CC BY
54
2. Математическая модель обжатия заготовки импульсным магнитным полем / В.И. Желтков [и др.] // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. Вып.3. С.229-234.
V.D. Kuchar, A.E. Kireeva
INTENSIFICATION OF MAGNETIC-PULSE PUNCHING THROUGH CONTROL FORM DISCHARGE PULS
The theoretical possibility of intensifying the process of crimping by the inclusion of non-simultaneous blocks of capacitor banks in the discharge circuit is considered. The dependencies of the influence of the geometric dimensions of the workpiece, as well as the parameters of magnetic-pulse set by the value that characterizes the change in the degree of deformation crimping tubular billet at different times include blocks of capacitor banks are shown.
Key words: inductor, the mathematical model, preparation, crimping, magnetic pulse installation of modular type.
Получено 16.09.11
УДК 621.983.044.7.001.24
В.Д. Кухарь, д-р техн. наук, проф., проректор,
(4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
А.Е. Киреева, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32,
[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ В ИНДУКТОРЕ, ДЛЯ МАГНИТНО-ИМПУЛЬСНОЙ ШТАМПОВКИ
Разработана математическая модель электромеханических процессов в индукторе для магнитно-импульсной штамповки, учитывающая его спиральность. С ее помощью проведено исследование напряженно-деформированного состояния индуктора, выявлены потенциально опасные сечения и получены распределения компонент тензора напряжений.
Ключевые слова: индуктор, математическая модель, заготовка, обжим, маг-нитно-импульснаяустановка, метод конечных элементов.
Инструментом в операциях магнитно-импульсной штамповки (МИШ) является электромагнитное поле, создаваемое индуктором. В индукторе протекают большие токи, распределенные по сечению весьма неравномерно, соответственно распределены силы и температуры.
Полученные данные о распределении сил использовались при моделировании механических процессов в индукторе. В основу модели были положены следующие предположения: в любой точке индуктора состояние
материала является упругим; деформации и повороты материальных волокон являются малыми; индуктор рассматривается как трехмерное тело; для вычисления сил используются результаты решения осесимметричной задачи электродинамики; заготовка считается неподвижной.
Первые три предположения приводят к трехмерной задаче теории упругости, что позволяет создать более общую и точную модель индуктора, чем используемые в работах С.Ф. Головащенко и Е.Г. Иванова классические модели изначально изогнутого стержня [1]. Сам принцип описания стержня предполагает, что распределения всех параметров - силовых и геометрических - по сечению индуктора считаются известными (как правило, линейными). Однако, как показывают расчеты, силы по сечению индуктора распределены крайне неоднородно, поэтому модели, основанные на теории стержней, приводят к большим погрешностям. Указанного недостатка лишены модели, основанные на решении трехмерной задачи.
Было принято решение использовать метод конечных элементов (МКЭ) как наиболее гибкий и удобный для программной реализации. Для моделирования был выбран тетраэдрический элемент первого порядка с 12 степенями свободы (4 узла). Построенные с его использованием сетки позволяют максимально упростить перенос усилий с сетки элементов задачи электродинамики.
Спираль индуктора разбивалась на ячейки в форме параллелепипеда, а каждая ячейка, в свою очередь, разбивалась на 24 конечных элемента. Схема разбиения нижней грани ячейки приведена на рис. 1. На рис. 2. приведен пример моделирования спирали индуктора однослойной сеткой.
но:
Рис.1. Форма ячейки
Принималось, что перемещения распределены по элементу линей-
4
Щ(x, у, 2) = X ЩуЬ] (x, у, гX (1)
]=1
131
где 1=1 ...3, щ- перемещение по оси / точки элемента с координатами х, у, 2; (х у, г^-^-функции,
где 7=1...4 - номер узла; - узловые координаты; Ц(х,у^) =
= х + Ь}у + с^ + (Л.
опасное сечение
Рис. 2. Моделирование спирали индуктора однослойной сеткой
После подстановки выражений для перемещений, деформаций и напряжений в выражение для потенциальной энергии и интегрирования по объему элемента получим разрешающую систему уравнений МКЭ:
[м] • {и} = {Б}- [к] • {и}, (2)
где [м] - недиагональная матрица масс; [к] - матрица жесткости;
[к] = г[в^][в][в]; V - объем элемента, Т7 - локальный вектор сил, действующих на элемент.
Так как на индуктор действуют только пондеромоторные силы,
М = /у Л /г /у Л /х /V Л /г /у /гГ (3)
где fx.fv.fz ' проекции вектора плотности пондеромоторных сил на оси
у, 2 декартовой системы координат, которые вычислялись из значений плотности пондеромоторных сил в цилиндрической системе координат по формулам
г _ гг хцм г _ г г Уцм г _ г 2
]х~] , ]У~3 Г 2~_ 2 9 }1~] '
' хцм Уцм д/ ХЩ1 +Уцм
Технологии и оборудование обработки металлов давлением где Хцм, Уцм - координаты центра масс пространственного элемента;
гГ г 7
а / и / - радиальная и осевая компоненты пондеромоторных сил.
