Использование многомерной реализации Калмана-Месаровича для построения апостериорной модели динамики сложного физико-механического процесса i Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ КАЛМАНА-МЕСАРОВИЧА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ АПОСТЕРИОРНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ СЛОЖНОГО ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА I1

А.В.Бойков2, В.А.Русанов3, Г.М.Шишкин4

Восточно-Сибирский институт МВД,

664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 110.

2Институт динамики систем и теории управления СО РАН,

664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

3Иркутская государственная сельскохозяйственная академия,

664038, г. Иркутск, пос. Молодежный.

Проведено исследование алгебраических и топологических свойств фазовых траекторий динамических сложных физико-механических процессов, допускающих модельную дифференциальную реализацию Калмана-Месаровича в классе линейных и инвариантных во времени многосвязных дифференциальных уравнений состояния конечного динамического порядка со стационарным оператором многомерного выходного сигнала. Библиогр. 11 назв.

Ключевые слова: сложный физико-механический процесс; задача дифференциальной реализации; механизм дифференциальной реализации; динамические системы; задача реализации с автономной системой.

APPLICATION OF THE MULTIVARIATE KALMAN-MESAROVICH REALIZATION FOR THE CONSTRUCTION OF THE POSTERIORI MODEL OF THE DYNAMICS OF THE COMPLEX PHYSICAL AND MECHANICAL PROCESS I A.V.Boikov, V.A. Rusanov, G.M. Shishkin

East Siberian Institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia 110 Lermontov St., Irkutsk,664074

The Institute of System Dynamics and the Control Theory of Siberian Department of Russian Academy of Sciences 134 Lermontov St., Irkutsk, 664033 Irkutsk State agricultural Academy Molodezhniy settlement, Irkutsk, 664038

The authors carried out the research of algebraic and topological properties of phase trajectories of complex dynamical physical and mechanical processes allowing model differential realization of Kalman-Mesarovich in the class of linear and time invariant multilinked differential equations of terminal dynamic order status with the stationary operator of the multivariate output signal. 11 sources.

Key words: complex physical and mechanical process; the task of differential realization; differential realization mechanism; dynamic systems; the task of realization with an autonomous system.

В работе определены и обсуждаются необходимые и достаточные условия разрешимости задачи многомерной дифференциальной реализации [1, с. 21], [2, с. 54] для апостериорной математической модели динамики сложного физико-механического процесса (СФМП) в классе линейных дифференциальных уравнений состояния с программным управлением и стационарным оператором выходного сигнала - система «вход-состояние-выход». При этом исходная модель сложного физико-механического процесса, подлежащая дифференциальной реализации конеч-

ного динамического порядка, рассматривается (см. определение 1.2 [2, с. 21]) в теоретико-системной концепции «черного ящика», т.е. как многосвязный управляемый динамический процесс «вход-выход», полученный экспериментально.

Постановка данной работы обозначена в [4] и является идейным развитием теоретических результатов из публикации, в которой показан переход от задачи СФМП к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [3]; заметим, что в исследованиях [3] не делалось попытки построить теорию

1 Работа поддержена грант-контрактами: Программа фундаментальных исследований №22 Президиума РАН (проект №2.5), Российский фонд фундаментальных исследований (№05-01-00623), Грант Президента РФ по государственной поддержке научных школ РФ (№НШ-1676.2008.1).

2Бойков Алексей Валентинович, старший преподаватель кафедры управления и надзора в системе обеспечения пожарной безопасности, тел.: (3952)410830, e-mail: alexb308@yandex.ru

Boikov Alexey Valentinovich, a senior lecturer of the Chair of Control and Supervision in the System of Provision of Fire Safety. Tel.: (3952)410830, e-mail: alexb308@yandex.ru

3 Русанов Вячеслав Анатольевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник. Rusanov Vyacheslav Anatoljevich, a doctor of physical and mathematical sciences, a chief research worker.

4 Шишкин Геннадий Михайлович, кандидат технических наук, профессор кафедры ремонта машин и технологии металлов. Shishkin Gennadiy Mihailovich, a candidate of technical sciences, a professor of the Chair of Machinery repair and Technology of Metals.

дифференциальной реализации уравнений динамики СФМП с многомерным оператором выходного сигнала (в частности, динамический порядок апостериорной модели реализации определялся эмпирически), поскольку для этого нужна теория, требующая другого (более высокого) уровня сложности, чем это возможно обеспечить в рамках классических линейных структур динамических систем типа «вход-состояние».

