CC BY
8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ЗОНЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛАСТИН ПРИ ПЛОСКОМ НАГРУЖЕНИИ НА ОСНОВЕ МКЭ
A.П. КИСЕЛЕВ, кандидат техн. наук, доцент; Н.А. ГУРЕЕВА, кандидат техн. наук, доцент; Р.З. КИСЕЛЕВА, кандидат техн. наук;
B.В. ЛЕОНТЬЕВА, ассистент.
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26
Для определения напряженно-деформированного состояния пластин, находящихся в условиях плоского нагружения, используется объемный конечный элемент с поперечным сечением в форме четырехугольника с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных. Для узла на границе сочленения пластин под произвольным углом а получены соотношения между узловыми неизвестными одной пластинки, принятой за основную, и пластинки, примыкающей к основной под углом а . Рассмотрены два случая: пластинки из однородного материала и пластинки из разнородных материалов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод конечного элемента, пластина, плоское нагружение.
Матрица жесткости объемного конечного элемента в форме произвольного четырёхугольника формируется согласно [1]. Для выполнения численного интегрирования произвольный четырёхугольник отображается на квадрат с локальными координатами а и Ь, интервалы изменения которых находятся в пределах -1 < аЬ <1. Глобальные координаты х, г внутренней точки четырёхугольного элемента пластины определяются через узловые значения координат билинейными соотношениями
Л = {/(а,Ь)}Т {Лу } (1)
где под символом Л понимаются координаты х, г;
Лу Т = {Л Л Л Л |- матрица-строка узловых значений координаты Л.
1x4
Дифференцированием (1) определяются производные глобальных координат х,г в локальной системе координат х,а, х,ь , г,а, г,ь и локальных координат а, Ь в глобальной системе координат а,х, а,г, Ь,х, Ь,г .
Перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируются через соответствующие узловые значения матричными соотношениями
Х = {р(а,Ь)}Т [у,} (2)
|л( I I 1 к I I 7 к I I 1 к I \ где [у }= [ ГУ У У, а У, а У, а У,а У,Ь У ,Ь У,Ь У ,Ь вектор узловых неизвест-
1x12
ных в локальной системе координат; под символом у понимаются перемещения и, V в системе координат х, г; {р(а,Ь)} - матрица функций формы, полученных на основе полиномов Эрмита третьей степени.
Вектор узловых неизвестных в глобальной системе координат имеет вид
У Г }= Уг у7 ук у1 у,х у, х у, х у,х у,г у, г у, к у,г}.
1x12
Связь между векторами Г } и {у^ } записывается в матричном виде
к } = нк I (3)
1x12 12x12 12x1 где матрица [г ] формируется на основе соотношений
У,а = У,х 'х,а + У,г . (4)
Формулы Коши теории упругости с использованием выражений (1), (2), (3), (4) представляются в матричном виде
{-1= [5] } (5)
3x1 3x24 24x1
где {е}Г = {ехх егг 2ехг }- вектор- строка деформаций внутренней точки конечного элемента;
V; Г 4; Г к ГI
1x24 1x12 1x12
Связь между напряжениями и деформациями внутренней точки конечного элемента принимается в виде
ы=[с ]М, (6)
3x1 3x3 3x1
где ={°хх } .
Матрица жесткости конечного элемента формируется на основе равенства работ внешних и внутренних сил при нагружении упругого тела[1]
К Г; }={/; }.
1. Геометрия пластин в зоне пересечения из однородных материалов. Для описания геометрии двух пересекающихся под углом а пластин вводятся две системы координат: х,г для основной пластины и х',г для примыкающей пластины (рис. 1). Здесь и далее символы без штриха будут относиться к параметрам основной пластины, со штрихом - к примыкающей пластине.
/\
с/Г
X
Рис. 1
Единичные векторы координатного базиса основной пластины выражаются через векторы координатного базиса примыкающей пластины и наоборот матричными соотношениями
?'}=№}, ?}=[! Г} , (7)
где {'}={', к} ; {}={, *Г, [/] = И-1.
