К расчету оболочек на основе метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

К РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ А.П. Николаев, А.П. Киселёв

Кафедра Мелиоративного и водохозяйственного строительства Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии,

400002, Волгоград, ул. Институтская, 8

В работе приводится алгоритм формирования матрицы жесткости объемного восьмиугольного конечного элемента и дан пример расчета тонкостенной цилиндрической оболочки сжатой в середине пролета двумя диаметрально направленными сосредоточенными силами.

В большинстве случаев для прочностного расчета тонких оболочек на основе метода конечных элементов (МКЭ) используется теория тонких пластин и оболочек, основанная на ряде допущений. Такой подход к проблеме значительно ограничивает область применения МКЭ, так как с увеличением толщины оболочки также возрастает погрешность вычислений. Для расчета оболочек средней толщины требуются объемные конечные элементы.

В представленной работе для расчета оболочек на основе МКЭ предлагается использовать теорию упругости трехмерного тела и объемный восьмиугольный конечный элемент. Это позволят использовать полученный алгоритм в расчетах оболочек с любой толщиной /1,2/. Тело, занимаемое оболочкой, представляется в виде совокупности отдельных восьмиугольных конечных элементов, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений угловых точек и, V и м> в направлениях осей координат г,г, в и их первые производные иг, и2, Ыа, Уг, V* М>г, М!2, \\>0-

Вектор перемещений узловых точек конечного элемента будет иметь вид

^Уг}={4\и\и\и\и\и\и\и&,и1г,и2г,и1,и4г,и*г,и6г,и7г,и*г,

96X1 ....... ^

и\ , и3,, и*: ,и5г ,и6г ,и\, «• У0 ,и2в, иъв, и*д, и]0, ив, и]0, и*в, V1IV1

Для выполнения численного интегрирования по объему конечного элемента произвольный восьмиугольник с восьмью узловыми точками 1 (}),2(/),3(к),4(1),5(т),б(п), 7(р),8(Ъ) в глобальной системе координат г,г, в отображался на кубический элемент в локальной системе координат г/, £. Локальные координаты кубического элемента изменялись в пределах -1 << 1.

Зависимость между глобальными координатами г, г, в и локальными 7], ^ конечного элемента определяется выражением

Л, координаты узловых точек в системе Г, г, в.

Вектор узловых неизвестных в локальной системе координат можно получить путем перемножения вектора узловых неизвестных в глобальной системе координат на матрицу преобразования

{г/}= [«] {у; , о»

96X1 96Л'96 96X1

где

}7 = ,и2 Iй* $ Iй*£, ,и*4 ,14^ ,и7^ ,

1X96 (4)

^,7 ’ ^,77 ’ ^,17 ’ и,П ’ ^,<7 ’ 7} ’ ^,Г) ’ ^,7} ’ ^

[Щ - матрица преобразования координат.

Перемещения внутренних точек конечного элемента определяются через перемещения узловых точек с помощью аппроксимирующих функций, определяемых из выражений

/г,(а)= — (а3 - За+ 2); к2(а) = - — (а3 - За-2);

4 4 (5)

къ(а)=-(а3 -а2 -а + 1);/г4(я) = -(а3 +а2 -а-\),

где

а = ^,7],С-

В случае трехмерного напряженно-деформированного состояния векторы деформации и напряжения будут содержать ПО шесть компонент, соответственно £ г,£ гТ^в’У п’У гв’У гв

И СГГ , <7, , (Уд , ТГ1 , Тгд , Xгд .

Компоненты вектора напряжений выражаются через соответствующие им деформации матричным соотношением

(<Т} = [С]{4 (6)

6X1 6X6 6X1

где

{сг}7 = {<7,, <7,, <70, Тг,, тг9, т1в } - матрица столбец напряжений;

1X6

{е}1 = {ег, 8г, ед, у п, у гв ,угв} - матрица столбец деформаций;

1X6

[С] - матрица упругости.

Предполагая, что в пределах конечного элемента материал оболочки будет изотропен матрица [С] представляется в виде

[с]=

£(1-у)

(1 + уХ1-2у)

1

V

1 -V У

1^У

О

V У

1 -V 1-у 1 к У

1-У

о

1 -V 1

0

0

О

О

О

О

О

О

О

О

1-2 у 2(1 -у)

О

О

о

о

о

о

1-2у

2(1-у) О

О

о

о

о

о

\-2у 2(1 -у\

где

Е - модуль упругости материала;

V- коэффициент Пуассона.

Компоненты вектора деформации могут быть выражены через компоненты вектора перемещения и,у,м> матричным соотношением

6X1 6X3 3X1

(Ю)

где

{К}7 = {и, V, И1} - вектор перемещений;

О

3X1

М-

8_

дг

О

1_

г

д_

дг

1А

г дв О

О

д_

дг

О

д_

дг

О

1_д_ г дв

о

1А

г дв

о

д__\

дг г

д_

дг

-матрица операторов дифференцирования.