1. Математические предпосылки и постановка задачи реализации. Прежде чем переходить к описанию апостериорного моделирования дифференциальных уравнений динамики СФМП, введем обозначения и терминологию.

Далее Й - поле вещественных чисел, Й* - ц-мерное евклидово пространство над Й (со скалярным

произведением, обозначаемым через (у)л<); Мпт(Й)

- пространство всех пхт-матриц (матриц размера пхт) с элементами из Й; Т:=[^] - отрезок числовой прямой Й. Как обычно, С м(Т,Йц) - пространство всех бесконечно дифференцируемых на Т функций со значениями в Йц, при этом считаем, что С м(Т,Йц) наделено структурой бесконечномерного евклидова пространства со скалярным произведением {ф,))с„ := т(р(т)ф(т))я< Л для любых ф,феСм(ТЙц).

Выделим класс динамических систем, движение которых в пространстве состояний Йп описывается векторно-матричным дифференциальным уравнением с(х(0/Л=Ах(0+Ви(0, х(^)=х0бйп, ¿еТ, (1)

у(0=Сх(0,

где х(-)еС М(Т, й") - траектория системы; и(-)еСМ(Т, Йт)

- управление («вход» системы), у(-)е С М(Т, Йр) - «выход» системы; Ае Мпп(Й), Ве Мп,т(Й), СеМрп(Й), р <п.

П о с тан о вк а задачи реализации: пусть (у('),и(-))е С М(Т, Йр)хСМ(Т, Йт) - наблюдаемый (экспериментально) СФМП типа «вход-выход» с переменными р-вектор-функции у(-) и т-вектора управляющих воздействий и(-), линейно независимыми (у каждой вектор-функции) в пространстве С М(Т, Й). Определить необходимые и достаточные условия, при которых апостериорный динамический процесс (у(-), и(-)) удовлетворяет некоторой системе «вход-состояние-выход» (1) с минимальной размерностью п пространства состояний Й".

В прикладном аспекте центральная проблема задачи реализации заключается в том, чтобы для заданного многосвязного отображения «вход-выход», определенного в форме апостериорного процесса (у(-), и(-))е СМ(Т, Йр)хСх(Т, Йт), построить конечномерное многообразие Йп минимального динамического порядка п (называемое минимальным пространством состояний), начальное состояние х0еЙп и дифференциальную (с программным управлением и(-)) систему (1) (с некоторыми матрицами А, В, С), эволюционирующую на фазовом многообразии Йп и имеющую такое же (идентичное) отображение «вход-выход» -(у(-),и(-)).

З а м е ч а н и е 1. Если задача дифференциаль-

ной реализации разрешима, то, как показано в [5], матрицы системы (1) не имеют в этой реализации единственное параметрическое представление. Тем не менее, необходимо подчеркнуть, что ниже нас в основном интересует проблема «синтеза», а не «расчета» систем. При этом употребляем эти термины в том смысле, что решение задачи «синтеза» системы должно определять ее структуру, в то время как «расчет» предполагает манипулирование (в идеале оптимизацию) численными значениями свободных параметров в рамках структуры, которая зафиксирована решением задачи синтеза.

В следующем разделе решаем задачу реализации, понимаемую как построение уравнений «свободной» динамики исследуемого объекта на его собственном движении; именно в этой методологии в [5] было предложено идентифицировать минимальный динамический порядок структуры моделируемой системы.

2. Реализация с нулевым «входом» (вариант однородной системы). Прежде чем излагать решение задачи дифференциальной реализации моделей уравнений динамики в классе «вход-состояние-выход», обсудим ее для однородных систем; соответствующий моделируемый процесс у(-)еС с0(Т,Йр), с переменными линейно независимыми в С С0(Т,Й), назовем интернальным (от лат. Метив - внутренний).

Однородность модели реализации предполагает и(0=0е Йр, ¿е Ти у(-)е С М(Т, Йр); разумеется, о таких системах можно сказать намного больше (см., например [6, с. 103]). Несмотря на некоторую ограниченность данной постановки, все необходимые определения и основные утверждения, существенные для дальнейшего исследования разрешимости задачи реализации собраны в этом разделе; изложение в достаточной мере замкнуто, но многие детали опускаются, - особенно это относится к обсуждению геометрической структуры эвклидова пространства С (Т, Йр) и исчисления рациональных канонических матричных представлений. На первый взгляд чрезмерное различие топологических структур евклидовых пространств, а именно - векторного вещественного конечномерного Йр и линейного функционального бесконечномерного С М(Т, Йр) оказываются не столь существенными для алгебраических структур в контексте следующего определения.