В узлах, расположенных на грани пересечения, введем следующие векторы узловых неизвестных для основной пластинки и примыкающей, соответственно
г> 1.Ш „. Ш „. Ш Ш Ш >• /"04
/ = и u,х u,г к w,х w,г (8)
: и и , х' и ,г ' к к ,х' к , г' У (9)
где ш = у, к; ш' = 7', /'.
Соотношения между перемещениями (8) и (9) определяется из условия равенства векторов перемещения узловой точки
и 'Г' + к 'к' = иГ + кк = и (/ПГГ ' + /12к')+ к(/21Г' + /22к') , (10)
из которого получается и' = и/11 + к/21; к' = и(/21) + к/22.
Зависимости между производными компонент вектора перемещений для двух пластин на линии пересечения можно получить, используя выражения производной по направлению
ди ' ди ' / А ди ' / , \ , би / . ^ / л
-=-cos(х, х ) +--cos(х , г ) = /ц—cos(х, х )+/21—cos(х, х )+
дх' дх дг дх дх
. ди ( , ч . дк / , \ + /ц —cos(х , г) + /21 —cos(х , г); дг дг
ди ' ди ' / , ч ди ' / , \ ди , / , \ дк ,
-=-соэ(2 , х)+--соэ(.г , г) = — /ц cos(z , х)+--/21 соэ(.г , х) +
&' дх дг дх дх
ди , / , ч дк . / , ч +--/ц cos(z , г)+--/2lC0s(z , г);
дг дг
дк' дк' / дк' / , ч ди / л дк г л
-=-cos(х,х )+--cos(х ,г) = — /l2C0s(х,х )+--/22 cos(х, х ) +
дх' дх дг дх дх
+ ["дг/12 ', г) + "дГ/22«*(х', г
дк' дк' / , ч дк' / , ч ди / , ч дк / , ч
-=-соэ(2 ,х)+--cos(z ,г) = — /12 соэ^г ,х)+--/22 соэ(2 ,х)+
дг ' дх дг дх дх
ди / , ч дк / , Л
— /12 С0Чг , г) + —^2 С0Ф , г) |
На основании выражений (10), (11) матричная зависимость между векторами (9) и (8) получит вид
{Ш }=Ы{ш}. (12)
6x1 6x6 6x1
С использованием (12) формируется матрица преобразования [Т] для матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок примыкающих конечных элементов пластины
[К' ] = [ТТКМ {/'}=[Т]Т {/}. (13)
2. Геометрия пластин в зоне пересечения из разнородных материалов. Основная пластинка представлена в декартовой системе координат с ортами {7}, примыкающая под углом а пластинка - ортами {7'}. Граница между разнородными материалами определяется плоскостью с ортами {у}Г = {у Г}, наклоненной под углом /3 к оси ох основной пластинки (рис. 2). Угол у между норма-
лью к границе пересечения пластин V и осью X' будет равен у = (90 - /) — а , а угол р между нормалью к границе пересечения пластин V и осью х будет равен р = (90 — /).
ж, ж
t .V ,г
и' О и' О
г
ж
(14)
(15)
Рис. 2
В узлах, расположенных на грани пересечения, введем следующие векторы узловых неизвестных для основной пластинки и примыкающей, соответственно
I=к
где ш = у, ^ ш' = i', I'.
Для конечных элементов, примыкающих к плоскости разграничения разнородных материалов, выполняется преобразование узловых неизвестных (8) и (9) к узловым неизвестным (14) и (15) по выражениям (13).
