CC BY
39
: МЕХАНИКА И МАШИНОСТРОЕНИЕ
УДК 517.926
О СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
© 2009 А.В. Данеев1, В.А. Козырев2, А.Е. Куменко3, В.А. Русанов2
1 Восточно-Сибирский институт МВД России, г. Иркутск 2 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск 3 13 Государственный научно-исследовательский институт МО России, г. Люберцы
Поступила в редакцию 09.04.2009
Проведено исследование качественных свойств апостериорных динамических процессов типа "вход-выход", допускающих модельную реализацию Калмана-Месаровича в классе линейных инвариантных во времени многомерных систем "вход-состояние-выход" минимального порядка. Предложена конструктивная процедура для получения таких реализаций (как с управляющими программно переменными, так и без них). Ключевые слова: структурно-параметрическая идентификация, динамический процесс, задача реализации Калмана-Месаровича
ВВЕДЕННЕ
Многообразие математических способов, с помощью которых можно на ос но но непрерывной апостерипрной инс^ормлм.лн моделировать геометрическую структуру и параметры дифференциальны*. >ракнений динамики исследуемого физического процесса. делает актуальным вопрос о выборе среди ии* тех, которые оптимальны с точки зрение ^которого формального критерии. харяктеркэующепо определённое ¿трук-турно-парямстричоскос качество ИДСГГТИфиЦИ-руемой подели ] 11. Трудность состоит е том, что па тпзт шнтрое нет однозначного отпета; выбор того или иного методологического подхода как правило гаиискг не только от физической природы исследуемого процесса. но н от того, каким образом э аланы ограничения, являются эсеспери-ментальные данные полными или нет, а также от других факторов, в частности. связанных с ивля-ми ^юделиромния [2].
Б эфом методолоп{чсском контексте в данной работе определи [ы и обсужлшотся необходимые и достаточные условия разрешимости задачи многомерен дифференциальной реалнза1дии р, с Л]. |4. с .^4] для апостериорной математической Модели динамики в классе линейных инварнаш-пы\ во времени дифференциальных уравнений состояния с программным управление?.! нстапип-I ирной матрицей выходного сигнала (система дчхклоянне-выход'т): при этом исходная модель. полтежашая дифферент шальной реализации минимального порядка, рассматривается |4, с. 211 в тсоретико-системной концепции ^черного ящика". ¡-.о. как многосвязный пронеес "в.чол-вылод*'. полу ченный экспериментально }5].
Дапсея Алексей Паяньевич, данпюр технических «лин. начц1ънцк от/Цущ. В-тсЦ: ¡^ацее\''а;/>1лИ.га.
Владимир ДикигидробиЧ, йС-ЯЯрйнт. Ку.тенко Лж&т Евгеньевич. кткШОат техническим, наук, шкфши^ и .чаба^иаарией. Русанов дикшар
математических наук, гяаяЛый научный сотрудник.
Данная постановка обозначена и выводах работы |6| и является идейным развитом пзорети-ческих результатов из \2.1\iзаметим, что в статье |7| гк делалось попъггки построить конструктив-? цую теорию линейнои дифферешщшад^&й реализации многомерных уравнений динамики с матричным оператором выходного сип сала (в частности и порядок а посте рйор но й модели реализации определяйся эмпирически) поскольку для итого нужны алгебраические структуры, требующие другого (более высокого) уровня сложности, чем это возможно обос-ночиль в рамках классических линейных структур систем типа "бходизостоянис*.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РГЛЛЩАЦИИ
Везде далее Н - поле ветеовенных чисел. Н'Т - ^-мерное евклидово пространство над Я (со скалярным произведением, обоаначаемым через Мцт{И) пространство всех их/я-матриц с Эдементами из К. ?™|1о,/|| - спрезок числовой прямой & Как обычно, С^^Р) пространство всех бесконечно дифференцируемых на Т функций со значениями о И?, при этом считаем, что С наделено структурой евклидова пространства со скалярным ороизводеннем
р(т)т/з для любых ф.феГ \Tjtf) Выдадим класс динамических систем, движение которых и [[росчрлнс'гве состояний И" описывается вектор ко матричным днфференциаль-ным уравнением
¿¡е^уёНЛяф Ви(1). х(/и¡¿ Т. (1 Л) у(1)=Сх(1\
где хеС ' (77Г) - траектория СгйСтемы, ма'С '{ТЯ"') - управление («вход» системы), "ЧТЛ") - '"выход" системы, А<=М,ГЛЛ).
