Реализация деформационной теории пластичности в расчетах плосконапряженных пластин на основе МКЭ в смешанной формулировке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

РЕАЛИЗАЦИЯ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ В РАСЧЁТАХ ПЛОСКОНАПРЯЖЕННЫХ ПЛАСТИН НА ОСНОВЕ МКЭ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ

© 2011 г. Н.А. Гуреева, Д.П. Арьков

Волгоградская государственная Volgograd State Agricultural Academy,

сельскохозяйственная академия, Universitetsky Ave, 26, Volgograd, 400002,

пр. Университетский, 26, г. Волгоград, 400002, [email protected]

[email protected]

Показана возможность реализации деформационной теории пластичности в смешанной формулировке МКЭ при плоском шаговом нагружении пластинки без привлечения дополнительных гипотез, используемых обычно для сведения трёхмерного напряженно-деформированного состояния к двумерному, что приводит к искажению реальной физической сущности по деформациям сдвига. Разработан алгоритм использования МКЭ в смешанной формулировке при шаговом плоском нагружении. На шаге нагру-жения разработан конечный элемент в виде произвольного четырехугольника в смешанной формулировке МКЭ, узловыми неизвестными которого приняты приращения перемещений и приращения напряжений. Компоненты вектора приращения перемещений внутренней точки конечного элемента аппроксимируются через приращения перемещений узловых точек билинейными.

Ключевые слова: алгоритм, конечный элемент, приращения перемещений, приращения напряжений, функционал на шаге нагружения.

The possibility of realization of the deformation theory of plasticity in the mixed formulation of FEM for a flat loading steps the plate without any additional hypotheses, commonly used to minimize three-dimensional stress - strain state of a two-dimensional, which leads to a distortion of the real physical nature of shear strain. An algorithm used in the mixed FEM formulation for stepping plane loading. At the loading step was developed finite element in the form of an arbitrary quadrilateral into a mixed formulation of FEM, the nodal unknowns which made the increment of displacement and stress increments. The components of the increment of movement of the inner points of the finite element is approximated by the increment of displacements of nodal points of the bilinear.

Keywords: algorithm, end element, displacement, voltages, functional.

Для большого количества материалов закон Гука выполняется только до определенного уровня напряженно-деформированного состояния, после которого зависимость между деформациями и напряжениями становится нелинейной.

Наибольшее распространение в практике инженерных расчётов получили два варианта теории пластичности - теория пластического течения и деформационная теория пластичности. Эти теории широко используются в методе конечных элементов (МКЭ) на основе метода перемещений [1-3].

В настоящей работе показана возможность реализации деформационной теории пластичности в смешанной формулировке МКЭ при плоском шаговом нагружении пластинки без привлечения дополнительных гипотез, применяемых обычно для сведения 3-мерного напряженно-деформированного состояния к 2-мерному, что приводит к искажению реальной физической сущности по деформациям сдвига.

Основные соотношения теории пластичности на шаге нагружения

Указанные задачи в настоящей работе решаются на основе деформационной теории пластичности при реализации шагового нагружения на основе МКЭ в смешанной формулировке.

Основные соотношения деформационной теории пластичности при плоском напряженном состоянии

Гипотеза о пропорциональности компонент девиато-ров деформаций и напряжений записывается в виде [4]

(£xx -£c) =

3 £о

2 а

£ Sc ) = 3 — -Ъ ); ^ = 3 — ^ x.

2 ао ао

(3)

где ехх, вхх - линейные деформации; ухх - деформация сдвига; ох*, стхх, охх - нормальные и касательные напря-1,

жения; < = — (<. + <) - среднее нормальное напряжение; ес = 1 (егг + е22 + еуу) - средняя деформация;

В плоской задаче искомые перемещения и и V являются функциями только двух переменных х и х. В теле возникает плоская деформация, если перемещения будут происходить только параллельно плоскости Х02\ и = и(х, х); V = ^(х, х); V = 0. (1)

Если в нагруженном теле функциями координат являются напряжения

Охх = Охх(х, х); Ох = Охх(х, х);

axz(x, z); о„

aXy =0,

(2)

то тело находится в условиях плоского напряженного состояния.