В узлах, расположенных на грани пересечения пластин, за основные неизвестные принимаются узловые неизвестные элементов основной пластинки (14). Узловые неизвестные конечного элемента примыкающей пластинки (15) на грани пересечения должны быть выражены через основные узловые неизвестные с использованием следующих условий:
1. Перемещение узловых точек в зоне пересечения пластин в системе координат V, г , являются одинаковыми, что приводит к равенству
„ фО „ О, ,.,'Ш1 /Л£\
иу = иу ; = м>{ . (16)
2. Производная перемещений вдоль оси г по координате г для сопрягающих пластин являются равными
ж; / = ^,?. (17)
3. Равенство углов наклона касательного вектора г к плоскости разграничивающей материалы
<,?' = . (18)
4. Из условия равенства касательных напряжений на границе пересечения пластин
ш')= £(иу,Ш +4 ,ш) (19)
получается
ж
г V
= ж
г V
£ G'
- + и
V г
£—1. G'
(20)
5. Из равенства нормальных напряжений вдоль оси V в зоне пересечения пластин
E + V'e'tt ) = faw + И'stt)
1" И
,2
находим
E 1 - И
Ww~ 9
1 - И
E
1 - И
2 ^ 8uw 8wt ^
—w + и—L 8sv 8st ,
И
8wt 8st
(21)
(22)
На основании выражений (16), (17), (18), (20) и (22) матричная зависимость между векторами (15) и (14) получит вид
\lW' }=[*]{?"} (23)
6x1 бхб 6x1
С использованием (23) формируется матрица преобразования [Т] для матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок граничного конечного элемента примыкающей пластины
[К'] = П №1 f' }=[T ]T f} (24)
Пример №1. Определялось напряженно-деформированное состояние пересекающихся пластин, загруженных сосредоточенной силой Q (рис.3). Материал пластин однородный.
Были приняты следующие исходные данные: А = 1м; 12=0,8м; Q = 20 кН; h = 0,1м; h2 = 0,1м; E = 2-106 МПа; E'= 2-106 МПа; и = 0,3; И = 0,3.
Q _
11,
Рис. 3
По толщине основная и примыкающая пластины разбивались на 9 равных дискретных элементов. По длине основная пластина разбивалась на 70 одинаковых элементов, а примыкающая пластина на 50 одинаковых элементов.
По полученным результатам построены эпюры нормальных напряжений <Ух в сечениях 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 (рис.3), разделенным по высоте на 9 равных частей, рис. 4а; рис. 46; рис. 4е; рис. 4г.
По полученным результатам нормальных напряжений ихх с использованием эпюр нормальных напряжений ихх для контроля точности вычислений выполнены проверки ^ М = 0 .
Условие равновесия по моментам (^Мх = о) выполняется с погрешностью 5 = 0,1% (рис. 4а); для (рис. 46) условие равновесия по моментам (^Мх = о) выполняется с погрешностью 5 = 2 %; для (рис.4е) условие равно-
весия по моментам (^ Мх = о) выполняется с погрешностью 5 = 2 %; для (рис. 4г) условие равновесия по моментам (^Мх = о) выполняется с погрешностью 5 = 0,1%.
ш г
I
3
р
о с
10 о
<п >
и а.
и
о г
ш ■ ч ¿1024,7 • П1Г Г"1
й Лч
7 Щ 300 /ПРП
1 £ УапГ, П
■93,3^
-320/
-546.2 / з
-775,/ „
-934,7/ ' 1 1
■1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 напряжения оа,хН1ш2
ш
I
I
3
р
о с
ш
о
о >
га
0.
ш □
1.
а 1П А А Л А П ГП
О ^--Гтп гр
Й /лДО и
7 Г Ни ¿\ Ш Н
/ Ё г 1 *чи и 1 "1 -1 1-1 т
-158,91 У -IV'
-304,55 /
-459.91/ з
639./ п
Г ),ЗУ ,
■500 0 500 1000 1500 напряжения
ш I
I ?
р
о с
ш
о ц
о >
и о.
ш
ь
ш ■ ч ^^1430,6
й /оп Г|7
7 / л о и, и г /шп Г1
1 £ ? I ии ,51 /11т
-147,38 У ' II
-306,65/
-474,й/ з
665^/ п
1 1 1
■1000 -500 0
напряжения сгпдЯ/™
ш
I ?