Постановка задачи рсализапии' пусть С '('/'Я"') - наблюдаемый (экспв-
рнментально) процрее ''вхОд-Зыход" с перйчен-
ными отр-вешпэр-фктищин вьсчо^ных сигналов^ и Щ-вектОр-функшш управляющих по^дсйсттий и, линейно независимым к (у какдюй пекгор-функции) в пространства С '(ТЯ). Опрели ктъ необходимые и достаточные условйя (разрешимость задачи реализации). при которых (у,а) удовлетворяет некоторой системе «в\од-состояние-в ы\од» (1.1) с минимальной размерностью л I [ростра нсгла состоянии Я".
В прикладном аспекте структурно-пар а метрическая идентификация. - как центральная проблема задачи реализации, закачается в том чю&ы, исходя из произвольного наблюдаемою .многосильного отображения «в\од-Е!.[\ад» определённого в форме апостериорного процесса С1 ТЯу)х(1 ГЯ") такого, что сйт Бревну, е С ""(Т^) ¡=1,.р}=
-А евф^....»>:=>»; (1.2)
с1|]п Брап^ы;^С"(Т^);/= 1, ..... т)=
построить (если задача реализации разрешима] некоторое конечномерное линейное многообразие К" минимальной размерности п (называемое минимальным пространством состояний), начальное состояние х{1„)=£ьеК' к линейную инвариантную во времени систему (¡.1) (с некоторыми матрицами Л.В.С). .эволюционирующую на фазовом многообразии II" у. илсющ\ю такое же (идентичное) отображение <<в\од*твыкод» -
Замечание 1. Бели (априорное предположение [8]) задача реализации разрешима, то, как показано в: [4], матрицы АЗ.С системы ЦЛ) мс имеют и этой реализаций единственное параметрическое представление Тем пс менее. необходимо подчеркнуть, что ниже нас в основном интересует проблема структу рного «синтеза» а не параметрического «расчета» систем: при этом у потреби ясм ^ти термины в том смысле, что решение задачи синтеза должно определять структуру системы, б то время как расчет предполагает манипулирование (б идеале оптимизацию) численными значениями свободных параметров в ра.мка\ той геометрической структуры модели, которая зафиксирована решением задачи синтеза
В следующем разделе задачу реализации рассмотрим как построение на базе информации о некотором собственном уравнений
неуправляемой динамики (I I). В такой постановке л [Я] бьгло предложено а постер иорло иос-станавливатъ минимальный порядок п однородной системы исследуемого объекта: иными словами. считать, ■что этот порядок соответствует и динамической модели объекта, но уже с управлением. что в общем слу чае не верно {см. ниже пример 2).