Перенос усилий производился наложением элементов задач электродинамики и механики, т. е. сила, действующая на данный трехмерный элемент задачи механики, передавалась из совпадающего с ним по сечению элемента задачи электродинамики, решаемой в осесимметричной постановке [1]. Объемные силы считались равномерно распределенными по длине витка.
Система уравнений для определения тока, протекающего в кольцах, имеет вид
Е Чк^к + I А ш ") - АШ) = ис - Ш;
к=1 ш п=2 Ш* ш
м шг м шь
I А(к, п) а1к - I А(к,1) ^ = 0; (4)
к=1 ш к=1 ш
и=--1_ I к.
1, если элемент Ш принадлежит витку п, А(]\ п) = ^
0, если элемент Ш не принадлежит витку п;
где
п - номер витка; п = 1 , N; 1к - ток в к-м контуре индуктора; Яу - сопротивление Ш-го контура, М - число контуров (элементов) с неизвестными токами; Ш,к = 1 , М ; 1 п - множители Лагранжа; ис - напряжение на конденсаторной батарее.
Начальные условия: 1к = 0; ис = ис0; 1 п = 1.
Для решения этой системы использовался метод Рунге - Кутта 4-го порядка.
Выражение для суммарной силы - так:
г М дьШк 7 М дьШк
р; = ; = е-ШШ, (5)
к=1dr к=167
а выражение для компонентов плотности силы выглядит следующим образом:
1Г = ! 'Г ' 17 = ^
2ргцм ¿г 2ргцм ¿г
1 + Г2 + г3
где Гцм = ——|—- - координата центра масс элемента; - площадь 1-го элемента.
Для интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений был использован метод дискретизации по времени, предложенный в работе [2].
Метод обладает вязкостью, что позволяет подавлять высокие гармоники, причем диссипация увеличивается при увеличении шага по времени. Это позволяет решить проблему устойчивости численного решения упругих задач, которая проявляется в отсутствии затухания высших гармоник, что плохо влияет на сходимость и устойчивость явных схем интегрирования систем дифференциальных уравнений.
Ускорение на данном временном шаге считалось постоянным, тогда после обозначения вектора ускорений через а получим следующие соотношения для векторов перемещения и скорости в конце шага:
д
аД*
и = ид + УдД* +
2 ' (6) V = Уд + аД*,
где ид, Уо - векторы перемещения и скорости в начале шага.
После подстановки (6) в дифференциальное уравнение движения получим систему уравнений
М, К ,
г 2 г
>}=& }-[К г ]-К + УоД*}. (7)
Полученную систему линейных алгебраических уравнений разрешали относительно ускорений. Найденные ускорения подставлялись в формулы (6), по которым вычислялись скорости и перемещения. На первом шаге интегрирования по времени производилось ¿^-разложение матрицы Мг Кг, котоРое использовалось при п^уощ« шагах. ^
обеспечило высокую производительность и способствовало сокращению времени счета.
Также для сокращения требований к ресурсам ЭВМ была использована ленточная схема хранения матриц. Симметричная ленточная матрица представлялась как матрица диагоналей, параллельных главной. Количество строк матрицы было равно порядку матрицы, а столбцов - половине ширины ленты, что обеспечило экономию памяти, а также процессорного времени за счет устранения ненужных операций.
Тестирование модели проводилось на задачах о продольных и сдвиговых колебаниях стержня, а также о раздаче тонкой цилиндрической оболочки внутренним давлением. Наблюдавшиеся отличия от аналитических решений не превышали 5 %, что подтверждает корректность модели.
Список литературы
1. Головащенко С.Ф. Теория и методы проектирования технологических процессов электроимпульсной штамповки: дис. ... д-ра техн. наук. М:, 1995. 460 с.
2. Толоконников Л. А., Желтков В.И. Вариант метода конечных элементов для решения задач линейной вязкоупругости // Прикл. механика. 1979. №7.
V.D. Kuchar, A.E. Kireeva
SIMULATION OF ELECTROMECHANICAL PROCESS TAKES PLACE IN THE INDUCTOR FOR MAGNETIC-PULSE FORMING
A mathematical model of electromechanical processes in the inductor for magnetic pulse forming, taking into account its helicity was made. With the help of a study of the stressstrain state of the inductor potentially dangerous cross-section is revealed and the distribution of the stress tensor components is obtained.
Key words: inductor, the mathematical model, preparation, crimping, magnetic-pulse setup, the finite element method.
Получено 16.09.11
УДК 621.983; 539.374
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-14-82,
[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ);
В.Д. Кухарь, д-р техн. наук, проф., проректор, (4872) 35-14-82,
[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
В.И. Платонов, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82,
[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДЕТАЛЕЙ С ФЛАНЦЕМ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ РЕВЕРСИВНОЙ ВЫТЯЖКЕ
Приведены результаты теоретических исследований формирования показателей качества деталей с фланцем (степени использования ресурса пластичности) из анизотропного материала, изготавливаемые реверсивной вытяжкой.
Ключевые слова: реверсивная вытяжка, повреждаемость, анизотропия, деталь, разностенность, деформация, напряжение.
В работе [1] рассмотрен вопрос о распределении напряжений и деформаций на операции реверсивной вытяжки осесимметричных деталей с
135
