

17@@ = 8&& + СТ0 ’ °гг = ~л 8 гг + \ СТ0 ’ (^)

1 + V 1 + V 1 + V 1 + V

Касательные напряжения равны

^=^г- <5)

где у - деформация сдвига

Соотношения (2), (3) и (4) можно представить в матричном виде

{сг}=[с]{е}+т^И. (в)

4x1 4x4 4x1 А 1

где |сг}Г = {сгггсг&&<7<7Г2 }- вектор-строка напряжений; {е}г = {егге&&е22еГ2 }- вектор-

строка деформаций; = {сг0<т0<т00}- вектор-строка гидростатического давления; [с] -диагональная матрица упругости.

Соотношения (1) в матричном представлении имеют вид

{г}= [а]{»}

4x1 4x2 2x1

(7)

2 Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента.

В качестве конечного элемента принимался четырехугольник с узлами ^ к, 1. Для выполнения численного интегрирования по объему конечного элемента произвольный четырехугольник поперечного сечения, определенный в координатах г, г отображается на локальный квадрат с локальными координатами £, 77, интервалы изменения которых определяются неравенствами - \< Е, <],-]<// <1.

Глобальные координаты г, ъ внутренней точки четырехугольника связаны с локальными координатами билинейными соотношениями

координат ти г.

В результате дифференцирования (7) получают производные глобальных координат в локальной системе и локальных координат в глобальной системе в виде

Перемещения внутренней точки конечного элемента через узловые перемещения аппроксимировались соотношениями

являются полиномы Эрмита третьей степени.

Вектор узловых неизвестных в глобальной системе координат имеет вид

(8)

где Я - глобальная координата

вектор-строка узловых

(9)

(10)

под символом /и понимается смещение и или V;

{к I = {“' К }- вектор узловых

неизвестных в локальной системе координат;

{>/4^/])}'- строка функций формы, элементами которой

К } = {/'' /4 }• (11)

Производные в локальной системе координат выражаются через производные в глобальных координатах выражениями

V#+Лл; л =Лл+К2,г (12)

На основании (12) векторы неизвестных в локальной системе координат выражаются через векторы узловых неизвестных (11) в виде

{<}=[']{<} (13)

Используя (10), соотношение (7) можно представить в виде

м= [в]{^\

(14)

4 х 1 4x24 24x1

Для формирования матрицы жесткости конечного элемента используется равенство работ внешних сил при нагружении тела

$ = ¡{*}т (15)

V 5

где^}7” = {г/у}- строка перемещений поверхностной точки конечного элемента; {р}г = {/{р2}-строка заданных нагрузок.

Столбец {и>}на основании (10) представляется в матричном виде

М= }

,, (16)

Принимая во внимание (6), (14), (16) равенство (15) можно записать в виде

{<} И{< }+!7Гл=к-1Ц) <17)

1x8 8x1 1x8 8x1

Где £0 = Егг + £&& +£ - объемная деформация.

Объемная деформация е0с учетом (1) и (10) может быть представлена произведением

{у}Т^у\ (18)

1x8 О 1

8x1

С учетом (18) соотношения (17) представляют собой после сокращения на {и [} систему восьми уравнений с девятью неизвестными

^0 =

{м^ }и <т0. Используя в качестве дополнительного уравнения условие

У

несжимаемости.

^о=7-^{г}ГК}=0

1 V 1 V > V у) > (19)

1+у 1+у

систему (17) можно представить в виде

[^1 ]{<}={/!*}, (20)

где и - модифицированная матрица жесткости конечного элемента;

|м,*1 ^модифицированный вектор неизвестных; |_/| модифицированный вектор сил

конечного элемента.

Можно принять, что величина <т0 не является постоянной величиной конечного элемента, а определяется билинейным соотношением

е0 = \р{^п)ТХ°0у\ (21)

где о у } = {сг0сг ¿(То } “ вектор-строка узловых значений гидростатического давления.

С учетом выражения (21) и (18) произведение <т0є0 примет вид

= {<I \у\Ы К^}= {<}[^]{^ , } (22)

8x4

Подставляя (22) в (17) и выполняя минимизацию по {и\г}и {сг:м. можно получить соотношения

Мк^+іг^ЬК!={/}

8x8 8х-[ 1 + у 8x4 8x1 (23)

177 И }= {°}-

4x8 8x1 4x4

которые можно представить в виде

ЫКЫ/Л> (24)

где

К]=

R}=

М

1+V

rfbr

.1+v

неизвестных;

модифицированная матрица жесткости конечного элемента;

[о]

f г \т ( Ь' I

V У ) vOy) ) модифицированный вектор узловых

- модифицированный вектор узловых усилий конечного элемента.

Формирование матрицы жесткости системы выполняются по алгоритму [2].

Библиографический список

1. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: пер. с англ. / Дж. Оден - М.: Мир, 1976. - 464 с.

2. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - JL: Судостроение, 1974. - 344 с.

3. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: «Высшая школа, 1970. - 288 с.

E-mail: kuznetsov-gidro@mail. ш