реализация однородной системы
Прежде чем излагать решение задачи реалта<-иии в классе моделей «б\од-состо!1ниоеьг\од». обсудим ее для однородных систем (1.1), Везде далее в этом разделе Считаем, что соответствующий процесс уеС '(TJt ) отпадает переменными линейно нкювиснмымн в Г i'f\R): в прикладном аспекте наличие этого свойства у процесса у определяет Минимальную размерность пространства вы.\одны.\. сигналов, что означает— любая ifo'KK-инДнальная переменная векторного выходного сигнала у не .\и.чкет быть выражена (замента) через линейную комбинацию дру гим
Определение I 19, с. 213 [. Пусть zj, яа zl - Шйпор-функции эвклидова пространства С *(ТЛ\ тогда определитель Гз, г*) матрицы
\<s,^,>ft<v <z,£t>c6e]
<22?1>сю ... •Qi^P'e J: I
oftjKiiyem rjnpedi.wmejib f'/w-wi. соета&ченный дляZs. Zx ,,., Zj,-
■Замечание 2 |9. с 2131 Если какой-либо главный минор определителя ["рама. составленного для вектор-фикций i« С '(7,R") равен нулю. то равен нулю и сам определитель Грама: данное замечайте полезно для вычислитблъшлх целей при анализе свойства литейной зависимости на борой вектор-фуккинй из (' '(TJi')- в частности алгоритм проверки корректности наблюдаемого процесса у^С (ТЛ! ) постановке рассматриваемой задачи составляет выражение
(2.1)
Основа следующего определения - математическая идеч ислалщоваггь конструкцию максимального элемента в семействе линейно независимых >пюжоств.
Определение 2. Конечную т&следова-щелшхзяъ </y>j=o i- ¡¡<1 сСт '"{ТЛ'"]
'и/юнел: <Lj>¡rKOpm£M£M, если Lj, /=().....A }tV>íí-
ЛещЧирИинп усДОвиЯМ
LticL¡<z. .<zU.iC.hc,
при мпом íiYfe.H говорить, что <Lf>t-iíüptnеж индексом /. если Span
dim Span Li-.¡-í.
Снойстие - ¿i<Lj>k-Kopme.?ff обладает индексом Г\ можно у становит!. численной процедурой. основные элементы которой содержит лемма L
Лемма 1. <Lj>i-'Kopitiejic имеет индекс 1 sí та.» и только том случае, если отыщется I ntop-f¡)ynKi(Uíi z¡. Í3.--. ZisltmaMtx, что T(zi, zj. ....
imh'tki как аян :imñi-jx 1*-} аектир^рункции из Lt онределшщ$ь Грилю ранен ну. но.
Докалател^тво леммът i прозрачно п chtv теоремы I [У. с. 213].
Дальнейшее изложение целиком основывается на понятии кортежа, что ставит задачу определения начеи этически к конструкций его элементов: rao существу б\дем иметь дело с двумя из них. стр; ктуру первой формализует определение 3.
Определение 3. ПустьysС '{ТЯ'\ тогда &:-{>', íiykit. ...,d*y!dt ^С "\Т, (Щ|) назовем k-cmpyeü вектор-фуикции у на всем инщроше прсмени Т.
Для уточнения оснйвкых понятий распиваемой ниже теории и согласованности ее с матричным анализом обозначим еще две хорошо известные конструкции.
Определение 4 (9, с. 160]. Мннвмальг Hhl.V ftOj!ttHOMQlt MCttñptüibi А € <^hí„,„{R) Hüihlfíü' tanca полином ж(Х) наименьшей степени, для которого л(Л)=0.
Нормированный минимальный полином (т.е. с коэффициентом при cía с таршем члене равным 1) всегда единственен и делит без остатка любой отличный от нулевого полином ^(л), для которого например, таковым является -/(а) -характеристический полином матрицы А {теорема Гшниъьтош-Кагш ]'9, с. 87[У
О п ¡j е д с л е н и с 5 [1ft, с 262], Если дчя матрицы А еMiyK(R) найдется такой вектор bеR", что сщкШ'д'шво
Span*A. Ah. А2Ь. ..,A"-5b}4?\
то А называется циклической матрицей, a b — ее tfUK. 'in ческим генератором.
Замечание 3 [11, с. 37] Матрица A*M„J}f) цнклнчнц в том и только том случае, е;^ли ее характеристический полином /(Л.) равен it(/.}. при этом пйра (Ajb) является полностью управляемой (теорема 3.4 |3, с. 47|); эквивалентно, когда каждому собственно.^ значению А соответствует ровно один жорданов блок
Л с м м а 2. Пусть ¿ieM^Jfi") - некоторая циклическая! матрица, ЬьЯ" — ее циклический генератор и c^í^R". Тогда существует (единственная) матрица Ае такая, что X коммутирует с А (т.е. XA АХ) íí rtj.nt этом ХЪ=с.