О п р е д е л е н и е 1 [7, с. 213]. Пусть г2,..., 2ц

- вектор-функции пространства С М(Т, Йр) определитель Г(21, г2,..., 2ц) матрицы

тогда

*1>с

(22' *1>С (2<' С

(21> 2 2) С (22'22)с

(2< '20С

(21>

(2 2' 2*)с

(2 ' 2 )

\ ?' <1 /С

Символ «0», обозначающий в этом абзаце нулевой вектор в Йп, будет использоваться далее для обозначения нуля любой природы (числа, вектора, отображения или подпространства), которая должна быть ясна из контекста.

образует определитель Грама, составленный для векторов z1, z2,..., zq.

З а м е ч а н и е 2 [7, с. 213]. Если какой-либо главный минор определителя Грама, составленного для векторов функционального пространства C M(T,Rp), равен нулю, то равен нулю и сам определитель Грама; данное замечание весьма полезно для вычислительных целей при анализе свойства линейной зависимости конечных наборов, составленных из вектор-функций пространства C M(T,Rp).

Л е м м а 1. Если y() - j-ая переменная вектор-функции наблюдений

y(-)e C M(T, Rp) за (СФМП) и r(yf, ..., yp) составлен для y1(), ..., yp(-)e C M(T, R), то для того чтобы процесс y(-) был интернальным необходимо и достаточно

Г(У1, y2,..., yp)/0; (2)

интернальность процесса y(-) исключает избыточность его измерений (любая переменная y() не может быть выражена через линейную комбинацию других y/-)).

Основа следующего определения - математическая идея использовать конструкцию максимального элемента в семействе линейно независимых множеств.

О п р е д е л е н и е 2. Конечную последовательность <Lj> j=o,...,k множеств LjcCM(T,Rp) назовем <L> k-кортежем, если Lj, j=0, ..., k удовлетворяют условию

Loс Lic...c Lk_ic Lk & Lo/Li ±Lk-i *Lk.

Скажем, что <1.>к-кортеж обладает индексом n, если справедливы равенства

Span Lk=Span Lk-1,

dim Span Lk-1=n. Здесь и далее Span{...} - линейная оболочка векторов из {...} над R, свойство - «<Ц>1-кортеж обладает индексом n», можно выявить процедурой леммы 2.

Л е м м а 2. <Ц>1-кортеж имеет индекс n в том и только том случае, если отыщется n вектор-функций z1, z2, ..., z„eLk таких, что z2, ..., z„)/0, тогда как для любых n+1 вектор-функций из Lk определитель Грама равен нулю.

Доказательство леммы 2 прозрачно в силу теоремы 1 [7, с. 213].

Дальнейшее изложение основывается на понятии кортежа, что ставит задачу построения его элементов; структуру одного из них формализует определение 3.

О п р е д е л е н и е 3. Пусть y(-)eC M(T, Rp), тогда множество

Sk:={y(-), dy(-)/dt, ..., dky(-)/dt k}c C M(T,Rp), (k>0) назовем k-струей вектор-функции y(-) на интервале времени T.

Для уточнения основных понятий развиваемой ниже теории и согласованности ее с матричной терминологией введем еще две конструкции линейной алгебры.

О п р е д е л е н и е 4 [7, с. 160]. Минимальным полиномом матрицы AeMn,n(R) называется полином я(Х) наименьшей степени, для которого n(A)=0.

Нормированный минимальный полином (т.е. с ко-

эффициентом при его старшем члене равном 1) всегда единственен и делит без остатка любой отличный от нулевого полином п(Ц для которого п(А)=0; например, таковым является хМ - характеристический полином матрицы А (теорема Гамильтона-Кэли [7, с. 87]).

О п р е д е л е н и е 5 [8, с. 262]. Если для матрицы Ае МП,П(Й) найдется такой вектор Ье Й", что Брап{Ь, АЬ, А2Ь, ..., А"Ь}=Й", то А называется циклической матрицей, а вектор Ь - ее циклическим генератором.

