CC BY
23
Вопросы теории пластичности
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ НА ОСНОВЕ МКЭ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ
Н. А. ГУРЕЕВА, канд. техн. наук, Д.П. АРЬКОВ, аспирант
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26;
В рамках плоской задачи теории упругости для решения проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого предлагается использование аппроксимаций перемещений и напряжений как величин векторных и тензорных полей. Разработан конечный элемент четырехугольной формы, узловыми неизвестными которого приняты перемещения и напряжения. Для формирования матрицы деформирования конечного элемента использован смешанный функционал Рейснера.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: аппроксимация, векторное поле, тензорное поле, смешанная формулировка, вариационный принцип.
1. Основные соотношения теории пластичности на шаге нагружения. В плоской задаче искомые перемещения и и ^ являются функциями только двух переменных х и г. В теле возникает плоская деформация, если перемещения будут происходить только параллельно плоскости хог
и = и(х, г); ^ = (х, г); V = 0. (1)
Если в нагруженном теле функциями координат являются напряжения
°хх = °хх(х, г); Огг = Огг(х, г); Охг = вхг(х, г); Оуу = Огу = Оху = 0, (2)
то тело находится в условиях плоского напряженного состояния.
Указанные типы задач в настоящей работе решаются на основе деформационной теории пластичности при реализации шагового нагружения.
1.1 Основные соотношения деформационной теории пластичности при плоской деформации. Гипотеза о пропорциональности компонентов девиаторов деформаций и напряжений записывается в виде [1]
а а а
ахх -ас = \—(ехх ~есУ;а22 -ас = \—(е22-еc);аxz = \—ГХ2, (3)
3 е е е
0 0 0
где ехх, £гг - линейные деформации; уХ2 - деформация сдвига; ахх, о22, аХ2 - нормальные и касательные напряжения
ас = (ахх + ауу + агг)/ 3 - среднее нормальное напряжение;
ес = (ехх + е22) / 3 - средняя деформация;
а0 = а„ + а„„ + а„ - а„а„ - а„а,„, - а„„а„ + 3а
хх уу zz хх zz хх уу уу zz xz
интенсивность напряжений;
-I V ^ „1/2
- интенсивность деформаций.
2
е0 = — 0 3
( 2 , 2 2 _ Ч 3 2
(ехх + еуу + еzz еxxеzz) + ^ 7xz
Зависимость между средним напряжением и средней деформацией принимается в виде [1]
ас =ТЕ~ ес, (4)
1 - 2ц
где Е - модуль упругости материала; коэффициент поперечной деформации. 32
С учётом (4) напряжения (3) представляются в виде
, Е 4 сг0л Е 2 сг0л
(гхх = £хх (-+---) + (-+---);
3(1 - 2 ц) 9 £0 3(1 - 2ц) 9 £0
Г Е 4 Е 2 1 а0
=ев Сл - , + - —) + (_п , , + - —) ; ^ =~ —ГХ2 • (5)
3(1 - 2ц) 9 £0 3(1 - 2ц) 9 £0 3 £0
Зависимость между приращением напряжений и приращениями деформаций на шаге нагружения представим в таком общем виде
O = 0 + 0 be z + O /;
8e d/xz
(6)
A^xz = O Дехх + ° ^ + ° a^ .
xz •■■«. XX •■■«. zz ' xz
8exx 8ezz 8/xz
При вычислении производных (6) принято во внимание соотношение
(- \
8
8eo
Veo )
8oo 8eo
2
eo
- [Ek - Ec ], (7)
где Ek Ec - касательный и секущий модули диаграммы деформирования. Соотношения (6) можно представить в матричном виде
{Ao}=[cf ]{Ae}; M=[cf ]>о}, (8)
где {Ae} = {AexxAezzA/xz} - вектор-строка приращений деформаций; {До} = {AoxxAozzAoxz} - вектор-строка приращений напряжений,
] - матрица упруго - пластической жёсткости материала при плоской деформации.
