Определение напряжений в стенках изотермического резервуара для транспортировки сжиженного газа в местах действия опор Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Таким образом, созданная математическая модель позволяет обоснованно выбирать пакет материалов для всех базовых узлов обуви, чтобы обеспечить комфортность стопе при воздействии на обувь низких температур в заданном временном режиме и существенно сократить число стендовых испытаний в условиях, близких к реальным при проектировании нового теплозащитного варианта обуви.

35

О

30

25

о

Й Щ

и g

CS &

Н

20

15

10

\ 1'

\ 2' 3' 4' , i

---- -

-5 °С

Таблица 2

Характеристика комфортности стопы

Температура стопы, °С Время нахождения обуви под воздействием низких температур для различных антропометрических участков стопы, мин

-15°С -5°С

носочная тыльная пяточная ходовая носочная тыльная пяточная ходовая

25 19 19 23 54 25 30 34 72

20 34 40 47 89 64 - 158 158

17 51 74 78 125 - - - -

Кроме того, использование созданной математической модели оправдано еще и потому, что позволяет оценивать новые материалы для формирования пакетов любых видов и родов обуви, обеспечивая высокую достоверность результатов по комфортности стопы.

Литература

1 2 3 4 5 6

Время, ч

Рис. 2. Изменение температуры частей стопы: 1,1' - ходовой; 2, 2' - носочной; 3, 3' - пяточной; 4, 4' -тыльной стороны

1. Ченцова К.И. Стопа и рациональная обувь. М., 1974.

2. Маркосян А.А. Физиология. М., 1971.

3. ВоробьевВ.Р. Анатомия человека. Стопа. Харьков, 1932.

4. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. М., 1982.

5. Кедров Л.В. Теплозащитные свойства обуви. М., 1979.

4

3

5

0

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты 27 декабря 2004 г.

УДК 539.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕНКАХ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА ДЛЯ ТРАНСПОРТИРОВКИ СЖИЖЕННОГО ГАЗА В МЕСТАХ ДЕЙСТВИЯ ОПОР

© 2005 г. А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, А.П. Киселёв, А.А. Сизых

Изотермический резервуар для транспортировки сжиженного углекислого газа представляет собой теплоизолированную емкость из тонколистовой стали в виде цилиндрического сосуда с эллиптическими днищами, опирающегося на четыре опоры и нагруженного внутренним избыточным давлением, собственным весом и весом продукта. Силы взаимодействия между опорами и стенками сосуда осуществляются через подкладки, показанные на рисунке в виде прямоугольников. Толщина подкладки обычно принимается равной толщине стенок оболочки. Расчеты,

выполненные с использованием теории тонких оболочек [1], показали, что напряжения в области расположения опор значительно превышают номинальные значения. В настоящей работе напряженно-деформированное состояние стенок сосуда в этой области определяется методом конечных элементов с применением объемного конечного элемента высокой точности. Учитывается влияние круглой диафрагмы с отверстиями, привариваемой к стенкам внутри резервуара, предназначенной для гашения колебаний жидкости при транспортировке.

в Г*->\ 1 j > г а да

{: }={»'

,i23456781 23456781 = {U U U U U U U U U ¿U ¿U ¿U ¿U ¿U ¿U ¿U ¿и п ^

96 X1

.2345678 1 2 3 4 5 6 7.. ^ U nU nU nU nU nU nU U zU zU zU zU Z» Z» ZU ,Z'v

"V..]:

{VГ} = {u 1

,123456781 2345678 1 = {U U U U U U U U U » » ги ги » » rU rU z ^

96X1

. 2345678 1 23456

^ и » » » » » » z и QU qu qu qu qu qu

7 8 1 1 ~\

,eU,ev -w •••}•

(1)

Перемещения аппроксимируются через вектор узловых неизвестных в локальной системе координат

{v }=[a]{v; },

(2)

где {V}Т =\иум>}- строка перемещений внутренней

точки конечного элемента; =

3x96

Мг {0}T {0}T {0}T Мг {0}T {0}T {0}T MT

1x32 1x32 1x32

Рис. 1. Схема расположения опорных подкладок резервуара

Вследствие наличия двух плоскостей симметрии конструкции в качестве расчетной схемы принималась 1/4 цилиндрической части сосуда, представляемая в виде совокупности отдельных объемных восьмиугольных конечных элементов (КЭ), взаимодействующих между собой в узловых точках. Установлено, что влиянием днища на уровень напряжений в области опоры можно пренебречь. За узловые неизвестные отдельного конечного элемента выбирались компоненты вектора перемещения в направлениях главных осей координат и их первые производные. Таким образом, матрица жесткости разработанного авторами конечного элемента [2-4] имеет размеры 96x96.

Использовались геометрические и физические соотношения теории упругости. При представлении оболочки как трехмерного тела она разделялась по толщине на несколько конечных элементов, что позволило получить полное представление о распределении напряжений в стенке сосуда в местах действия опор с учетом того, что толщина оболочки в этих областях изменяется вследствие наличия подкладок.