З а м е ч а н и е 3 [9, с. 37]. Матрица АМП"(Й) циклична в том и только том случае, если ее характеристический полином хМ равен я(Ц при этом пара (А,Ь) является полностью управляемой (теорема 3.4 [1, с. 47]); эквивалентно, когда каждому собственному значению А соответствует ровно один жорданов блок.

Л е м м а 3. Пусть Ае М„,„(Й) - некоторая циклическая матрица, Ьей" - ее циклический генератор и с/0ей". Тогда существует (единственная) матрица Хе е МП,П(Й), такая, что X коммутирует с А (т.е. ХА=АХ) и при этом ХЬ=с.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Система векторов {Ь, АЬ, А2Ь, ..., А"Ь} образует базис в й". Следовательно, вектор с имеет единственное представление вида воЬ+вАЬ+в2А2Ь+...+ДА"Ь=с. Теперь (с учетом введенного в условиях леммы алгебраического условия ХЬ=с) конструкция (представление) матрицы X вполне очевидна:

Х=воЕ"+р1А+в2А2+.+в" А", где Е" - единичная лхл-матрица, а коэффициенты выявляются (что очевидно) решением следующей линейной системы алгебраических уравнений:

(Z„> z„)r Z„)R

{Z„ ' Z)R

(Z1> Z)R

(z„' zX

(Z1> Z*)R'

в" t„"

в = tl

в t _

(z , Z„) n (z , Z.) n (z ' z )

\ n „/ Rn \ n 1/Rn \ n nf

Здесь Zj=A'b (считаем, что A0:=En) и t■i:=<c,A'b>Rn, где i=0, ..., n.

Далее, поскольку матрица A циклична и b - ее циклический генератор, то определитель Г^0, z1, ..., zn), составленный для векторов z/eRn, будет ненулевой и, следовательно, данная алгебраическая система является совместной, более того, она имеет единственное решение относительно неизвестных коэффициентов Д.

Наконец, приняв во внимание тот аналитический факт (см. [1, с. 55]), что для любой циклической матрицы AeMn,n(R) семейство всех коммутирующих с ней матриц D имеет описание {DeMn,n(R): D=n(A), n(^)eS}, где Н - класс всех полиномов переменной I степени, не превышающей значения n, заключаем, что данная матрица X - единственная; что завершает доказательство леммы.

Обозначим, как обычно, для матрицы Ae Mn,n(R)

через t^e'

A(t0-t).

T^Mn,n(R) матричную экспоненциаль-

и

и

и

и

ную функцию на интервале времени Т, т.е. матричный ряд eA<ю-í>=En+A(f0-f)+...+Aл(f0-f)л/n\+... (эквивалентно-фундаментальная матрица решений системы (1) [6, с. 131]);5 согласно теореме 2 [10, с. 194] данный ряд сходится (при любом фиксированном ¿еТ) в топологии, индуцированной матричной нормой в М„,„(Я), при этом в силу этой же теоремы для любой матрицы Ое М„,„(Я), коммутирующей с А, справедливо функциональное равенство ОеА<'°''>=еА<'0''>О; в контексте данного равенства следующее простое предложение весьма важно:

Л е м м а 4. Пусть ОеМпп(Р) коммутирует с Ае М„,„(Я). Тогда для любого вектора х°еЙп и соответствующего ему 1°=Ох° имеет место 1(1)=Ох(1), ¿е Т,

если 1^1(1) и - решения следующих дифференциальных уравнений

сЬ(0/с№=А2(0, г^о^е^, (¿еТ) с(х(0М=Ах(0, х(Г°)=х°еКп (лемма верна в силу решений данных уравнений 1(1)=еА<ю-'>1°, х(()=еАтх° [8, с. 17]).

Теперь обладаем достаточным математическим инструментом, чтобы сформулировать основной аналитический результат - необходимые и достаточные условия разрешимости задачи дифференциальной реализации апостериорного интернального СФМП у(-) в классе автономных систем (1).

Т е о р е м а 1. Интернальный процесс у(-)ейМ(Т, Йр) удовлетворяет решению задачи реализации с автономной системой <1> минимального динамического порядка п, если и только если <Э]>„-кортеж ]-струй от у(-) на Т имеет индекс п.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (Необходимость). Пусть у(-) допускает автономную реализацию (1) минимального динамического порядка п. С учетом принятого выше положения и(-)=0 продифференцируем п раз второе уравнение системы (1) (подставляя сх(1)М из первого уравнения). В результате получим у(0=Ох(0, с(у(0М=ОАх(0, С 2у(0/с^ 2=СА2х(0, ..., б "у(0М "=ОА"х(^.

