CC BY
15
Численные методы расчета конструкций
ВЕКТОРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОБЪЕМНОГО ШЕСТИГРАННОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
А. П. КИСЕЛЁВ, канд. техн. наук, доцент
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
Для учета смещений конструкции как жесткого целого предлагается векторная аппроксимация полей перемещений, реализованная при формировании матрицы жесткости шестигранного восьмиузлового конечного элемента, за узловые неизвестные которого выбирались векторы перемещений узловых точек и их первые производные.
Вектор перемещений внутренней точки объемного восьмиугольного конечного элемента аппроксимировался через вектор-столбец узловых перемещений
0)
32*1
где = - вектор-строка
1x32
векторов перемещений узловых точек в локальной системе координат конечного элемента, изменяющихся в пределах от -1 до +1; {у/)Т - вектор-строка аппроксимирующих функций.
Компоненты вектора перемещений в локальной системе координат £,77,выражаются через компоненты вектора перемещений в глобальной
криволинейной системе координат в',в2
32x1 32x32 32x1
где {у;} вектор-строка
1x32
векторов перемещений узловых точек в глобальной системе координат; [¿] - матрица преобразования.
Вектор перемещений произвольной точки сплошной среды может быть определен
У = ита:, (3)
где и"- проекции вектора перемещений на направления криволинейной системы координат в" {т = 1,2,3).
Производные вектора перемещений V в криволинейной системе имеют вид
^ +//Й3, = 1,2,3), (4)
£70 ¿76/
где fl.fl.fl - многочлены, содержащие компоненты вектора перемещений и их первые производные.
С использованием (4) можно получить зависимости для векторов узловых точек конечного элемента, которые в матричном виде представляются следующим образом
{/;}. (5)
32x1 Пх95 96x1
где
{/■;}= {и'УУУ.....и'.....и',....«-.....И",...,и".....гЛ...,/,",...,/;2'...../,",...};
[л] - матрица, ненулевыми элементами которой являются векторы базисов узловых точек конечного элемента.
Учитывая зависимость (5), соотношение (1) можно привести к виду
(6)
1x32 Лх96 96x96 %х)
где
32x32 Лх96 32x95 96x96
Векторы базисов узловых точек, определяющие матрицу [Л], можно представить через базисные векторы внутренней точки конечного элемента тогда
(7)
С учетом (7) зависимость (6) может быть записана в виде
V = +№+к]й3°)[с]{/;}. (8)
Приравнивая правые части выражений (8) и (3) можно получить формулы для каждой компоненты вектора перемещений произвольной точки
«МИгкМ/;}- (9)
Последовательным дифференцированием (9) по криволинейным координатам и приравниванием правых частей полученного равенства и выражения (4), определяются интерполяционные зависимости производных компонент вектора перемещений
/:=кг к,М/;}={у.ЖШмШ <«»
где У.я = + ¥„Л.„ + У,сС.т / (К т = 1,2,3)
№ ={и\и»,и*,и\иш,и»,и*',и»и».....и2'.....«",..};- вектор -
строка компонент вектора узловых перемещений; [/*/] - матрица преобра-
зования, размером 96x96.
В отличие от интерполяционных зависимостей, в которых каждая компонента вектора перемещений внутренней точки конечного элемента аппроксимируется узловыми значениями этой же компоненты и ее производными
В соотношениях (9) и (10) любая из компонент вектора перемещений зависит от всех трех составляющих компонент узлового вектора и их производных.
Преимущество разработанной векторной аппроксимации полей перемещений (9, 10) объемного восьмиузлового элемента в сравнении с классическим способом (11), основанном на независимой интерполяции компонент вектора перемещений получено в расчетах оболочек с большими градиентами кривизны, в расчетах конструкций со значительными смещениями как жесткого целого и подтверждается конкретными численными примерами. В качестве одного из них рассматривалась оболочка, срединная поверхность которой представляет собой форму усеченного эллипсоида вращения. Оболочка нагружалась равномерно распределенным внутренним давлением интенсивности д = 4 мПа (рис.). Были приняты следующие исходные данные: А = 1.0 м; В = 0.5 м; £> = 0.9 м; Е = 2105 мПа; у= 0.3; А = 0.01 м, А и В являются главными полуосями эллипса.
Расчеты выполнялись в двух вариантах: в первом реализовывалась традиционная независимая аппроксимация полей перемещений, во втором - предложенная векторная аппроксимация. В качестве элемента дискретизации использовался восьмиугольный объемный конечный элемент с матрицей жесткости 96x96.
Величины кольцевых напряжений оболочки при х = 0,9 м в зависимости от величины смещения конструкции А как жесткого целого приводятся в таблице. Анализ табличного материала показывает, что результаты вычислений в первом и втором вариантах расчета при жестком закреплении оболочки (А = 0.0 м) практически одинаковы и при достаточном числе конечных элементов совпадают с аналитическим решением. А при незначительном смещении оболочки как жесткого целого результаты напряжений, полученные с использованием традиционной независимой аппроксимации отличаются от первоначальных и с увеличением А становятся неприемлемыми. В то время как напряжения, вычисленные с использованием векторного способа аппроксимации, остаются постоянными независимо от Д и лишь при величине смещения 4,8 м, что больше чем в пять раз превышает размеры самой конструкции, несколько отличаются от полученных аналитически.
(И)
Рис. Усеченный эллипсоид вращения, загруженный внутренним давлением
Таблица
Величина жесткого смещения Л, M Кольцевые напряжения (Тк, мПа
Вариант расчета
I II
0.00 126.2 125.6
0.01 99.7 125.6
0.03 42.1 125.6
0.05 -6.02 125.6
4.80 -2056.5 124.7
Аналитическое решение <ТК =125,3 мПа
Таким образом, использование векторной аппроксимации полей перемещений конечного элемента позволяет эффективно исследовать напряженно-деформированное состояние конструкций при значительных смещениях их как жесткого целого.
VECTORIAL APPROXIMATION OF FIELDS OF DISPLACEMENTS OF A SPATIAL FINITE ELEMENT WITH SIX FACES
Kiselyov A. P.
For the account of displacement of designs as rigid body whole the vectorial approximation of fields of transitions realized is offered at shaping a stiffness matrix of a finite element with six faces and eight nodes.