1.2. Соотношения деформационной теории пластичности при плоском напряжённом состоянии. В этом случае среднее напряжение и средняя деформация имеет вид
Oc = 1 °xx + Ozz ) ; ec = 1 (exx + ezz +eyy) . (9)
С учётом (4), (9) соотношения (3) запишутся выражениями
(1 - 2ц) e (1 - 2ц) e ,
exx = 0xx(—+-) + 0zz (—+-) ;
3E о0 3E о0
e„ =о„ ¿Ц^ + + Oxx(<m^ + ^4; /xz = 3e о„. (10)
3E о0 3E о0 о
Приращения деформаций на шаге нагружения через приращения напряжений представим зависимостями
8e 8e 8e
Aexx = e AOxx + e AOzz + e AOxz;
8о„ 8о 8о„,
(11)
A/xz = ^ AOxx + AOzz AOxz .
' xz ^ xx ^ zz ^ xz
8о„„ 8о „ 8о„„
При вычислении производных принято во внимание соотношение
eo
( ^ \
дап
а у
де0 дап
-ап-еп
а
а
Е,
1
Е„
где
Приращения деформаций (11) можно представить в матричном виде
{Ле}=[сП Ы; {Ла}=[сП ]-1{^е}, (13)
\с0! ] - матрица упруго-пластических податливости материала при плоском
напряжённом состоянии.
2. Матрица деформирования конечного элемента на (у + 1)- ом шаге нагру-жения. Равенство возможных и действительных работ внешних и внутренних сил может быть записано в виде функционала Лагранжа [2]
| {р}Т +1 М {Ле)1У = |^ {д}т +1 {Л?}!
V 2 J 5 2
где
{а} ={
аxxаzzаxz
2 }-
,
(14)
вектор строка напряжений, полученных в результате у
шагов нагружения; {Л}Т = {АиЛм} - вектор-строка приращений перемещений;
{щ}т = {щхщ2}- вектор-строка полных нагрузок за у шагов нагружения;
{Лщ}т = {ЛщхЛщ2} - вектор-строка приращений на (у + 1)-ом шаге нагружения.
Представим удельную потенциальную энергию в (14) разностью полной и удельной дополнительной энергии
где
1 {Ла}т {Ле} = {Ла}т {Ле}-1 {Ла}Т [сп \Ла}, [сп]= [сП] - при плоской деформации; [сп ]= [СетП ] - при
(15)
плоском на-
(16)
пряженном состоянии.
С учётом (15) функционал (14) запишется в виде
I {а}Т {Ле^ - | {Ла}т [сп {Ла^ =
V V
= 11 {Лу}Т {Лщ}с15 +1 {Лу} {щ}с15 - | {а}т {Ле)^У
2 5 5 V
В работе [3] был разработан конечный элемент в смешанной формулировке в виде произвольного четырёхугольника для исследования плоского напряжённого состояния в упругой постановке. Следуя [3], используем для аппроксимации приращений перемещений и приращений напряжений внутренней точки конечного элемента билинейные функции формы
Л}=[А]\АУу} {Ла}=[5]{Лау}, (17)
2x1 2x8 8х1 3x1 3x12 12х1
где {лЛуу }т = {Ли1 Ли1 ЛикЛи1 Л^1 Л^1 Лw1} - вектор - строка приращений уз-
1x8
ловых неизвестных перемещений; {Лау }т = {ЛагххЛа }ххЛакххЛа1ххЛаггг ...Лах^-
1x12
вектор-строка приращений узловых напряжений;
{0} {0}
[А] =
2 х8
К {0} {0} Мт
[5 ] =
3x12
{0} Мт {0}
{0} {0} мт
д
1
1
0
2
- строка билинейных полиномов. Приращения деформаций через прира-
1 х 4
щения узловых перемещений определяется матричным соотношением [3]
{Ав} = [Б]\Ауу }. (18)
3x1 3x8 8x1
С учётом (17), (18) равенство (14) примет вид
} ШУ Уу }-1 А<у У I № [Ф] ¿V } =
1x12 V12x3 3x8 8х1 2 1x12 V12x3 3x3 3x12 12x1
1 Ауу }т М №+Ауу}
2 1x8 5 8x2 2^ 1x8
|[а] [я]СБ -|[Б] {СГ}С1У
5 8x2 2x1 V 8x3 3x1
Минимизируя функционал (19) по узловым неизвестным {а<}г и {ауу }г ,
(19)
у
получим систему уравнений
М{А,у }- [н А }= 0; [д] А<у }- А }- М == 0> где [б] = яб]г [б^; [н] = {[Б]Г [с п ][б] сv; {а/ч }={[лГ [ад]сб; (20)
12x8 V 12x3 3x8 12x12 V 12x3 3x3 3x12 8л:1 5 8x2 2x1
м=да Г {д}сб-{[б^К •
где
[к ] =
- матрица деформирования конечного элемента;
Г
8 x1 Б 8 x2 2x1 V 8x3 3x1
Систему (20) представим в конечно-элементной формулировке
Шу }=/ } (21)
-[н] Щ [еГ [0]_
{'г } = {{А<г}г {у у } } - вектор узловых неизвестных конечного элемента;
{/у } = {{0}Г ^аА^я } + {А^}Г )} - вектор узловых нагрузок.