Сложим данные уравнения, предварительно умножив первое на а°, второе - на а1, и т.д., последнее -на единицу, где а, - коэффициенты нормированного характеристического полинома х(1)=1п+ап-11п-1+...+аД+а° матрицы А модели автономной реализации. По теореме Гамильтона-Кэли А удовлетворяет своему характеристическому уравнению, поэтому члены с вектором состояний х(0 в правой части этой системы исчезнут. В результате приходим к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению п-го порядка относительно вектора выходного сигнала:

с( пу(1)/Л "+а„ с "уЦЩ п+...+а1 с1уУ)/а+а° у(0=0, (3) где аI являются (см. определение 1) решением системы алгебраических уравнений

5 Иногда [11] семейство [еА<Ю4>: отображений называют однопараметрической группой преобразований, действующей в фазовом пространстве при этом пара (Яп, [еА<Ю4>: ¿еЯп}) образует фазовый поток.

(Z1> Zl)c™ (Z1' Z2\c™ (Z1' Zn)c" (Z2' Zl) C" (Z2' Zl) C" (Z2' Z^lc

(Zn' Zl) c™ (Zn ' Zl) C

(Zn, Zn)c

и #=<-d "y(-)ldt n,d

IVi A"

an-2 = #2

k _ A _

■ (4)

"'y(-)ldt "~'>C™

Здесь z=d y(-)ldt для /=1, ..., n.

Согласно дифференциальному уравнению (3) функциональное множество Sn линейно зависимо в пространстве C ™(T,Rp). Покажем, что размерность линейной оболочки Span Sn равна n, при этом «попутно» установим, что алгебраический базис линейного множества Span Sn - суть (п-1)-струя процесса y(-).

Будем рассуждать от обратного предположения. Пусть найдутся n вещественных чисел а,, не все из которых равны нулю, и такие, что имеет место

an d ny(t)ldt "+...+а, dy(t)ldt +а0 y(t)=0, (5)

при этом, не теряя общности, можно считать, что имеет место нормировка an=1; в противном случае порядок последнего дифференциального уравнения, очевидно, будет ниже n, что не влияет на дальнейший ход доказательства.

Нетрудно убедиться, что дифференциальное уравнение (5) приводит к противоречию (относительно динамического порядка уравнений состояния в апостериорном математическом описании дифференциальной динамики многомерной реализации СФМП), а именно - в этом случае для вектор-функции y(-) существует автономная дифференциальная реализация с минимальной размерностью пространства состояний, равной n-1; например (см. замечание 1), в такой постановке имеет место следующая система автономной реализации:

dz(t)/dt=Az(t), y(t)=Cz(t), teT, 0 1 0 ... 0

A =

0 0 1 ... 0

0 0 0

-a0 -ai -a2 ...-a„-2

конструкция рх^-^-матрицы C рассмотрена ниже (вторая часть доказательства). Ограничимся общим замечанием, что в такой постановке элементы матрицы C зависят (в общем случае неявно) от начальных условий z(t0), элементов фробениусовой матрицы A и фиксированного выбора (лемма П.8 [8]) ее циклического генератора (см. ниже систему (8) и параметры ее оператора C выходного сигнала).

(Достаточность). Пусть <у>„-кортеж струй от интернального процесса y(-) на интервале времени T имеет структурный индекс n. Тогда, поскольку множество Sn линейно зависимо в пространстве C ™(T,Rp), найдется, причем единственный (поскольку dim Span Sn-1=n), набор вещественных чисел a,, (/=0, 1, ..., n-1) такой, что имеет место дифференциальное равенство

d ny(t)ldt "+a„ d ny(t)ldt "+.+a, dy(t)ldt +a0 y(t)=0.

1

Теперь, обозначив через у(-) - ¡-ую координату (е {1, ..., р}) вектор-функции у(-)еС х(Т,Йр), введем вспомогательный вектор состояния уу(-)еС М(Т, й") с координатными переменными у/-), задаваемыми определяющими выражениями

9м=ум), ы):=тш иути, (¡=3.....п).

В результате приходим к дифференциальной век-торно-матричной системе вида

с(у(0/<Л=Ау(0, у(0=Су(0, (еТ, (6) 1 0 ... 0

A =

„

„ „ 1 ... „

„ „ „ ... 1

С=[1, 0, ..., 0]. Обозначим через b некоторый (лемма П.8 [8]) циклический генератор матрицы A и пусть Dye Mn,n(R) -матрица, удовлетворяющая алгебраическому условию DjA=ADj, Dp=9M (7)

ясно, что такая матрица существует в силу леммы 3.