р
о с
ш □
о >
га о. ш
0
1
б
1П _ М.1ГГ,
а /130, г ГПП ПР
я / ОУ□ ,йи А"1?,
7 /пгр пр
/ £ 1Р
-85,11/ / из,40
-255^
-426,за/' з
-599.иК п
756/| / 2—,-ь I
37
напряжения
в л,кИкм
500 1000 2
в г
Рис. 4
Пример №2. Определялось напряженно-деформированное состояние пересекающихся пластин, загруженных сосредоточенной силой Q (рис. 5). Материал пластин разнородный.
Были приняты следующие исходные данные: ¡\ = 1м; /2=0,8м; Q = 20 кН; И\ = 0,\м; h2 = 0,\м; Е = 2-106 МПа; Е' = 2-105 МПа; ц = 0,3; ^ = 0,25.
По толщине основная и примыкающая пластины разбивались на 10 равных дискретных элементов. По длине основная пластина разбивалась на 70 одинаковых элементов, а примыкающая пластина на 50 одинаковых элементов.
Рис. 5
По полученным результатам построены эпюры нормальных напряжений <хх в сечениях 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 (рис.6), разделенным по высоте на 10 равных частей, рис. 6а; рис. 66; рис. 6в; рис. 6г и для контроля точности вычислений выполнены проверки
I х = 0, I М = 0.
Условие равновесия по силам (I х = 0) выполняется с погрешностью 5 = 0,001 %, а по моментам (I Мх = о) погрешность составила 5 = 1 % (рис. 6а); для (рис. 66) условие равновесия по силам (I х = 0) выполняется с погрешностью 5 = 0,001 %, а по моментам (IМх = о) погрешность составила 5 = 2 %; для (рис.6в) условие равновесия по силам (I х = 0) выполняется с погрешностью 5 = 0,001 %, а по моментам (IМх = о) погрешность составила 5 = 2 %; для (рис.6г) условие равновесия по силам (I х = 0) выполняется с погрешностью 5 = 0,01 %, а по моментам (I Мх = о) погрешность составила 5 = 0,1 %.
0) г 5
3"
ГО
о.
ш □
г
1 ([126,0511
-1500 -1000
1000 1500
напряжения пЕ,кН1с?г
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000
напряжения оп,кН1см
Рис. 6 (начало)
6
а
в г
Рис. 6 (продолжение)
Анализ численных результатов показал удовлетворительное выполнение граничных условий по напряжениям на всех внешних гранях сочленяемых пластин. Напряжения, нормальные к внешним граням и касательные к ним, имели близкие к нулю значения (не более 0.3% от максимального нормального напряжения).
Нормальные и касательные напряжения в точке приложения сосредоточенной силы Q быстро уменьшались на участке трех элементов по толщине пластинки и на расстоянии 0.2 толщины пластинки по её длине, что соответствует принципу Сен-Венана [3].
На основе анализа результатов выполненных примеров расчета можно сделать вывод о пригодности разработанного алгоритма по формированию матрицы жесткости конечного элемента уточненного расчета, пересекающихся тонкостенных конструкций из однородных и разнородных материалов.
Л и т е р а т у р а
1. Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности многослойных панелей // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2009. - № 4. - С. 37-40.
2. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности.- М.: «Высшая школа», 1970.- 288с.
3. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформированного тела. - Л: Стройиздат, 1974.-411с.
DETERMINATION OF STRESSES IN THE INTERSECTION OF PLANES UNDER PLANE LOADING ON THE BASIS OF THE FEM
A.P. Kiselyov, N.A. Gureyeva, R.Z. Kiselyova, V.V. Leont'eva
For the determination of the stress-strain state of plates which are under flat loading, a volume finite element with quadrilateral cross-section and with the nodal unknown displacements and their derivatives is used. For a node on the border junction of the plates at an arbitrary angle a, it is obtained relations between the nodal unknowns of one plate, taken as main one and the plate adjacent to the main plane with angle a. Two cases are considered: a plate of homogeneous material and a plate made of dissimilar materials.
KEY WORDS: finite element method, plate, plane loading.