Матрица деформирования всей конструкции формируется с применением традиционной процедуры МКЭ [2].
3. Пример расчёта. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние заделанной по концам пластинки, загруженной распределенной линейной нагрузкой в середине пролёта пластинки рис.1.
Были приняты следующие исходные данные: I = 40см, Р = 58,43дан/см, высота поперечного сечения пластинки к = 1см, упруго-пластические свойства материала пластинки описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением.
Предел текучести о1Т = 2000дан/см2, 81Т = 0,00203918 - деформация соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью о\ = ае2 + Ье2 + с.
На рис. 2 показана диаграмма деформирования материала пластинки, где а = 789018,28611; Ь =86782,099383; с = 1819,7547393. Ввиду симметрии пластинки рассматривалась её половина, которая разбивалась по толщине на 10 равных промежутков и на 41 часть вдоль оси пластинки.
На рис. 3 по толщине центрального сечения пластинки показана эпюра нормальных напряжений охх. Как видно, в самых удаленных волокнах проявляется значительная нелинейность.
Полученные значения напряжений незначительно отличались от результатов при дискретизации пластинки на 6 элементов по толщине и на 21 часть по
длине. Уравнение статики: сумма проекций внутренних сил на ось пластинки равна нулю выполняется с точностью А = 0,64%.Уравнение статики: сумма моментов внутренних сил равна моменту внешних сил в центральном сечении пластинки выполняется с точностью до 0,51%.
Изложенный алгоритм вполне приемлем для учёта упруго - пластического материала в инженерных расчётах.
Диаграмма деформирования
6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
0,0000 0,0050 0,0100 0,0150 0,0200 0,0250 0,0300
Рис. 1
Рис. 2
Изменение напряжения в зависимости от сечения пластинки
1,00 "1
0 504«
—9-ee—
- Плоское напряжённое состояние -Плоская деформация
Ю-4000 -2000 0 2000 4000
Напряжение
Рис. 3 Л и т е р а т у р а
1. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1970. - 288с.
2. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974. - 344с
3. Гуреееа Н.А. Плоская задача теории упругости на основе МКЭ в смешанной формулировке с узловыми перемещениями и напряжениями// Труды Всероссийской научно- практической конференции «Инженерные системы -2008», Москва, 7-11 апреля 2008 г. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - С. 226-229.
FLAT PROBLEM OF THEORY OF JUMP IN BASE METHOD OF FINAL ELEMENTS IN MIXED UNDERSTANDING IN ACCOUNT PHYSICAL NONLINEARITY
N.A. Gureeva, D.P. Ar'kov
For the calculation of developments in conditions of flat problem of theory of jump is designed matrix an deforming tetragonal end element on the count of physical material uneven line in base deformation theories of plasticity.
On the measure that as a node unknown finite element were taken incriminations of displacing and incriminations of voltages. Incriminations of voltages and moving an internal spot of end element were approximated through node values of sought values by correlations of two linear sought values.
KEYWORDS: algorithm, finite element, displacement, voltages, functional.