Далее, введем в рассмотрение вектор состояния x(t) системы dx(t)/dt=Ax(t), определяемый уравнением yj(t)=Djx(t), x(t0)=b, что справедливо согласно утверждению леммы 4. Тогда, после умножения (слева) системы уравнений (6) на матрицу Dy, с учетом соотношений (7) приходим к системе уравнений dx(t)/dt=Ax(t), y(t)=CDjx(t), x(t0)=b, teT; ясно, что подобную дифференциальную систему (с теми же A, b, с) можно аналогичным образом построить для любого означенного выше индекса j=1, ..., p.

Таким образом, имеем окончательный вид автономной реализации (1) для y(-) dx(t)/dt=Ax(t), y(t)=Cx(t), X0=b, teT, (8)

C =

CD1

CDp

что завершает доказательство теоремы.

С л е д с т в и е 1. Процесс у(-)еС М(Т, Йр) удовлетворяет решению задачи реализации с автономной системой (8) минимального динамического порядка п, если и только если для элементов в1, ..., вп струи Эп-1 процесса у(-) будет Г(в1, ..., вп)/0, тогда как для п+1 вектор-функций §1, ..., §п+1еЗ" имеет место Г(§1,

..., §п+1)=0.

Справедливость этого утверждения устанавливается очевидным комбинированием теоремы 1 и леммы 2; понятно, что следствие 1 позволяет «программно» построить конструктивную алгоритмическую процедуру для анализа разрешимости задачи дифференциальной реалии уравнений состояния динамики СФМП (в варианте без «входного воздействия») в классе автономных систем (1).

С л е д с т в и е 2. Пара (С,А) системы (8) - полностью наблюдаема.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть пара матриц (С,А) не является наблюдаемой. Тогда, как известно (см. теорему 3.1 [9, с. 88]), существует нетривиальное (т.е.

ненулевое) A-инвариантное подпространство Nc Rn, геометрически определяемое как

N=l~l{Ker (CA-1): i=1,...,n}/0eRn, которое представляет наибольшее A-инвариантное подпространство, содержащееся в Ker C - ядро оператора (матрицы) C выходного сигнала y(t). Обозначим через Я фактор-пространство Rn/N, через А: Я^-Я - линейное отображение, индуцированное в фактор-пространстве Я оператором A и, поскольку Ker CdN, то существует и такое линейное отображение С: W^-Rp, что CP=C, где P: - каноническое фактор-отображение. Таким образом, для процесса y(-)eC M(T,Rp) имеем возможность построить «фактор-систему» дифференциальной реализации вида

dz(t)/dt=Az(t), y(t)=Cz(t), z(t0)=Pb, teT; иными словами, всегда можно построить (не единственным образом) некоторую автономную дифференциальную систему минимальной реализации по модулю максимального ненаблюдаемого подпространства моделируемой системы (1).

Поскольку dim W<dim Rn, то динамический порядок данной реализации для интернального апостериорного процесса y(-) меньше n (что, очевидно, противоречит исходному условию: минимальная размерность пространства состояний модели реализации для y(-) равна n). Доказательство завершено.

С л е д с т в и е 3. Для матрицы A системы (8) имеет место х(Х)=я(Х).

(Это следует из замечания 3 и леммы П.8 [8, с. 263]).

Заключение. Сделаем несколько общих заключительных замечаний по поводу прикладного значения полученных выше теоретических результатов.

Информационную избыточность комплекса подготовительных апостериорных измерений исключает (устраняет) характеристический признак «интерналь-ности» наблюдаемого (в эксперименте) СФМП, что математически описывает лемма 1, при этом условие (2) обеспечивает проверку этого признака.

Хотя выше рассмотрена лишь проблема существования алгоритма дифференциальной реализации, отметим, что вопрос о его помехозащищенности (существенный с практической стороны апостериорного моделирования уравнений динамики СФМП) решается положительно на основе минимизации (в отличие от подхода, «культивированного» в [5]) параметров системы, подлежащих оценке, а именно, идентификации согласно следствия 3 минимального полинома для матрицы A (см. ниже «шаг 2») и элементов матрицы C («шаг 3»).