« г222 3 2-17^

нии; е„ = |е + е +£ -££-££ -ее + — V К2 -

' 0 L xx yy zz xx zz xx yy yy zz Л ' xz

< = +<= + - интенсивность напряже-

3

4

интенсивность деформаций.

Зависимость между средней деформацией и средним напряжением принимается в виде [4]

1 - 2^

е =-— а ,

с Е с >

(4)

где Е - модуль упругости материала; ц - коэффициент поперечной деформации.

о

xz

zy

С учётом (4) деформации (3) представляются в виде

^ = +

е0 1 - 2ß

1 е0 1 - 2ß

3E

)-< (т^ + 2 <

3e

s0 1 - 2,ы 1 s0 1 - 2ß

<г0 3E 2 <г0 3E

Yxz = <xz 3 — ■

(5)

Зависимость между приращениями деформаций и напряжений имеют вид

ös ös ös

Asrr = —— Аст„ + —— A< + —— A<

ö<

ö<

ö<

(6)

ö<

ö<

ö<

При вычислении производных (6) принято во внима-

ös0

- т— <o-so ö B ö<„ ние соотношение -(—) =---

<0 Ek Ec

где Ек, Ес - касательный и секущий модули диаграммы деформирования.

Соотношения (6) можно представить в матричном виде {Л£}=[сгде {Ае}Г ={Аехх Аух2} -вектор-строка приращений деформаций; {Лст}г = {ЛстххЛст^ Лст1г} - вектор-строка приращений напряжений; [с П ] - матрица упругопластической податливости материала при плоском напряженном состоянии.

В случае плоской деформации из равенства е = 0 напряжение ст выражается через напряжения ст ^ и стхх, после чего получаются выражения деформаций, подобные соотношениям (5). Дифференцированием полученных соотношений определяется матрица упругопластической податливости материала [с^ ] при плоской деформации.

Матрица деформирования конечного элемента на (/+1)-м шаге нагружения

Равенство возможных и действительных работ внешних и внутренних сил может быть записано в виде равенства [2]

{<}т +1 {As}dV = j{Av}- {q}T +1 {Aqf 2 S 2

dS, (7)

1 {Лст}т {Ле} = {Лст}т {Ле}-1 {Лст}т [с П ]{Лст}, (8)

где [сП ]=[сеП ] при плоской деформации; [сП ] = [с^ ] при плоском напряженном состоянии.

С учётом (8) равенство (7) запишется в виде функционала

П = | {Лст}т {Ле^ -1 {Лст}т [сп ]{Лст]^К - (9)

V V

-1 |{Лу}Т {ЛqjdS -

2 s

| {Лу}Т {q}dS + | {ст }т {Ле}^ = 0.

S V

В [5, 6] разработан конечный элемент в смешанной формулировке в виде произвольного четырехугольника в плоскости Х02 для исследования плоского напряжённого состояния в упругой постановке. Для выполнения численного интегрирования он отображался на квадрат с локальными координатами -1 <£,, г < 1. Глобальные координаты определялись через узловые значения билинейными соотношениями

х = {?(#,г)}тЫ ^ = {?(#,г)}тЫ (10)

где {ху }т = {х' х1 хк х'} {ху }т = {г' х1 хк х1} - строки координат узлов конечного элемента; {р(^,г)У - строка билинейных функций. Дифференцированием (10) определялись производные х,4,х,г,,х х г,х ,г,г.