Доказательство. Система векторов {Ь. АЪ, Ah. ... A"~'b) образует базис в /Г. Следовательно. векюр с имеет единственное представление RK-Ta
fcffcr... Щ^Ъ^с.
Теперь (с учете41 введенного в условиях леммы алгебраического условия ХЬ с) конструкция (представление) матрицы ЛГ вполне очевидна:
где Еп - единичная пхл-матршш, а коэф^^иеи-ты р, явля!отся (что очевидно) реигсиием следующей линейной системы алгебраических уравнений
'ЯШРяР -■ ■ Гро 1 ГÍÚ
j^í/tf^ <Z¡¿I>HTI ... -íz^rtj^ll pi H ii ;
здесь Zj\-A'h (считаем, что Av\-E„) и где ¿Mj.....rt-í.
Далее, поскольку матрица А циктична н А - ее циклический генератор, то определитель
Zr,.;). составленный для z¡&K*. будет ненулевой и, следователь:зо, данная алгебраическая система является совместной (более того, она имеет единственное решение относительно неизвестных коэффициентов Наконец, приЕшв во внимание tût аналитический факт (ем. е JÍj). что для любой циклической матрицы A<=M„J.R) семейство всех комму лиру еощих с ней матрии ¡) имеет описание {!)еМ1;.JJiy. ¡>^{А), где ^ - класс всех полиномов [переменной л степени не превышающей значения п. заключаем, что данная матрица Л' единственная: что завершает доказательство леммы
Лемма Пусть DeM.vn(R) коммутирует с A<=MrJ.R). Тогда для любого üie e/í" и соотает-ствующем}1 ему Ох.; Щудет tzT.
если и | - решета 0ш}н})ерещтwh-
ньа уравнений
dz{tyii(^Az(t\ (leT)
Теорема I. Процесс уеС '(TJt') wíwte-тяориет решению задачи дифференц\шлbtioù peaiirjciiiiiu с OÔHOpuàuofi системой (i l) минп-я/штыюго тюрядт и, если íí то.чько если <íj>jr-KOpmemj-cmpyÜ ни Тот v имеет индекс п.
До касательство. (Необходимость). Пусть у дон\скаег дифференциальную реализацию минимального порядка п. С учетом ц(-)=0, продифференцируем п ра^ нз-орос уравнение в (1.1) (подставляя iix{!)dt из первого уравнения): в р№льт!гз пил^'чим W+1 соотношений вида
М'НМО,
d"y{í)ídt л=ОГлг(/!
Сложим данные равенства, предварительно умножив первое из них на щ второе - на а и и т.д. последнее «та единиц»', где a¡. (/=0. ,, . в-1) -цСгзффициейЗы норм ири ванне го характеристического ПЬЛИНОМ^ '¿Оу^ЩЩл-1 . ,-hüj íAOft матрицы A. îto msopeue Гамильтона-Юли матрииа А >дОЕлетворяет своему' характеристическому уравнению, пo5тo^гy члены с i(f) н правой части
■этих равенств исчезнут. В результате приходим к дифференциальному j равнению я-го порядка
FiVydt'+c,^ d* !>ity% ,к'+. ¿hty/di+at
}{t)=Q, (2 2)
где íi, являются (определение 1) решением сис^ темы алгебраических равнений:
Г<zi&>civ <z1^2>caC--- ^iP^dte I Гй1
j <ад>с<» .. [I a„.i H 6 L
... <znjz„>c^l tro J LtJ
(2.3)
чдесь z-il n"y/dt rt" и |=c-¿ "Ч--?
для/=1, .... Л.