Проблему существования прямого вычислительного алгоритма дифференциальной реализации линейных автономных объектов конечного динамического порядка, по существу сводящуюся к задаче о возможности алгоритмизации процесса построения минимального базиса пространства состояний, решает следствие 1 о цикличности линейной оболочки фазовой траектории (в структуре фазового потока с фундаментальной матрицей системы (1) - eA(t0-t>) моделируемого объекта.

Теорема 1 позволяет утверждать, что время прямого вычислительного алгоритма реализации уравнений динамики исследуемой автономной системы в принципе ограничено снизу лишь техническими возможностями измерительной и вычислительной аппаратуры, поскольку структура п-струи (в «струйном» кортеже с индексом п) определяется траекторией системы реализации, которую можно рассматривать как орбиту циклического генератора Ь матрицы системы А относительно однопараметрической группы преобразований Я, действующей в Яп.

Следствие 1 определяет последовательную вычислительную схему процедуры математического моделирования уравнений динамики интернального СФМП, сводящуюся к дифференциальной реализации автономной системы минимального динамического порядка п. При этом данную схему условно можно разделить на три операционных шага:

шаг 1 - определение минимального динамического порядка п автономной системы дифференциальной реализации через вычисление соответствующего индекса кортежа струй интернального СФМП (согласно лемме 2);

шаг 2 - вычисление элементов [-а°, -а1, . , -ап-1} фробениусовой матрицы А моделируемой автономной системы дифференциальных уравнений (на базе построенного на шаге 1 минимального порядка п и решения системы (4));

шаг 3 - фиксация некоторого начального вектора состояния х0 в форме циклического генератора матрицы А и расчет матриц О] (=1, ..., р) оператора С выходного сигнала (согласно лемме 3, формулам (6), (7) и положению п-струи в момент ¿0).

Следствие 2 констатирует: любая автономная дифференциальная реализация минимального динамического порядка по существу является «наблюдаемой фактор-системой» по модулю максимального не-

наблюдаемого подпространства пространства состояний полной системы дифференциальных уравнений моделируемой динамики СФМП.

Решению задачи нахождения условий дифференциальной реализации линейного стационарного объекта типа «вход-состояние-выход» и разработке алгоритма ее параметрической идентификации посвящена вторая часть работы.

Библиографический список

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: УРСС, 2004. 400 с.

2. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. 312 с.

3. Оптимизация процесса гальваностегии на базе апостериорной модели ее динамики / В.А.Русанов [и др.] // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2007. № 4. С. 98-109.

4. Данеев А.В., Русанов В.А., Русанов М.В. От реализации Калмана-Месаровича к линейной модели нормально-гиперболического типа // Кибернетика и системный анализ. 2005. № 6. С. 137-157.

5. Дмитриев А.В., Дружинин Э.И. Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных моделей в условиях полной параметрической неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. № 3. С. 44-52.

6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 332 с.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

8. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 304 с.

9. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980. 376 с.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

11. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 240 с.

УДК 62-523.2

МЕТОДИКА ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНО-МОДУЛИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ АСИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ С КОМБИНИРОВАНИЕМ ДВУХ- И ТРЕХУРОВНЕВОГО ИНВЕРТОРОВ

И.А.Сычева1, С.Г.Самохвалова2

Амурский государственный университет, 675027, г.Благовещенск, Игнатьевское шоссе, 21.

Предлагается методика широтно-импульсно-модулированного управления асинхронным двигателем на основе комбинирования двух- и трехуровневого инверторов, описывается математическая модель трехуровневого инвертора.

Ил. 6. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: асинхронный двигатель; управление; математическое моделирование; имитационное моделирование; двухуровневый инвертор; трехуровневый инвертор.

1Сычева Ирина Александровна, аспирант, ассистент кафедры информационных и управляющих систем, тел.: 89246701811, e-mail: irina.sycheva@gmx.de

Sycheva Irina Alexandrovna, a postgraduate, an assistant of the Chair of Informational and Controlling Systems, tel.: 89246701811, e-mail: irina.sycheva@gmx.de

2Самохвалова Светлана Геннадьевна, кандидат технических наук, доцент кафедры информационных и управляющих систем, зам. декана по учебной работе, e-mail: sgs@amursu.ru

Samohvalova Svetlana Gennadjevna, a candidate of technical sciences, an associate professor of the Chair of Informational and Controlling Systems, the deputy dean on educational work, e-mail: sgs@amursu.ru_