Гибридный конечный элемент нагруженных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

гибридныи конечный элемент нагруженных тел

© 2007 г. Н.А. Гуреева

Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения разработан объемный элемент с поперечным сечением в виде произвольного четырехугольника. В качестве узловых неизвестных приняты напряжения и перемещения. Для формирования модифицированной матрицы жесткости элемента использован смешанный принцип Рейсснера:

1. Основные соотношения осесимметриченого напряженного состояния. Деформации осесимметрично нагруженного тела вращения определяются зависимостями [1]

ди и ди ди ди

егг =3- Еее=-; е=Т"; у» + ' (1)

дг г дг дг дг

где и,и - радиальное и осевое перемещения точки с радиальной координатой г и осевой координатой г; е гг, еее, е - радиальная, окружная и осевая деформации; у гг - деформация сдвига.

Соотношения (1) представляются в матричном виде выражением

И = М м,

фх1 фх2 2x1

где {е} ={е ггееее ггу гг} - вектор-строка деформаций; {м} = {ии} - вектор строка - перемещений; [Ь] - матрица дифференциальных операций.

Деформации являются функциями напряжений и определяются выражениями [2]

егг = -1 (агг -^ее гг);

Е

еее = -1 (аее гг гг);

Е

егг = Е(агг гг -^ее);

Y = а

« rz rz

2 (1 + v)

E

(2)

где {а}Г = {а ггаееаагг} - вектор-строка напряжений; [5" ] - матрица податливости.

Функционал Рейсснера Пк , в котором независимыми величинами являются перемещения и напряжения, имеет вид [2]

П R =1

{а}Т №}-2|е|Т {а}

dV- J {*}{w}ds-

Sa

J{a*}({w}-{w*}), (3)

где V - объем деформируемого тела вращения; {*}, {а*} - заданные поверхностные и граничные

силы; {*} - заданные перемещения; 5 а, su - поверхности деформируемого тела с заданными силами и перемещениями.

2. Матрица деформирования конечного элемента. В качестве поперечного сечения объемного конечного элемента тела вращения принимается четырехугольник с узлами 1, 1, к, 1. Для выполнения численного интегрирования глобальные координаты г, г четырехугольника выражаются через локальные координаты квадрата п, изменяющиеся в пределах -1 < п < 1, билинейными соотношениями

А = ^^А' + ^^А j +

2 2 1 -U+ П

Ш^А * +

А' = Wп) (А„

[ 1x4[ 4x1

(4)

где а гг, аее, а - радиальные, окружные и осевые нормальные напряжения; а гг - касательные напряжения; Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона.

Соотношения (2) представляются в матричном виде выражением

{е} = [5 ]{а},

где {А у } = {к1к1 к кк1} - вектор-строка узловых

значений величины к; к - глобальная координат г или г .

Дифференцированием (4) определяются производные глобальных координат в локальной системе г, |, г, п , г, |, г, п и локальных координат в глобальной системе г, г, п, г и п г.

Компоненты вектора перемещения и, и и компоненты тензора напряжений аппроксимируются также билинейными соотношениями

и = {ф(£,п)}{иу}; и = ]ф(^,п)[ {иу};

4x1

1x4

4x1

u

а rr =Mi n) {аrry }; аее = {ф(£» n)} {eey };

I 1x44x1 1x4 4x1

а zz = П) {а Z?y }; а rz ={ф(5. П)}Т {а rzy }»

4x1

1x4

4x1

где использованы матричные обозначения узловых величин

{иу}Т = {иги]ики1}; {иу}Т = {иги]ики1};

{аггу}Т = {а'ггаггаагг}; {аееу} = {аееа(зеаееаее};

}; { -у } = { а 4 а Iа ^ }•

{а zzy } = {аа-а Zzа

= Ja' а1 ак а1

ZZ ZZ ZZ ZZ

Если ввести матрицы-строки узловых неизвестных в виде

к }=

{аy}Т =

{uy }Т {и У }Т

1x4 1x4

= {u'uJuku1 и1 и1 и k и1};

= \u uJu u

rry 1x4

zzy 1x4

{а rzy }Т

— ^-к I г г г ! 1

- {а гг а Гг а „, а „, аее ...а гг ...а гг .а гг }

то можно сформулировать следующие матричные соотношения:

{а}=[О]{ау}; М = [А]{*у};

4x1 4x16 16x1 2x1 2x8 8x1

[L ]{w} = [L ][A]{wy }=[B ]{wy },

4x2 2x1 4x2 2x8 8x1 4x8 8x1

(5)

где

[G] =

4x16

{ф(^, п)}Т {0}Т {0}Т {0}Т

{0}Т {ф(§. п)}Т {0}Т {0}Т

{0}Т {0}Т {ф(^, п)}Т {0}Т

{0}Т {0}Т {0}Т {фЫ

[А] = "{ф(5. п)}Т {0}Т "

2x8 {0}Т {ф(§. п)}Т

[B] =

4x8

{ф r +{ф» „}Ч

1 {ф}Т

r

{0}

{0} {0}

{ф' s} z +{ф' п}Т n»

{ф,z +{ф,п}Тn»z {ф,r +{ф,п}Тn»

С учетом матричных соотношений (5) функционал (3) запишется в виде

пя ={ау} ¡[О]т [в]&{.у}-2{ау}Т

1x16 V 16x4 4x8 8x1 2 1x16

xJ[О]Т щ[о]ё¥{ау}-{^у}Т ¡[А]Т{д'}сь. (6)

V16^ 4Х4 4Х16 16x1 1x8 ^ а 8Х 2 2x1

Здесь принято, что заданные перемещения равны нулю.