Следуя [6], используем для аппроксимации приращений перемещений и напряжений внутренней точки конечного элемента билинейные функции формы |Лу}=[^]{ЛУу}, {Лст}= ^] {Лсту} (11)

где

3x1 М2 12 x1

К } = {au' Au' Auk Au aw' AwJ Awk Awl } -

вектор-

строка приращений узловых неизвестных перемещений;

W Г

[А] =

{о}Т Ы

{a< } = {< а< A<k A< A< ...Aol }

Г^ У / Г^ xx xx xx xx zz xz)

вектор-строка приращений узловых напряжений;

{0}Т {of

[S ] =

{0}Т ЫТ {0} {0}Т {0}Т

где {ст}т ={рхх ст ст} - вектор-строка напряжений, полученных за} шагов нагружения; {Лу}Т = {Лм Л^} - вектор-строка приращений перемещений; {q}т ={qxqz}-вектор-строка полных нагрузок за ] шагов нагружения; Л^}т = {Лqx Лqг} - вектор-строка приращений на (/'+1)-м шаге нагружения.

Представим действительную удельную работу приращений напряжений в (7) разностью произведения {Лст}т • {Ле} и удельной дополнительной энергии на шаге нагружения

Приращения деформаций через приращения узловых перемещений определяются матричным соотношением [5] {Ле}=И[л]{ЛУу}=[й]Лу} , где [ь] - матрица

3х1

дифференциалън^1х операторов формул Коши. С учётом (10), (11) функционал (9) примет вид П = {Лсту fJ[s]T [Б^У {ЛУу }- (12)

1х12 V12 х3 3х8 8х1

-1 {Лсту}Т 1 [S]т [сП][S]¿V {Лсту}-1 {ЛУу}т } [а] {АqjdS-

2 1х12 V 12х3 3х3 3х12 12х1 2 1х8 S 8х2 2х1

-{Avy}T М {q}dS + J[ß]r {<r}dV = 0.

1x8 Ls 8x2 2x1 V 8x3 3x1 _

Минимизируя функционал (12) по узлов^1м неиз-

вестным

{A<y } и {Avy }T

получим систему уравнений

CT

0

МК j-MK }= 0; Q {4 }-{/}-М=0, (13)

12 x8 8x1 12x12 12x1 8x12 12x1 8x1 8x1

где [q]=J[s]t [B]dV ; [h] = J[s]t [сП ][s] dV ;

12x8 V 12x3 3x8 12x12 V 12x3 3x3 3x12

{/ }= № WjdS; {R} = J [A] {qjdS - J [B] {ajdV.

' q

8x1

где

[k ]=

- матрица деформирования ко-

S 8x2 2x1 S V

При минимизации функционала (12) учтена зависимость на шаге нагружения {Av} = c|Aqj или

{Aqj =1 [A]{Avy }, где с - постоянная величина на шаге.

Решение системы (13) можно провести в такой последовательности.

Из 1-го уравнения (13) определяется столбец приращений напряжений {Aay }= [H]-1 Q]{Avy }= [h] {Avy },

12x1 12x12 12x8 8x1 12x8 8x1

после чего столбец приращений перемещений представляется матричным соотношением [K] {Av } = {/j+ {R},

8x8 8x1

где [k] = [h] - матрица жесткости элемента.

8x8 8x12 12x8

Для решения последней системы уравнений используется метод Гаусса.

Удобнее систему (13) представлять в традиционной конечно-элементной формулировке

[k]{?y }={fy j (14)

-[H] [Q]\

Q]T [0]_

нечного элемента; {zy }T = {{Act}^ {Avy }T } - вектор узловых неизвестных конечного элемента; {fy } = {0F ({/ }T + {R}T )}- вектор узловых нагрузок.

Матрица деформирования всей геометрически неизменяемой конструкции формируется с применением традиционной процедуры МКЭ [7], для решения которой используется метод Гаусса.

Наличие нулевого квадратного блока в матрице деформирования (14) при решении системы не приводит к появлению вычислительных особенностей, если в общей нумерации узловых неизвестных конечного элемента приращения перемещений располагать после приращений напряжений.