Положение узловых точек произвольного восьмиугольного КЭ определялось тремя координатами: г, z и 9 - в радиальном, осевом и окружном направлениях соответственно. Для выполнения численного интегрирования произвольный восьмиугольный элемент отображался на кубический элемент в локальной системе координат п, С , причем - 1< п, С - 1-

Векторы перемещений узловых точек конечного элемента в локальной и глобальной системах координат имеют вид

матрица функций формы.

Элементами матриц-строк являются поли-

номы Эрмита третьей степени.

Глобальные координаты г, 9, Z связаны с локальными координатами п, С трилинейными соотношениями

X =

1-£, 1 -п 1 -Z

.. +

2 2 2 1 -£, 1 -п 1+Z

X1 +....

х8 =MT {X у},

(3)

где под символом X понимается глобальная координата.

Дифференцированием (3) определяются производные глобальных координат в локальной системе ((...г^,9^...9 ^,и локальных координат в

глобальной системе ((,г,п,г...п^,£,г—С,г ), с

использованием которых определяются производные перемещений в локальной и глобальной системах координат

эх эхэг эхэе ахая. эх = .

Э£, = эг Э9 Э£, + Э£, ЭС = ".;

dr Э^ dr Эп dr dZ dr ' dZ

(4)

где под символом X понимается перемещение u, v или w■ С использованием (4) формируется матричное соотношение между векторами узловых неизвестных (1)

{л }=[r {}.

(5)

3x1 3 x96

Деформации в цилиндрической системе координат определяются через перемещения выражениями:

дu 1дu u

егг = ; е99 = + _;

дг г д9 г

Эw 1 дu + дv

дz ' г9 г Э9 дг' Эv v + 1 Эw Эw + дu

г9 дz г г д9 ' гг дг дz'

которые можно представить в матричном виде

= = }=[в]{; }, (6)

6х\ 6x3 3x1 6x3 3x96 96х1 6х96 96х1

где {е}Т = {е гг, е гг, е ее, у гг, у г9, у г9 } - вектор-столбец

IX 6

относительных деформаций; [о]- матрица операторов дифференцирования.

Напряжения выражаются через соответствующие им деформации

{а}=[с ] {е}, (7)

6X1 6X6 6X1

где {а}Т = {а гг ,а гг , аее ,т гг ,т ге ,т ге} - матриВД-

1X 6

столбец напряжений; [с] - матрица упругости для изотропного материала.

Матрица жесткости конечного элемента формировалась на основе условия равенства работ суммы внутренних и внешних сил, действующих по всему объему элемента [5]

/{е}г {а}* = |{к}Т {Р}<Ь,

V 5

которое с учетом (6), (7), (2) и (5) может быть представлено в виде

[к ]{Г } = {/ }, где [к] = [я]Т |[в]Т [С][в^[я] - матрица жестко-

V

сти конечного элемента; [/] = [я]т |[^]Т {р}^ -

вектор узловых сил.

Интегрирование выполнялось численно в локальной системе координат с использованием квадратурной формулы Гаусса.

Формирование матрицы жесткости всей конструкции выполнялось по стандартной конечно-элементной процедуре [5].

В результате решения системы линейных уравнений (использовался метод исключения по Гауссу [6]) определялись узловые перемещения и их первые производные. По формулам (6), (7) вычислялись деформации и напряжения, распределенные по толщине оболочки.

Использование высокоточного объемного КЭ с 12-ю степенями свободы в каждом из восьми узлов имеет следующие преимущества по сравнению с традиционной процедурой, когда за неизвестные узловые параметры принимаются только три компоненты вектора перемещений: 1) эпюры напряжений не имеют разрывов в узлах сетки; 2) наличие узловых производных компонент вектора перемещений позволяет учитывать в краевых условиях кроме перемещений также углы поворота. Это позволяет отказаться от использования теории тонких оболочек при расчете сосудов и при сравнительно редкой сетке узлов получать достаточно высокую точность.

Числовые примеры

Пример № 1. Рассматривалось напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки конечной длины при действии в средине пролета двух равных по величине и противоположных по направлению сосредоточенных сил, приложенных по концам одного диаметра. Расчет такого типа задач приводится в ряде научных работ. Были приняты следующие исходные данные: радиус Я = 4,953 м; толщина стенок к = 0,094 м; модуль упругости материала Е = 10,5-106 КПа; коэффициент Пуассона V = 0,3125; длина цилиндра Ь = 10,35 м; величина сжимающей силы Р = 100 кН. Вследствие наличия трех плоскостей симметрии рассматривалась восьмая часть оболочки. Расчеты были выполнены в двух вариантах: в первом применялся разработанный объемный конечный элемент; во втором варианте использовалась программа АРМ "^пМасЫпе, разработанная научно-техническим центром автоматизированного проектирования машин.

При толщине оболочки к = 0,16 м перемещения точки приложения силы оказались соответственно равными 0, 02471 м и 0, 02415 м, что свидетельствует о хорошем совпадении результатов расчета.

