Математическая модель, описывающая магнитно-импульсную обработку упругопластических заготовок Текст научной статьи по специальности «Физика»

Alkhimova Tatiana Aleksandrovna, student, [email protected], Russia, Ти1а, Ти1а State University

УДК. 621.7

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ОПИСЫВАЮЩАЯ МАГНИТНО-ИМПУЛЬСНУЮ ОБРАБОТКУ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАГОТОВОК

А.Н. Пасько, А.Е. Киреева, Н.С. Геча

Представлены основные соотношения, описывающие электродинамические процессы при магнитно-импульсной обработки упругопластических заготовок.

Ключевые слова: магнитно-импульсная обработке, метод конечных элементов, установка, индуктор, упругопластическая заготовка.

Модель электродинамических процессов в электромеханической системе строилась на основе следующих гипотез [6]:

токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости;

в системе «установка - индуктор - заготовка» отсутствуют ферромагнетики.

распределение токов, а следовательно, объемных сил и температур симметрично относительно оси индуктора; многовитковый индуктор представляется как набор электрически связанных витков;

деформации и перемещения индуктора по сравнению с заготовкой считаем малыми, поэтому задачу механики для индуктора не решаем;

заготовку будем считать осесимметричной, а ее материал - упруго-пластическим;

время процесса мало, и теплопередача не происходит.

Первое предположение избавляет от необходимости исследования поля в диэлектриках. Оно может быть вычислено через токи, текущие в проводниках. Считается, что все возмущения поля мгновенно распространяются в исследуемой области.

Второе предположение дает возможность исключить влияние пути изменения магнитного поля на свойства материала и таким образом линеаризовать задачу.

Приведенные выше предположения приводят к квазистатической задаче электродинамики. Уравнения Максвелла в этом случае

(1Ш = 0, (1)

г°гв = / от], (2)

= 0, (3)

Э в

ШЕи =--, (4)

и Э г

где В - вектор магнитной индукции, Тл; Е - напряженность электрического поля, В/м; Еи - напряженность индуцированного электрического поля,

В/м; ] - плотность тока; /0 - магнитная постоянная; /=4^-10" ; / - относительная магнитная проницаемость.

Для замыкания системы необходимо добавить закон Ома с учетом движения среды и напряженности стороннего электрического поля Ес, создаваемого батареей конденсаторов, и закон сохранения заряда

] = у(Е„ + Ес + у х В), (5)

^ + ¿щ = о, (6)

(М

где 7 - удельная проводимость материала, 1/(Омм); у - скорость в данной точке и закон сохранения заряда; р е - плотность заряда.

Выражение для вектора плотности пондеромоторных сил имеет вид

I = ]хВ. (7)

Для описания движения элементов электромеханической системы в систему уравнений были введены уравнения движения деформируемого твердого тела с учетом гипотезы о малых деформациях:

^ +р +/г = 0; (8)

7 (г2

1

е а = ~ а 2

Эиг Эи аЛ

г + J

, г = 1..3, а = 1..3, (9)

Эха Эхг ч а 1 У

где оа, еа - компоненты симметричных тензоров напряжений и деформаций; иг - компоненты вектора перемещений; /г - компоненты вектора пон-

деромоторных сил.

Эти уравнения являются общими как для упругих, так и для упруго-пластических сред. Для упругой среды связь напряжений и деформаций можно записать в виде

( А I

*а = Ша + 2/1 еа-Аба I, (10)

V 3 У

где к - объемный модуль, / - упругий модуль сдвига, А = егг.

В уравнения Максвелла входят параметры электромагнитного поля. Оно существует не только в проводниках, но и в окружающей элементы электромеханической системы среде. Чтобы исключить необходимость рассмотрения поля вне проводников, в системе уравнений электродинами-

ки параметры магнитного поля были выражены через плотность тока. С целью обеспечить тождественного выполнения равенства (1) введем векторную функцию A, называемую векторным потенциалом магнитного поля, так, что

B = rot A . (11)

Тогда уравнение (2) перепишется в виде

rot rot A = j (12)

mm о

или, полагая divA = 0 и m=const,

v2 a = -mmо j, (13)

где V2 - оператор Лапласа.