Согласно дифференциального уравнения (2.2) .V,, линейно записною в С (7^) Покажем, что dim Span ,S'fl =и, при оптом «попутно» уста*сопим, что алгебраический базис в Span S„ - суть (n-i)-стру я процесса у. Будем рассуждать от обрил юге предположения. Пуст!, найдутся п вещественны* чисел fí,, не все из которых равны нулю и такие, что имеет место
при этом, не теряя общности, можно считать. что имеет место fVí=l: а противном случае порядок последнего дифференциального уравнения будет ниже я-1, что но влияет на дальнейший ход доказательства. Не трудно убедиться, что (2.4) приводит к противоречию (относительно порядка системы): в этом случае для у существует неуправляемая реализация с минимальной размерностью пространства состояний равной ít-L например (замечание I), в такой математической постановке, очевидно, имеет место следующая система реализации:
&0УО=Мй> (е'Г.
Го i о . . . о !о й i ... о I
А=|........................ I-
lo ÍÍ О ... 1 I L-tJo 'íJtt-J
конструкция px(л- 1)-ыатрицы С рассмотрена ниже (вторая часть доказательства); ограничимся общим замечанием, что элементы матрицы < зависят от начальных условий :{!<>), ■элементов матрицы Л и фиксированного выбора (лемма П. ft [10J) се циклического генератора (см. ниже параметры матрицы С системы (2.7)}.
(Достаточность). Пусть <й>я-кортож струй от процесса у(0 на интервале времени /' имеет структурный индекс п. Тогда, поскольку S„ линейно зависимо, найдется, причем единственный (поскольку dim Span SK.f=fí). набор вещественных í?f (Н), 1.....л-l), такой, что
J\Ü)¡íltHd„.¡ ti""!}it)'Jin !+., ,+üi dy{f)№ +Щ-
жк».
Теперь, обозначив через у< -,/-ую координату 0'е{), ... />}) вектор-функцииуеС '{ТЯ''), введем вспомогательный вектор состояния У^С '{Т.}Г) С координатными переменными Д,. 'заливаемыми определяющими выражениями:
В результате приходим к дифференциальной векгорно-магтричной системе ища
о, 1е т;
Го 1 о ... о I ¡0 о 1 ... о I
........................1-
|0 0 0. .н. 1 I |_-я<> -<¡2... -ЙГЛ.]]
НХ$.....0).
Обозначим через Ь некоторый (лемма П. 8 [И)]) циклический генератор матрицы Л и пу стъ О/еМ^Я) матрица, удовлетворяющая алгебраическим \ СЛОВИЯХ!
ВА-ЛГК
Очевидно. 1гто такая матрица существует и сил\ леммы 2„ причем
(2.6)
где кооффицйенти 1\ (1=0, .... а-!) решение линейной системы уравнений
Введем в рассмотрение векпор состяни* х(1) системы Тогда -/.Х^О,
х{1.))г~'Ь. что справехтиво в ситу леммы 3. В результате приходим к системе реализации для отдельной переменной^-) выходного сигнала
1
Ясио, что подобную систему (с теми же Л, Ь и с. но Св(Ч;й ¡У) можЙСЦ построить дтя любиго индекса./=1. . р. Таким образом, имеем окончательное решение дифференциальной реализации для процесс а
х,,-.Ъ- ГеУ; 12.7>
С = I.....I.
чш завершат докщатЩилтяо теоремы.
Следствие 1. Процесс уеС удов-
летворяет решению задачи реп тиации с системой (2.7) митшаяъНого Порядка л, если и только если для векторчфункций 5-,.....будет
.....(2у8)
тогда как для п т I векяюр-фукщий ^......тп,1<еЯп
I теет место
Г(*„.. (2.9)
Следствие 1 уетанаво1-[ва^тся комбинировани-е.м теоремы I и леммы 1; оно позволяет постро-
иль ал гор нтмнчес кую процедуру для анализа разрешимости залами реализации минимального порядка а классе линейных многомерных одно-родньсх систем.
Следствие 2. Пара (С.А) систем ч" {2.7) полностью наблюдаема.