Пример расчёта

Рассмотрено напряженно-деформированное состояние заделанной на концах пластинки при загру-жении распределенной линейной нагрузкой в середине пролёта (рис. 1). Приняты следующие исходные данные: /= 0,4 м, Р=58,43 кН/м, h=0,01 м.

Материал пластинки - дюралюмин Д16Т, диаграмма растяжения которого взята из [8]. Модуль упругости Е = 7,5-104 МПа; ,«=0,3; aT = 200 МПа, eT = 0,00267.

Диаграмма деформирования получена при использовании формул

1 - 2и

■■ е--—о;

3e

Рис. 1. Закрепленная пластинка

На рис. 2 по толщине центрального сечения пластинки показана эпюра нормального напряжения охх. В самых удаленных волокнах проявляется значительная нелинейность. Полученные значения напряжений незначительно отличались от результатов при дискретизации пластинки на 6 элементов по толщине и на 21 часть по длине. Уравнение статики: сумма проекций внутренних сил на ось пластинки равна нулю, выполняется с точностью Д=0,64 %. Уравнение статики: сумма моментов внутренних сил равна моменту внешних сил в центральном сечении пластинки выполняется с точностью до 0,51 %.

-009-

ffrr, МПа

400

-400 -200 0 200

- плоское напряженное состояние; --плоская деформация

Рис. 2. Изменение напряжения по толщине сечения пластинки

На рис. 3 для центрального сечения пластинки при плоском напряженном состоянии показаны эпюры нормальных напряжений охх, полученных с использованием изложенного алгоритма (отмеченного цифрой 1) и программного комплекса ЛБЛри8 (цифрой 2).

Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью ст0 = ае(? + Ье0 + с, где еот < е0; еот = 0,00231; а = 789018,29; Ь = 86782,1; с = 1819,75.

Ввиду симметрии пластинки рассматривалась её половина, которая разбивалась по толщине на 10 равных промежутков и на 41 часть вдоль оси пластинки.

-300 -200 -100 0 100 200 300

&хх, МПа

Рис. 3. Изменение напряжения по толщине пластинки

Различие Л в результатах расчёта составляет примерно 11,2 % .

Результаты упругого расчёта в значениях ахх, полученные с использованием программного комплекса ЛВЛри8, отличаются от результатов, полученных на основе формул строительной механики, примерно на 5,4 %. Кроме того, уравнения статики выполняются с погрешностями примерно 0,58 % в уравнениях ^ х = 0 и примерно 4,4 % в условии равенства уравнений по моментам.

Следовательно, представленный алгоритм является более адекватным для учёта физической нелинейности материала и вполне приемлем для учёта упругопластического состояния материала в инженерных расчётах на основе МКЭ в смешанной формулировке.

Литература

1. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учётом пластических свойств

материала // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1985. № 3. С. 24 - 27.

2. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К расчёту МКЭ несимметрично нагруженных оболочек вращения с учётом физической и геометрической нелинейности // Расчёты на прочность. М., 1990. С. 135 - 144.

3. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Проскурнова О.В. Использование теории пластического течения в расчёте сочлененных оболочек вращения на основе МКЭ // Изв. вузов. Строительство. 2009. № 2. С. 10 - 17.

4. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1970. 288 с.

5. Гуреева Н.А. Плоская задача теории упругости на основе МКЭ в смешанной формулировке с узловыми перемещениями и напряжениями // Инженерные системы 2008 : тр. всерос. науч.-практ. конф. Москва, 7-11 апреля 2008 г. М., 2008. С. 223-226.

6. Гуреева Н.А. Решение плоской задачи теории упругости с использованием варианта МКЭ // Изв. вузов. Авиационная техника. КГТУ. 2009. № 2. С. 8-11.

7. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. Л., 1974. 344 с.

8. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М., 1963. 879 с.

Поступила в редакцию_28 мая 2010 г.