Уравнение (4) преобразуется следующим образом:

ЭА

dt

Решение уравнения (13), исчезающее на бесконечности, имеет вид

A(a)=тто г къ№, (15)

4p у a - b

где а, b - радиус-векторы двух произвольных точек, принадлежащих проводникам; V - объем, занимаемый проводниками. Подставим Еи и А в выражение закона Ома:

ЭА

j = g(EC —— + vхrotA). (16)

Используя выражение (15) и преобразовывая двойное векторное произведение, дифференцируя по времени и пренебрегая скоростями, получим

Еи . (14)

j(a) = g

или после преобразований

Ее (a)j

4p

VV

dj(b) dV(b)

dt la - b|

J j

тто г ЭХЬ УУ(Ъ) = Ес (а) _ ](а) . (17)

4л V ^ |а - Ъ| С у Получили интегральное по пространству и дифференциальное по времени уравнение относительно плотности тока. Все дальнейшие уравнения для математической модели электродинамических процессов будут основаны на (17).

Задачу электродинамики для МИОМ можно считать осесимметрич-ной. При этом одновитковый индуктор (или виток) представляется кольцом прямоугольного сечения, а многовитковый - набором таких колец. Так как токи текут исключительно по окружности (следствие осевой симметрии), вектор плотности тока характеризуется только одной компонентой. Тогда можно перейти от векторных уравнений к скалярным, проинтегри-

ровав (17) по длине витка индуктора и представив объемный интеграл в виде интеграла по площади и интеграла по контуру и перейдя к цилиндрическим координатам. С учетом того, что

|Е с Л иС] I

Ес • Л _ иа, (18)

еще раз проинтегрируем (17) по контуру и получим

110 г || _ТТ_ _ 2рг .

¡1 ¡2

4 ^ _ Пс]--7. (19)

Б1Л12 Г12 д 7 а

Выражение 110 IIЛЛ2 есть ни что иное, как взаимная индуктив-

4р ^ г

1 12 12

ность двух элементарных круговых контуров ¡1 и 12. Перепишем (19) с учетом этого:

|Ц/1,21, /2,22)(Г2,22) _ ис7 _^ £ а I а

(20)

III I л - . Л/1 < Л1

ДГЬ /2, 21, 22)

||0 г ,Л11Л12

4р ^ г12

где 7 - плотность тока; - напряжение на конденсаторной батарее; а -

удельная проводимость; С - емкость конденсаторной батареи; £ - общая площадь сечения индуктора и заготовки.

Дополнительно к (20) требуется уравнение изменения напряжения на конденсаторе со временем. Оно получается с использованием закона сохранения заряда на пластинах конденсатора и выглядит так:

лиС] _ 1

| , (21)

Л С £

£витка

где £витка - площадь сечения витка индуктора.

Интегрирование в (21) осуществляется по площади сечения витка индуктора. Таким образом, полная система дифференциальных по времени и интегральных по пространству уравнений относительно плотности тока и напряжения на конденсаторе, описывающая электрические процессы в одновитковом индукторе и заготовке, выглядит следующим образом:

IЩ.21,/2,22)Щ^1 а(/2,22) _ ис7 _^

£ д? 7 а

Л/С/ _ 1

17^ 22)Л£^ 22).

Л С г,

Для решения системы (22) необходимо задать начальные условия-распределение плотности тока и напряжение на конденсаторной батарее в начальный момент времени:

А

г-о

о; иг

А

г-о

и

о

Для обобщения математической модели (22) на случай многовитко-вого индуктора необходимо учесть дополнительно закон сохранения заряда между витками. Интегральная форма

Г= Г

(23)

31

где п - номер витка индуктора; Бп - площадь витка с номером п; Б1 - площадь витка под номером один.

Для учета закона сохранения заряда между витками был использован метод множителей Лагранжа, т.к. другие способы приводили к нарушению закона сохранения энергии. Функционал невязки для уравнения (22) с учетом дополнительных слагаемых имеет вид

/ \2

Р = Г Г Ь(гЪ 2Ъ r2, ^2) (r2, *2)" ^ Эг

■и.

сА 1- А 7 а

N

, г -у п-Бп-2 ш

V

г А (б1

-1 Э г 1

Г ,

Эг

п

(Б (гь г1) +

((Б,

(24)

где 1 п - множители Лагранжа; а А и Ап - плотности тока в первом и п-м витках.

Дифференциальная по времени форма записи множителей Лагранжа была выбрана для удобства их включения в систему дифференциальных по времени уравнений, получаемую после дискретизации.