Доказательство. Пу сть iiapa матриц (Cji) edc является наблюдаемой. Тогда. как известно (теорема 3,1 [11, с. существует нетривиальное (т.е. ненулевое^ А-инвариантное полпристрансттч> М: /?". геометрически определяемое как
Л'= <п {Кег (("Л"г): i-= i, ..., а) eR\ которое представляет f наибольшее А-инвариантное подпространство, содержащееся в Кег С - ядро матрицы С' выходного сигнала Обозначим '-срез S,H фактор-пространство через А: ЭТ-^ЗЧ линейное отображение, индуцированное в фатстор-прострлЕгстпе оператором .4 и. поскольку Кег Cz>N. то существует и такое линейное отображение С: что
СР=С,
где Г: - каноническое фактор-
отображенио. Таким образом, дтя вектор-функции у имеем возможность построить «фдк-тор-еиСтсмуи реализации вида
hi iiiimti словами, всегда можно построить однородную систему миниматьиой реализации "состояние-выход" но модулю максимальною ненаблюдаемого подпространства. Поскольку dim -H<dim /f4. то порядок этой реализации меньше пт что противоречит исходной посылке. Доказательство зйЕ^ршено,
Следствие 3. Для матрицы А системы (2. У) имеет место xP*)=ftW-
(Это следу ffj из замечания 3 и леммы П.8 | li). с. 2(,3]).
Сделаем несколько обших заключительных замечаний ио еюноду прикладного значения полученных в ^Toxt разделе теоретических результатов. Информациянную избыточность комплекса [Еодппшвительных апистСриирных измерений исключает характеристический признак исследуемого процесса «на предмет» корректности рассмотренной выше постановки, при этом условие (2.1) обеспечивает численную проверку зто-го признака.
Теорема 3 ¡юзволяет утверждать, что интервал Т наблюдения и-струи ограничен снизу (см. теорему 5 (GJ) лишь техническими возможностям™ измерите л ьцой и вычислительной аппаратуры, поскольку представление я-егру и (в кортеже с индексом я) определяется [¡и:нзв<]й траекторией системы, которую цеожнО рассматривать как «ку-сою? орбиты циклического генератора b матрицы реализации А относительна одгюплраметричеекпй гру ппы преобразований R, действующей в Rr.
Следствие I приводит к числетиэй процедуре проверки характеристического признака разрешимости задачи реализации процесса (2.1). Следствие 2 утверждает: любая линейная однородная реализаиия минимального порядка по существу является наблюдаемой фахггар-снсте-мой гю модулю максимального ненаблюдаемого подпросфансгва пространства состояний полной линейной однородной системы уравнений моделируемой динамики. Проблему существования адюритма параметрическом ццентификэднн в классе линейных однородны* систем минимальною порядка, сводящуюся к задаче алгоритмизации процесса построения минимального полинома матрицы Однородного обьекта. решает следствие обеспечивающее свойств» ци•личности линейной оболочки фазовой траектории в структуре фазового потока с циклическим генератором и фундаментальной матрицей системы реализации.
Доказательство теоремы 1 Определяет основные ""шаги" в построения однородной системы реализации минимальною порядка п.
шаг 1 ■ определение минимального порядка п однородной системы дифференциала юн рсали-за [щи через вычисление соответствующею индекса кортежа струй исследуемою процесса (2.1 ) (согласно (2. К), (2;9));
шаг 2 — вычисление -элементов {-а^ -ai, ..., -J фробениуCOBOИ матрицы А моделируемой однородной системы дифференциальных уравнений (на базе построенного на шаге 1 минимального порядка п и решения системы (2.3)):
шаг 3 ■ фиксации начального векгора состояния Л7;. системы реализации в форме некоторою (лнтбого эв.данного) циклического генератора Ь для А и расчет матриц Dj 0=1, .... р) и С выходною сигнала (согласно выражений {2.5Н2.7), Ь и положения (я-1 )-струи в момеит времени i,,)
Хотя вы псе в основном било уделено внимание проблеме существования алгоритма реализации, отметим, что вопрос о его помехозащищенности решается положительно на основе заложенной и нем минимизации чиста параметров системы. подлежащих оценке (в отличие от подхода, ку льтивированного в [Е])? а именно, идентификации минимального полинома матрицы Л («шаг 2») и элементов матрицы С ¿"шаг 3") rso осрсднениым на i измерениям выходного сигнала.