Матрица жесткости конечного элемента формируется на основе условия равенства работ суммы внутренних и внешних сил, действующих по всему объему элемента

(11)

Интеграл левой части равенства (11) представляет собой выражение работы внутренних сил и берется по всему объему конечного элемента, а интеграл правой - работы вектора внешних сил, заданного компонентами р), р2, Рз по поверхности элемента.

Равенство (11) с учетом (1-10) можно привести к виду

(>2)

96X96 96X1 96X1

где

[ЛТ] - матрица жесткости конечного элемента в системе координат г, г,

- вектор сил.

Интегрирование, необходимое при формировании матрицы жесткости конечного элемента выполнялось численно при помощи трех точечных квадратур Гаусса в локальной системе координат ^ Т], С,. Формула численного интегрирования имеет вид

|Л f{r,z,в)rdrdzdв = 11| /[г,2,в]\&(4,Т1,£У&т1йС =

-1-1-1 (13)

т~\ п=\ А=1

где

|Л(^т, Т}п, )| - абсолютная величина Якобиана;

^т, т/п, 4/г - локальные координаты внутренних точек конечного элемента;

Нт,Нп>Н}, - весовые коэффициенты.

В качестве примера использования объемных конечных элементов рассчитывалась цилиндрическая оболочка конечной длины, сжатая в середине пролета равновеликими диаметрально направленными к оси цилиндра силами /3/. Со следующими исходными данными: длина оболочки 10,35 м; радиус 4,953 м; толщина стенок 0,094 м; величина одной силы 100 кН; модуль упругости 10,5x106 кПа; коэффициент Пуассона 0,31 Результаты вычислений при различном числе конечных элементов сведены в таблицу. В таблице приводятся значения прогибов оболочки под силой м> иИ'в метрах. Звездочкой помечены значения, полученные в /3/ при использовании двумерных конечных элементов треугольной формы.

Таблица. Результаты вычисленных прогибов оболочки с использованием двумерных треугольных элементов и объемных восьмиугольных элементов

№ п.п. Количество Прогиб оболочки под Количество Прогиб оболочки под

двумерных силой объемных силой

конечных конечных

элементов элементов

1 1x1 0,11046 1x1x1 0,00064

2 2x2 0,11765 3x3x3 0,05812

3 • 3x6 0,11817 1x3x3 0,05846

4 5x14 0,11810 1x10x10 0,11207

5 6x20 0,11807 1x12x12 0,11339

6 1x14x14 0,11431

Как видно из таблицы результаты, полученные разными вариантами конечных элементов, практически совпадают, что говорит о достаточной точности разработанного алгоритма. В то же время использование объемных элементов свободно от ограничений и позволяет рассчитывать оболочки любой толщины, значительно облегчается расчет оболочек из композитных материалов, оболочек со ступенчатой толщиной. Позволяет исследовать зоны концентраций напряжений в местах стыков оболочечных конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаев А.П., Киселёв А.П., Юшкин В.Н. Восьмиугольный конечный элемент для расчета толстостенных оболочек вращения// Актуальные проблемы механики оболочек: Сборник научных трудов международной конференции - Казань, 2000. - с.27-31.

2. Николаев А.П., Киселёв А.П. Использование теории упругости трехмерного тела в расчетах оболочек // Сб. трудов междунар. конф. «Архитектура и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы» -Москва, 2001. - с58-59.

3. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Киселёв А.П. Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 // Изв. ВУЗов, сер. Строительство. - 1998. - №2.

ON ACCOUNT OF SHELLS ON THE BASIS OF FINITE ELEMENT METHOD A.P. Nicolaev, A.P. Kiseliov

Department of Reclamation and Water Supply Building Volgograd State Agricultural Academy Institutskaya st., 8, 400002 Volgograd, Russia

In this work, an algorithm of formation stiffness matrix of three-dimensional eight-node finite element is presented and example of the analysis of thin cylindrical shell loaded by two centrally located and diametrically opposed concentrated forces is given.

Анатолий Петрович Николаев родился в 1940 г., окончил в 1961 г. Волгоградский институт инженеров городского хозяйства. Доктор техн. наук, профессор, член -корреспондент Российской академии естествознания, зав. кафедрой «Мелиоративное и водохозяйственное строительство» ВГСХА. Автор 83 научных работ в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики.

А.Р. Nicolaev (b. 1940) graduated from Volgograd Institute of Civil Building Engineers in 1961. DSc (Eng), Professor, corresponding member of Natural Sciences Academy of Russia. Author of 83 publications.

Анатолий Петрович Киселёв родился в 1969 г., окончил в 1993 г. Волгоградский сельскохозяйственный институт. Кандидат техн. наук, доцент. Автор 25 научных статей.

А.Р. Kiseliov (b. 1969) graduated from Volgograd Agricultural Institute in 1993, phD. Author of 25 publications.