Решение задачи механики для индуктора не является целью данной работы, поэтому индуктор будем считать неподвижным. С точки зрения электродинамики индуктор является набором электрически связанных цилиндрических колец, а заготовка - цилиндрической оболочкой. В заготовке отсутствуют другие электрические поля, кроме индуцированных. Поэтому уравнение для распределения плотности тока в заготовке можно получить из уравнения для одновиткового индуктора (17), приняв нулевым напряжение на конденсаторной батарее:

Г ¿01,4, Г2, *2) А^Т21 (Б (Г2, *2) = 2ЛГ1

Б з + Би

а

Пондеромоторные силы вычислялись как производные от энергии по координате при неизменных токах [4]:

1

/г = 1 / ^О1'Гъ:2)) (rl,zl)J (Гг. ^Н^^);

2 ^ 3 + Би дг1

л = 1 $ ЭЩ,*Ь 22).

2 S. + S „ ®1

(25)

где /Г. / - плотности пондеромоторных сил по осям г и г.

Так как структура уравнений для индуктора и заготовки одна и та же. после дискретизации возможно сформировать общую систему уравнений. описывающую изменение распределения плотности тока и напряжения на конденсаторной батарее со временем.

Заготовку будем рассматривать осесимметричной, материал - упруго-пластическим. Будем использовать деформационную теорию для моделирования поведения заготовки. Предполагаем деформации заготовки малыми. Связь между компонентами деформаций и перемещений в случае осесимметричной деформации имеет вид [5]

0иг иг ды2 ды2 0иг

еГ =; £0 = ; ег ; Угг = ^ .

ог г ог ог ог

Вариационное уравнение Лагранжа с учетом даламберовых сил инерции и пондеромоторных сил имеет вид [1 - 3. 5]

$ о- ■ 5с йУ = $ (Д -рта)-5ийУ. (26)

У~ ~ У

где р - плотность материала; о. £ - тензоры напряжений и приращений деформаций соответственно; и. - векторы ускорений. перемещений. пондеромоторных сил соответственно; У - объем заготовки.

В задаче об осесимметричной деформации. когда состояния по угловой координате 0 однородны. после интегрирования по 0 получаем

$ го- -5с йБ = $ г(Д - ри) ■ 5ийБ. (27)

S ~ ~ Б

Здесь интегрирование ведется по площади Б сечения заготовки.

Для численного интегрирования полученной системы интегро-дифференциальных уравнений (22) применялся метод конечных элементов. Используются треугольные конечные элементы нулевого порядка. т.е. распределение плотности тока по элементу равномерное.

Интегрирование по площади поперечного сечения системы «индуктор - заготовка» заменено суммированием интегралов по элементам. вычисляемым по формуле

$Ь(гъ21,г2.22)йБэ » Ь(Ц.гЦм..2\м)БЭ. Б

где 1м. гЦ1. гЦ™. гЦ1 - координаты центров масс двух конечных элементов.

Для получения уравнений, наиболее близких по форме к уравнениям теории цепей, осуществлен переход от плотностей токов к токам, протекающим по элементу

Л? = Jп^п •>

где 1п- ток, протекающий через сечение элемента п\]п- плотность тока на элементе п\ площадь конечного элемента;

Получена система линейных дифференциальных по времени уравнений с постоянными коэффициентами. В данном случае конечных элементов нулевого порядка она совпадает с системой, получаемой в рамках метода магнитно-связанных контуров:

М ¿1

к~1 (28) * см

Г и с, если элемент принадлежит индуктору, где и (и = \ с начальными усло-

у [0, если элемент принадлежит заготовке,

виями /д. = 0; и^ ; к = 1, М .

В системе уравнений (28) приняты следующие обозначения: собственная индуктивность при у = к; взаимная индуктивность при у Ф к, - ток в к-м контуре индуктора; - сопротивление ]-го контура;

М - число контуров (элементов) с неизвестными токами, ],к.

При }- к в формуле (28) в знаменателе оказывается бесконечность. Однако можно показать, что эта особенность устранима при интегрировании по площади элемента. Диагональные коэффициенты матрицы индук-тивностей вычислялись по формуле

мил , Кг Г/ГСОЭфАр

Ч = 11 (, , '—-г'5 • (29>

Интегралы по углу и по площади вычислялись по методу Гаусса с 10 абсциссами, что обеспечило погрешность порядка 0,5 %. Правильность вычисления интегралов подтверждается преобладанием диагональных компонент в матрице индуктивностей и ее положительной определенностью, что гарантирует положительность энергии магнитного поля.