Выполняя варьирование по узловым неизвестным {а у } и {т^у } из (6) можно получить системы уравнений

дл-[н ]{а у }+[е ГК }=0;

д{а у} 16x16 16x1 16x8 8x1

дПЧ ^Г {а у }-{/}= 0, (7)

0{1^у} 8x16 16x1 8x1

где [еЫОГ [В]с^ ; [Я] = ДО]Т [5][О]с^ ;

16x8 V 16x4 4x8 16x16 V 16x4 4x4 4x16

{f }= I [А]Т {q .

Sа 8x2

Система уравнений (7) может быть представлена в традиционной для метода конечных элементов форме

[к ] К } = {^} ,

24x24 24x1 24x1

где [к] - матрица деформирования конечного элемента, имеющая структуру

Чн ] [е Г

; К Г=]{а у УК }

[K ] =

16x16 16x8

[ßf [0]

8x16 8x8

- век-

1x24

1x16 1x8

тор узловых неизвестных конечного элемента;

вектор узловых усилий эле-

{F}' =]{0}Т {f }

1x24

мента.

Формирование матрицы деформирования тела вращения выполняется с использованием традиционной процедуры МКЭ [3].

Пример. Определено напряженно-деформированное состояние цилиндра длиной Ь , защемленного по торцам и нагруженного внутренним давлением интенсивности дБыли приняты следующие исходные данные: Ь = 50 см; внутренний радиус Я = 50 см; толщина стенки цилиндра t = 5 см; V = 0,3;

г- -I 1 1лб дaH * дaH

Е = 2,1-10 -; а = 240-. Из-за наличия плос-

22 см см

кости симметрии рассматривалась половина оболочки с началом координат в плоскости симметрии на оси оболочки. Результаты расчетов при различных вариантах дискретизации цилиндра на конечные элементы приведены в таблице, где даются значения окружных и осевых напряжений в точках с координатами г и г при числах элементов пэ = 14, пэ = 48, пэ = 168 и пэ = 300.

Таблица

Координаты точки,см Напряжения при числе элементов, даН/см2

Пэ = 14 пэ = 48 пэ = 168 пэ = 300

r z °ее ° zz °ее ° zz °ее ° zz °ее ° zz

50,0 0,0 1812,0 - 870,6 1749,4 - 1138,5 1762,7 - 1126,9 1760,8 - 1132,4

55,0 0,0 2320,6 1511,1 2414,5 1754,3 2422,7 1749,9 2423,9 1752,6

50,0 8,33 1485,5 - 778,6 1467,5 - 836,4 1480,9 - 838,3 1479,9 - 843,0

55,0 8,33 1978,5 1418,5 2000,5 1464,0 2014,8 1472,7 2016,4 1476,6

50,0 16,67 946,5 473,5 949,6 616,3 950,9 569,4 948,0 558,9

55,0 16,67 723,7 213,3 738,9 69,8 768,5 122,4 772,4 133,7

50,0 25,0 1852,9 4323,4 2029,6 4735,7 2514,9 5868,2 2536,6 5918,8

55,0 25,0 - 1450,4 - 3384,2 - 1542,9 - 3600,2 - 1917,2 - 4475,5 - 1926,3 - 4494,6

Как видно, наблюдается удовлетворительная сходимость вычислительного процесса. Касательные напряжения в плоскости симметрии оказались практически равными нулю. Радиальные напряжения на

внутренней поверхности цилиндра вполне соответст-

*

вовали заданному давлению д .

Разработанный алгоритм является эффективным для определения напряженно-деформированного состояния тел вращения при наличии в них зон концентрации напряжений.

Введение

Особенность методики состоит в моделировании звеньев сети, содержащих газоперекачивающие агрегаты (ГПА). Новизна постановки:

- эти звенья особо не выделяются из расчета (то есть при изменении конфигурационных параметров газопроводной системы, теоретически, нагнетатель можно расположить на любом звене или даже на всех звеньях сети);

- работа ГПА, как элементов связной гидромеханической системы, задается такой автомодельной зависимостью, что можно моделировать как нормальные, так и передпомпажные режимы (режимы предельной нагрузки).

Последнее обстоятельство особо актуально для газопровода «Россия - Турция» [1].

Будучи реализованной в виде программы, методика

Литература

1. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. -М.: Высшая школа, 1970. - 288 с.

2. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

3. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

г.

проста в применении, а доработка математической модели, в основном, может состоять в добавлении встроенного режима идентификации параметров ГПА (это безразмерные величины «А, В» (см. ниже)) и коэффициентов гидравлических сопротивлений.

Постановка задачи

Давления и коэффициенты гидравлических сопротивлений в концевых узлах сети, например, для сети со следующее топологией (рис. 1): это давление р1 - на входе и р2- на выходе, соответствующие коэффициенты местного гидравлического сопротивления в концевых узлах сети д 1, д 2. Для примерного расчета режима работы КС «Береговая» эти величины взяты следующими: р1 = 10 МПа , р2 = 25 МПа,

д 1 =д 2 = 0,1.

Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия 19 июля 2006

УДК 622.691

моделирование активной газопроводной сети в гидравлическом приближении на примере кс «береговая»

газопровода «россия - турция»

© 2007 г. А.С. Фик, А.В. Бунякин