CC BY
11
Численные методы расчета конструкций
РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА ОСНОВЕ МКЭ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ
Н.А. ГУРЕЕВА, к.т.н.,
Ю.В. КЛОЧКОВ, д.т.н, профессор,
А.П. НИКОЛАЕВ, д.т.н., профессор,
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
Для расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения на основе соотношений теории упругости в криволинейной системе координат разработан конечный элемент четырехугольной формы, узловыми неизвестными которого являются перемещения и напряжения. Для формирования матрицы деформирования конечного элемента использован функционал Рейснера. Перемещения и напряжения точки, расположенной внутри конечного элемента аппроксимировались через узловые неизвестные билинейными соотношениями.
1.Геометрия оболочки вращения. Пусть отсчетный меридиан оболочки вращения определяется радиусом-вектором (рис.1).
Я=хг+гк,
(1.1)
где / , к - орты декартовой системы координат (орт у направлен перпендикулярно плоскости чертежа); * = х(Б) - осевая координата; г = г(Б) - радиус параллели, пересекающий отсчетный меридиан.
Единичный вектор, касательный к срединной линии, определяется дифференцированием (1.1) по дуге срединной ли-
нии
а, = Я3 = х 5 ¡ + г8 к .
Рис. 1
(1.2)
Единичная нормаль к срединной линии определяется векторным произведением
а=а]х] = -г3{ + х5к. (1.3)
Рассмотрим точку М', расположенную на расстоянии I от отсчетного меридиана (рис. 1), положение которой определяется радиусом- вектором
(1.4)
В! = Я+(а ;0 <1 < И , где к - толщина оболочки. Положение произвольной точки М' определяется двумя независимыми
координатами £ и Вектор Л' описывает линию Б1 параллельную срединной линии 8. Вектор, касательный к линии 5", определяется дифференцированием (1.4) по дуге 5
g, = R'.s = Rs+tas = i(xs-trssJ + kfrg+tXss). (1.5) Соотношения (1.2) и (1.3) представим в матричной форме
|а} = [м]|?1, (1.6)
где =|йю|; |/'| =|г?|.
Дифференцированием (1.2) и (1.3) по дуге 5 получим соотношения ~> -»-»-» -> —>
Я,Я = * Ж ' + Г.« к ' = "Г® ' + * » С1-7)
С использованием (1.6) производные векторов базиса срединной линии можно представить разложением по векторам этого же базиса в виде
{Ц-одр}. а.«
2x1 2x1
Г .лТ с
il = №WaU[Jal. (1.9)
J 2x2 2x2 L J 2x2 1 J
где jflsj = j
2x1 2x1
2. Перемещения и деформации. Произвольная точка М' при деформирова-
нии получает перемещение V . Этот вектор представим компонентами v и v в базисе соответствующей точки срединной линии
V = v]al + va. (2.1)
Производные вектора перемещения с использованием (1.9) запишутся в
виде Vs = // о, + /, а ; V ,t = v, ах + vta, (2.2)
где fl = v's + v'ffj,, + vm2] ; fx = v'm]2 + vs + vm22.
Положение точки M' в деформированном состоянии определится радиус-вектором
R1' =R' +V. (2.3)
Векторы локального базиса в деформированном состоянии определяются дифференцированием радиус-вектора (2.3)
g\ = R? ,s + = (2.4)
В соответствии с [1] деформации в упругом теле определяются соотношениями
s^^-gy), (2.5)
где g*, g у - компоненты метрического тензора в деформированном и исходном состояниях.
Используя соотношения (2.5), получим выражения деформаций
(2.6)
которые с учетом (2.2) примут вид
ех, = У(ря21 (1 + ш21)+ у1 (ш,, (1 + т2])+Ш222 )+ учш22 + (1 + т21);
.ч , ^ (2_?)
£гъ = ;Зз = (1 + ) + Vхтп + + гт22). Деформация в окружном направлении определяется по формуле
У-к , г12 =—— = у
"л А *
- + V
.5
г +1х«
Рис.2
.(2.8)
, > ) «л С "Ь /!х С
Я ■ к
Соотношения (2.7), (2.8) можно представить в матричном виде
Й = ММ, (2.9)
4x1 4x2 2x1
где {г}7 = {£и£22£332£и} - вектор-строка деформации в произвольной точке оболочки; {и}7 = |у'у| - вектор-строка перемещений в произвольной точке; [/)]- матрица дифференциальных операций.