Пример № 2. Был выполнен расчет эксплуатируемого резервуара со следующими характеристиками: внутренний диаметр цилиндрической части резервуара о = 1,2 м; толщина стенок резервуара к = 0,0066 м; внутреннее давление q = 1,8 МПа; размер опорной подкладки в окружном и осевом направлениях а = = 0,15 м и Ь = 0,3 м соответственно; угол между вертикальной плоскостью и плоскостью, проходящей через ось резервуара и центр подкладки в = 0,610865 рад.; модуль упругости и коэффициент Пуассона материала Е = 210000 МПа и V = 0,27 ; толщина подкладки к = = 0,0066 м; плотность материала сосуда у с = 7870 кг/м3; плотность продукта у п = 1040 кг/м3. Динамический коэффициент принят равным 2.

В расчетной схеме считалось, что на одной опорной подкладке резервуар был неподвижен, а на другой осуществлялось свободное скольжение. Расчеты выполнялись при наличии и отсутствии диафрагмы в опорной зоне (см. табл. 1).

В таблице представлены вычисленные значения эквивалентного напряжения во внутренних и наружных волокнах оболочки на линии ох (см. рис. 1) для различных характеристик конструкции и видов нагрузки. Эквивалентное напряжение вычислялось по формуле

Для рассматриваемой оболочки эквивалентное напряжение а °, вычисленное без учета собственного веса и при отсутствии опорной подкладки и диафрагмы, является номинальным а ° = 140,9 МПа.

Расчеты выполнялись для следующих трех вариантов сетки дискретизации с числом элементов и, соответственно, числом степеней свободы системы: 234, 4233; 540, 9717; 680, 12234. Различие в результатах оказалось незначительным.

Таблица 1

Вычисленные значения эквивалентного напряжения в волокнах оболочки

Толщина подкладки Диафрагма Вес ае, МПа Координата х, м

0,001 0,076 0,15 0,22 0,29 0,36

1 0, 0066 есть есть ^внугр 120 118 131 151 148 145

2 ^нар 87 87 108 133 139 140

3 0, 0066 нет есть ^внугр 126 123 136 155 151 148

4 ^нар 84 84 104 130 138 140

5 0, 0066 нет нет ^внугр 120 118 131 151 148 148

6 ^нар 87 87 108 133 139 140

7 0, 0 нет есть ^внугр 148 148 148 148 147 146

8 ^нар 131 131 133 137 139 141

Видно, что максимальное увеличение напряжений по сравнению с номинальным составляет 10 % (3-я строка таблицы).

Литература

1. Резервуары изотермические для сжиженного углекислого газа. Нормы и методы расчета. М., 1979.

2. Николаев А.П., Киселёв А.П., Юшкин В.Н. Восьмиугольный конечный элемент для расчета толстостенных оболочек вращения // Сб. тр. междунар. науч.-техн. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000.

Волгоградская сельскохозяйственная академия

3. Николаев А.П., Киселёв А.П. Использование теории упругости трехмерного тела в расчетах оболочек // Сб. тр. междунар. науч. конф. «Архитектура и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы». М., 2001.

4. Николаев А.П., Киселёв А.П. К расчету оболочек на основе метода конечных элементов // Вестн. Российского унта дружбы народов. Сер. Инж. исследования. М., 2002.

5. Постнов В.А., Хархурим Н.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л., 1974.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М., 1968.

18 октября 2004 г.

УДК 530.145:535.14

РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ КОНСТРУКЦИИ МИКРОЛАЗЕРОВ, АКТИВИРОВАННЫХ НЕОДИМОМ

© 2005 г. С.А. Вызулин, В.Н. Значко

Введение

В настоящее время лазеры получили широкое применение в науке и технике. Наиболее часто применяемые полупроводниковые лазеры имеют множество недостатков (высокую расходимость пучка, малую длину когерентности излучения и т.п.) и их нельзя использовать во многих устройствах. Активно проводятся работы по созданию и исследованию микролазеров с диодной накачкой [0-0].

В твердотельных микролазерах с диодной накачкой обычно используются кристаллы, активированные неодимом (№:УАв, №:УАВ, №:УУО, №:вУО, Ш:С8В, №:Ь8В). Эти кристаллы имеют достаточно широкий разброс характеристик, поэтому при создании нового устройства на их основе необходимо точно рассчитать его параметры.

В работе выполнено численное моделирование работы микролазеров с целью нахождения оптимальных параметров конструкции - длины активного кристалла и коэффициента отражения выходного зеркала.

В модели не учитываются дифракционные и тепловые эффекты. Тем не менее эта модель применима для расчета микролазеров, работающих при небольших мощностях накачки (менее 5 Вт).

Модель для расчета микролазеров

При моделировании процесса генерации стимулированного излучения микролазером предполагается, что внутри резонатора распространяется пять волн: накачки, прямая и обратная обыкновенные волны стимулированного излучения, прямая и обратная необыкновенные волны стимулированного излучения. Введем обозначения: интенсивность накачки 1Р, амплитуды прямых волн стимулированного излучения -а^), а3(г), амплитуды обратных волн стимулированного излучения - а2^), а4(г). Здесь г - пространственная координата вдоль оси излучения лазера (начало отсчета совпадает с входным зеркалом). Предполагается, что зеркала резонатора напылены непосредственно на входную и выходную грани кристалла, по-