Порядок коэффициентов в левой части уравнения (28) системы уравнений (28) составляет 10"7 , а в левой части уравнения (29) - 105. Известно, что численные методы решения систем дифференциальных уравнений весьма чувствительны к такому разбросу величин. Часто это привозе

дит к неустойчивости и плохой сходимости решении, поэтому для улучшения устойчивости приводятся параметры к безразмерному виду по формулам

I

Ми

щ м,

М)

м

я

м,

ь =

М)

После этого система приняла вид

(30)

м

л

к=\

Интегрирование системы (30) ведётся методом Рунге - Кутта 4-го порядка по формулам

Ут+1 =У т +2к2 + 2к3 +к4),

к1 =^УтХ . _. АГ ч

(31)

— А/к о ч

ДГ

У

к4=Г(* + Д*,ут+Д/к3). Для интегрирования системы необходимо на каждом шаге вычис-сИ

лять производные — вектора

1М

Это требует решения системы линейных алгебраических уравнений

(32)

т Л о

Ь — = и 1<1

л

где и =

иС1 иС2

ис

м

С целью исключения на каждом шаге решения интегрирования системы линейных алгебраических уравнений осуществлено преобразование (32) к виду

- = Ь-1 (и - Ш). сСг

где Ь-1 - матрица. обратная матрице индуктивностей.

Матрица Ь-1 вычислялась перед началом интегрирования системы уравнений (32) методом исключения Гаусса.

При минимизации функционала невязки (24) получили систему уравнений. последующая дискретизация и учет изменения напряжения на батарее конденсаторов приводят к системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

11 ^+К А(Л п) ""-т"А( ^ =ис- Ы.

м сь м сь

I А(к.п)-к - I А(к.1)= 0. (33)

к=1 — к=1 —

йис 1

н

с

I ¡к.

йг смк=1

где

ис] =

гис. если элемент принадлежит индуктору. 0. если элемент принадлежит заготовке.

собственная индуктивность при у = к.

]к [ взаимная индуктивность при у Ф к.

1к - ток в к-м контуре индуктора; - сопротивление в ]-м контуре; иС] - напряжение в ]-м контуре; ис - текущее напряжение на конденса-

торной батарее; N - количество витков; п - номер витка. п = 1 , N; к - номер контура; М - число контуров. принадлежащих индуктору и заготовке; Н - число контуров. принадлежащих индуктору.

В системе уравнений (33) первое уравнение отражает закон электромагнитной индукции с учетом множителей Лагранжа. второе - закон сохранения тока. а третье уравнение - закон изменения напряжения на батарее.

Для решения системы уравнения (33) использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка (31).

Система «установка - индуктор - заготовка» описывалась двухкон-турной схемой замещения. Буквами «И» и «З» обозначены соответственно контуры индуктора и заготовки. С - емкость батареи конденсаторов, Яи, Ьи, Яз, Ьз - сопротивления и собственные индуктивности индуктора и заготовки, Ьиз - взаимная индуктивность индуктора и заготовки.

Для учета омического сопротивления установки и ее индуктивности в первое уравнение системы (33) введем дополнительные слагаемые, отражающие падение напряжения на токоподводе и дополнительную ЭДС индукции:

M dT, N dl / 1

dIt + I A( j, n)

dt dt

I (Ljk + ЬустА(k,1))-f + I A(j,n)-

k=1 dt n=2

-1 , М

- ли 1)= ис - I (ЯустА(кЛ) + Як5ц )1у, (34)

- к=1

где Яуст - сопротивление установки; Ьуст - индуктивность установки. На основе известных токов вычислялись силы и температуры в каждой точке сечения индуктора и заготовки.

Выражение для силы взаимодействия между двумя элементами 1 и у после дискретизации (25) имет вид

1 дЬц _ 1 дЬц рг. = 1_. • р.2 = 1_.

1 2 ¿ГУМ 1 . 1 2 э2 Цм 1

Тогда выражение для суммарной силы

r l M dLjk 7 l M dLjk

Fj =11-Jj^lilk; F7 =11-Jklilk, j 2 kti J jk; j 2 ¿1 Ъ7цм Jk,

а выражение для компонентов плотности силы выглядит следующим образом:

Fr f7

fj =——; ti =——, (35)

2pr?MSl 2pr?MSl

где St - площадь i-го элемента.