3. Соотношения между дефор-
мациями и напряжениями. Следуя закону Гука [1] деформации можно выразить
через напряжения соотношениями 1
Е'
% _'
Е
У
,-г11 М а Е <722 - V „ ^зз Е % = И Е " + —<т22 -Е Е
,-Ц ^ „п 7--<У Е 1 + — Е ,т33 • ¿13 = ^ Е) „ 13 » (3.1)
(3.2)
где аи - контравариантные компоненты тензора напряжения. Соотношения (3.1) представим в матричном виде
4x1 4x4 4x1
где {а}Т = |сгпсг22сг33(Т13} - вектор-строка напряжений в произвольной точке оболочки; [с] -матрица упругих характеристик материала.
Функционал Рейснера/7Д с независимыми перемещениями и напряжениями имеет вид [2]:
Яя = (
ИГ№4ИГИ
где V - объем деформируемой оболочки вращения; ]#*}, {а*}- заданные поверхностные и граничные силы; {и*} - заданные перемещения; ^, 5М - поверхности деформируемого тела с заданными силами и перемещениями.
4. Матрица деформирования конечного элемента. В качестве конечного элемента принимается объемный элемент, образованный вращением четырехугольника с узлами к, I (рис. 2) относительно оси оболочки вращения. Для выполнения численного интегрирования выразим глобальные координаты 5, I четырехугольника через локальные координаты £,,т] квадрата, изменяющиеся в пределах -1 ^ £, т] <\, билинейными соотношениями
л+
1x4
(4.1)
у:
4x1
где [Лу}т = [лл'лкл!} - вектор-строка узловых значений величины Л; Л - глобальная координата 5 или г.
Производные глобальных координат в локальной системе , , , Ц
и локальных координат в глобальной системе ,г]8 ,т]п определяются
дифференцированием билинейных соотношений (4.1).
Компоненты вектора перемещения у',у и компоненты тензора напряжений о",о22,а33,о13 аппроксимируются через узловые значения билинейными соотношениями (4.1), в которых узловые неизвестные представляются матри-цами-строками
= {a,V1V,V1'¡;{í7>22f = {а22'а22'а22ка221};
{ст?}Т = - {<т13'<г13 ^Ш(713'}
Общие векторы узловых неизвестных перемещений и напряжений имеют
вид
У) I У 1x4 1x4
(4.2)
1x16
С учетом (4.2) и аппроксимации (4.1) могут быть записаны следующие матричные соотношения
И = ИК};{и} = И^}; {в} = ДО«} = [о)[л){иу\ = [в]{ь1 (4.3)
4x1 4x16 2x1 2x8 ы'
•у)
4x2 2x1 4x2 2x8 8х1 4x8 8х]
где [<?] =
4x16
{ОГ М {0}
1°Г {<рЫГ {О}7 {0}
{о}г {о}7" УЫУ {о} ,{0}г {о}7' {О}7
\г
У
)Г
М-
2x8
МЫГ {О}7'
{о}7"
При формировании матрицы [й] производные перемещений определялись по формуле лг = [{^(£,77)}^ + {(р(^т]))'г1т]г\ху), где под символом Л понимается у',у , а под символом у координаты Я, /.
С учетом матричных соотношений (4.3) функционал (3.3) запишется в виде
1x16 У 16x4 4*8 8х| I ,Х16 V 16^4 4x4 4x16 16х1 .. ..
1х8 «о- 8x2 2x1
В функционале (4.4) заданные перемещения равны нулю. Минимизируя функционал (4.4) по узловым неизвестным (ег }г и \иу\, получим систему уравнений
Ш - [Я] КК ИМ = 0." ^Т = № к)- {/} - 0, (4.5)
д\<7у) 16x16 16х| 16x8 8х, 8x16 !6х1 8x1
где [<2]=тт[в]сЬ; [я] = I [о]т [с][фу; М = 1 [а]
1 £..0 V 1 А А^ О I ¿..1 а 1/ 1 А А.. А А. Л С. О. .1 С/т О. Л -VI
16x8 ^ 16x4 4x8 16x16 У ¡6x4 4x4 4x16 8x1 5а 8х2 2x1
Систему уравнений (4.5) представим в традиционной для МКЭ форме
"-М И]
где [К)~-
24x24 24x1 24x1 24x24
16x16 16x8
М [0]
.8x16 8x8
- матрица деформирования конечного элемента;
{zy]T = i {crjr {иу }7 i - вектор узловых неизвестных конечного элемента;
1x24 [ 1x16 1x8 J
{f}' = <j {о}7 {/[' >- вектор узловых усилий элемента.
1x24 [1x16 1x8 J
Формирование матрицы деформирования всей конструкции выполняется с использованием традиционной процедуры МКЭ [3].