Ниже приведены выражения для радиальной и осевой компонент силы, с которой элемент действует сам на себя:

2 2 1 p r cos ф-(r - jjr COS(j) + (7 j - 7))

Fj = - mm0 j j-J-J-—djdS; Fjj = 0.

S 0 / \

э (j + r - 2rjr cos ф+ (7j - 7) )2

Считалось, что так как время процесса мало, теплопередача не происходит. Тогда формулы для скорости нагрева и температуры элемента выглядят следующим образом:

^ = ^ф! = Z.; ЗД = Го + \Adt.

dt 2nro(dS )2 pc pcs 0 peg

Для решения задачи упругопластичности применяется пошаговый метод, заключающийся в сведении нелинейной задачи пластичности к последовательности линейных задач в приращениях перемещений, деформаций и напряжений [7]. Меридиональное сечение заготовки разбивается на треугольные конечные элементы, причем сетки подзадач электродинамики и механики совпадают. После дискретизации имеем систему дифференциальных уравнений, описывающую движение узлов одного элемента, когда он находится в упругом состоянии,

[M ]■ {u}= {DF }- [K ]■ {Дм}, (36)

где M - матрица масс; K - матрица жесткости задачи упругости,

[ K ] = 2pV [ BT ] [ D][ B ]; (37)

гцм - радиальная координата центра масс элемента; AF - вектор приращений узловых сил, действующих на элемент; A u - вектор приращений узловых перемещений; u - вектор узловых ускорений; B - матрица производных функций формы; D - матрица упругих постоянных. Здесь приращения узловых сил, вычисляемых в электромагнитном модуле, определяются разницей вычисленных узловых сил на (¡+1)-м и i-м временных шагах:

{DFi+1}={Fi+1}-{Fi}. Узловые перемещения определяются суммированием их приращений по шагам интегрирования во времени:

{ui+1}={ui }+{Dui+1}. Принимается теория изотропного упрочнения. Объёмная деформация в пластической зоне остается упругой, и для нее выполняется объёмный закон Гука:

0 = 3e Ср = e r + e z + eq = 3ks ср,

где q- относительное изменение объёма.

Модуль объёмного сжатия k для изотропного тела в случае осесим-метричной деформации имеет вид

1-2v

k

E

Модуль сдвига О связан с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуас-

Е Н сона V формулами О = -) в упругой области и О = — в пластической.

Здесь Н - касательный модуль упрочнения.

Коэффициент Ляме

Х = К--в. 3

Таким образом, матрица материальных констант £> имеет вид

х+2в X X О

(38)

X Х + Ю X о X X Х + 2в 0 ' О о ОС

Следует особо отметить, что использовать матрицу жёсткости в таком виде для пластического состояния можно, связывая приращения деформации и напряжений.

Зная текущее состояние элемента, предел текучести, накопленную деформацию и приращения внешних сил, можно определить изменение напряжённо-деформированного состояния на шаге приращения перемещений Ли и сил АР, используя для вычисления К по формуле (37) упругое или пластическое представление матрицы жёсткости.

Пластическая деформация твердого тела рассматривается в рамках деформационной теории пластичности. Приняты следующие исходные положения:

- тело изотропно;

- относительное изменение объёма мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению: в-Ъ каср или

Ав = ЗкАаср;

- полные приращения составляющих деформации Ле^ складываются из приращений составляющих упругой деформации Лее1] и пластической деформации Л

Аеу=Аееу+А€ру>

- девиаторы приращений напряжения и деформации пропорциональны: АД. = у/А£>а.

Напряжённо-деформированное состояние элемента на (¿+1)-м шаге характеризуется интенсивностью деформации £{.

= у - ^(£гг - )2 + (е;т - 8ее )2 + кII - 8ее )2 +1 + ^ + е^),

где £у - компоненты тензора деформации.

Если интенсивность деформации какого-либо конечного элемента превысила текущий предел упругости по деформациям >£е, то этот

элемент переходит из упругого в пластическое состояние. Если материал упрочняется при пластическом деформировании, то соответствующая пределу упругости деформация 8е увеличивается на величину Аее.

41

Аее =

ек

Де7 7 к

Я

Е'

Вычисление предела упругости по деформациям гек, достигнутого на шаге к, определяется суммированием:

гек =Л^Ее/с -к

Имеется в виду, что в упругой области предел упругости не изменяется, его приращения не вычисляются и равны нулю.