В качестве тестового численного примера использована эллиптическая оболочка вращения, широко используемая в верификационной практике из-за возможности контроля вычислений с использованием уравнений статики, находящаяся под действием внутреннего давления интенсивности q. Внутренний
меридиан описан эллиптической кривой R = x(s) i + r(s)k , где декартовы координаты связаны зависимостью х2 / а2 + г2 / b2 -1.
Были приняты следующие исходные данные:
даН даН
q = 20—f-; а = 0,5 м; в = 0,25 м; ц =0,3; £ = 2,1-10 сж2 . см
Так как в вершине эллипса (дг = 0,5 м) образуется вырожденный объемный элемент, то в расчете использовалась усеченная эллиптическая оболочка с размерами а0= 0,49 м, г0 = 0,05 м (рис. 3). В качестве граничных условий принимались равными нулю перемещения в узловых точках оболочки при х = 0 (рис. 3).
Координата 5 определялась в зависимости от осевой координаты х численным интегрированием.
В первом варианте рассчитывалась тонкая оболочка толщиной h = 0,005 м (рис. 3) усеченной формы (а0 = 0,49 м). По толщине оболочка разбивалась на 2 и 4 элемента при пятнадцати узлах вдоль меридиана. В обоих случаях результаты оказались одинаковыми (таблица 1).
_ _Таблица 1
Номер точки ——_—,-.--————----— - Напряжение даН /см
<ти а22 сг33
1 475,65 901,41 -19,33
2 470,86 883,52 -9,71
3 486,31 866,83 0,07
Рис.3
Напряжения, подсчитанные из условия равновесия эллиптической оболочки равны
ап=я(™2-Щ2) = 47тдаН 2 тк см
Как видно, наблюдается хорошее совпадение с табличным результатом (точка 2).
Во втором варианте рассчитывалась эллиптическая оболочка значительной толщины (Л = 0,04 м) при внутреннем давлении Я = 200 даН /см2. В точке 3 (рис. 3) введена связь, препятствующая перемещению точки вдоль нормали к меридиану внутренней поверхности.
В таблице 2 представлены нормальные напряжения в некоторых сечениях оболочки в зависимости от количества элементов дискретизации.
Координаты точки (см) Напряжение даН/см2 Количество элементов
80 116 148
5=0,0 / = 0,0 ст11 2125,69 1969,26 1918,72
а22 724,78 702,43 714,60
а33 -195,76 -204,84 -197,47
5 = 0.0 / = 4.0 Ii а -1315,67 -1910,03 -2322,44
а22 -885,08 1444,14 -1915,40
5=2,0 / = 0,0 а" 1555,52 1549,69 1537,96
а22 597,49 662,70 666,79
5=55,45 / = 4,0 о" -7,44 19,13 5,2
а22 418,07 421,30 419,70
Как видно из таблицы 2 в точке действия сосредоточенной опорной реакции (точка 3 с координатами 5 = 0,0; / = 4,0 см) наблюдается неудовлетворительная сходимость численных результатов. Но уже в точке 1, а также в точках сечения с координатой = 2,0см наблюдается удовлетворительная сходимость численных результатов.
В точках, достаточно удаленных от точки приложения сосредоточенной силы, наблюдается хорошая сходимость вычислительного процесса.
Анализ результатов показывает, что разработанный на основе соотношений теории упругости элемент вполне приемлем для анализа напряженно- деформированного состояния оболочек произвольной толщины.
Литература
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - Том 1. - М: Наука, 1976. -536с.
2. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - Пер. с англ - М: Мир, 1984.-428с.
3. Постное В.А., Хархургш И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций - Л.: Судостроение, 1974. - 344с.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛНОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОДКРЕПЛЕННОМ КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
В.К. МУСАЕВ, д-р техн. наук, проф. Российский университет дружбы народов, Москва
Рассматриваются некоторые вопросы численного решения о воздействии упругой волны напряжений на подкрепленное круглое отверстие. Приводится сопоставление с результатами аналитического решения. Поставленная задача решается с помощью метода конечных элементов в перемещениях.
Рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат ХОУ, которому в начальный момент времени при / = 0 сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
дах дт д2и дт да э2у Эх ду д(2 дх ду Ы
Е , > Е , . Е (ех+У£), ег =---(£+У£х),тху=—---ух
" * * 1-у2 ' * * 2(1 +У)
ди ду диду
где сх, ау и тху- компоненты тензора упругих напряжений; ех, еу и уху- компоненты тензора упругих деформаций; ми у- составляющие вектора упругих