Накопленная пластическая деформация определяется разностью интенсивностей полной деформации £г и деформации £е, соответствующей пределу упругости:

£ = £— £ р i е ■

Применяемые итерационные методы для достижения удовлетворительной сходимости требуют соблюдения непрерывности и гладкости кривой упрочнения. Поэтому в конце упругого участка кривой упрочнения введён нелинейно-упругий участок, на котором модуль упрочнения вычисляется по формуле

= Е + (#-£), (e,£ef-<ee), (39)

ее -£/

где st - интенсивность деформации, соответствующая пределу пропорциональности.

Соотношение (39) выражает пропорциональное изменение модуля упрочнения при переходе от упругого состояния к пластическому. Предел упругости по напряжениям в этом случае будет определяться соотношени-

Н — Е

где £ер - деформация в области нелинейной упругости: £ер = ее -et.

Вектор приращений компонент тензора напряжения на шаге к в пластическом состоянии определяется по приращениям компонент деформации:

ДО£ =D- AZfc.

Вектор компонент напряжения на шаге к в упругом и пластическом состоянии суммируется по приращениям:

к

Интенсивность напряжений определяется по компонентам тензора напряжения аг/.

Ci = д/(а7Т - а ~ )2 + (о/т - аее )2 + Кг - °ее Y + + + ).

Если интенсивность деформации уменьшилась:

еI <ер +ее, (41)

то материал разгружается и переходит в упругое состояние. При нарушении неравенства (41) вновь происходит переход элемента в пластическое состояние.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (36) проводилось методом дискретизации по времени:

V = VI _1 + а м,

а1 А?2

Ащ = VI _1 А? + (42)

щ = щ _1 +Ащ,

где щ _1, vi _1 - значения перемещения и скорости с предыдущего шага шага; а1 - ускорения на текущем шаге.

Для численного решения задачи на каждом шаге интегрирования уравнений движения по времени необходимо применять итерационную процедуру со следующим алгоритмом:

вычислить вектор внешних сил, используя решение задачи электродинамики;

использовать этот вектор для вычисления вектора приращений узловых перемещений Аи по формулам (36) и (42);

откорректировать значение предела текучести с учетом упрочнения.

Если не достигнут конец временного отрезка решения задачи, повторить предыдущие шаги.

Работа выполнена в рамках Государственного задания №475.

Список литературы

1. Бондалетов В.Н., Чернов Е.И. Определение параметров схем замещения при разряде емкостного накопителя на плоскую спиральную катушку, помещенную над проводящим полупространством // Высоковольтная импульсная техника. Чебоксары, 1975. Вып. 2. С. 14-20.

2. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред / пер. с англ. О.П. Троицкого и С.В. Соловьева; под ред. Ю.К. Зарецкого. М.: Недра, 1974. 238 с.

3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для ун-тов в 10 т. 3-е изд., испр. М.: Наука,1992. Т.8. Электродинамика сплошных сред. 664 с.

5. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: учеб. пособие для втузов. М.: Высш. школа, 1979. 318 с.

6. Киреева А.Е. Повышение эффективности процессов обжима трубчатых заготовок давлением импульсного магнитного поля: дис. ... канд. техн. наук. Тула, 2006. 142 с.

7. Пасько А.Н. Развитие теории и технологии процессов холодной объёмной штамповки осесимметичных заготовок: дис. ... д-ра техн. наук. Тула, 2004. 311 с.

Пасько Алексей Николаевич, д-р техн. наук, проф., aleksey.n.pasko@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Киреева Алена Евгеньевна, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Геча Николай Степанович, студент, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

A MATHEMATICAL MODEL DESCRIBING THE MAGNETIC-PULSE PROCESSING OF ELASTIC-PLASTIC BLANKS

A.N. Pasko, A.E. Kireeva, N.S. Gecha

This article presents the basic relationships describing the electrodynamic processes in the magnetic-pulse treatment of elastic-plastic work pieces.

Key words: magnetic-pulse processing, finite element method, installation, the inductor, the workpiece is elastic-plastic.

Pasko Aleksey Nikolaevich, doctor of technical science, professor, aleksey. n.pasko@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kireeva Alena Evgenevna, candidate of technical science, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Gecha Nikolay Stepanovich, student, [email protected], Russia, Tula, Tula State University