С У11 [ ЕС ТВОБЛ H И F, РЕАЛИЗАЦИИ "ВХОД-ООП ОН H И Е-КМ ХОД"
Условия (1.2) постановки задачи реализации
L.Hib>i i: МО:. И НИ н О преде 1СНИЯ МИНММ(11ьны\
размерностей пространств "входных" и "выход-ifijx'f Сигналов, ¡«о все-таки (по бол ел [тому счету) на достаточны. Чтобы исключить статическую связь между координатами нары "вход-вьтход". необходимо, помимо означенных условий, чтобы
любая переменная выходного сигнала не сводилась к линейной комбинации переменных вектора входных воздействий: это естественное требование формализует:
Определение 6. Пару (у,ы)е С ' '(TJi^xC ' ( TJ\"') назовем динамической, если для нее выполняются следующие m ¡т условия slim Span{,v¡€Сf(ТЯ): t= !. . tp}=p. со1(й,. .,у?)',=у, dim Span {¡fóí "(ТА) :j=\. . .m)=m. oot(Wj,. ,.*um)-=u:
Лемма 4. Пара (уя)еС "{ТМГ)*С "(TJT) является динамической f; там и талька том случае, если ¡смеют место оба равенства
г(у.г. v3..... у,)*«, ai)
Ш К:..... UmM), M, ■
везле далее процесс "вход-выхол"
(yjt)EC (ТЯг)хС"'(ТЯ'"') динамическая пара.
Далее, заметим, что степень Мак-Миллана [10, с. 221 степень'"правильной" передаточной функции, соответствующая минимальному порядку, ipeôyer внесения коррсклива языка струй (определение 3). на самом деде, но считая сокращений ""нулей-полюсов" в условии реализации правильной передаточной функции |10, с. 21Í. большого рахтичия в возможных математических конструшияч это по корректива по существу ne имеется. Поэтому ниже разработаем вариант реализации, обеспечивающий отсутствие данных "нулей".
Пусть {e¡. еъ . ., - стандартный (естественный) базис в R!' и U:.-[n<e¡. .... ííjí-^S, где - j- ая координата ..., m}) вектор -
функции it^C '(ТЯ"')- Стелющее определение важно как для уточнения основных математических понятий развиваемой ниже теории апостериорного моделирования уравнении динамики, так и согласованности их с введенными ранее (определение 3).
Определение 7 Пусть *(1Ж)хС Л(ТЯ") - процесс '«ход-выход" и к -некоторое неотрицательное целое число. Тогда множество S>:;¡m
àyÎtk, ....d*ytdtVi(3-2)
назовем k.pm-cmpyeit процесса (y.ff) на интервале времени T.
Замечание 4. Отсутствие в конструкции ¿"./ля-струи производных от переменных входного сигналя и по существу & prion исключает наличие нулей правильной передаточной фу нкции системы реализации, в этом контексте далее иод системой дифферент шальной реализации динамической пари (3,1) будем подразумевать систему ""вход-состокипе-выход" минимального порядка, ибеспечиваюшую отсутствие нулей у векторной передаточной функции вход-выход": что не исключает (методологический нарушение теоремы 2.4 f ¡0. с 60j.
Ясно, что на и^гтервалс времени Т любой <Ж«^>^кОртеж и! /,£>нн-струй динаммче С ко ГО
процесса ОуОеС ЧТЯ*') может обла-
дать (или не обладать) структурным индексом в смысле определения 2: разрешимость jroro вопроса устанавливает следующая лемма
Л е м м а 5. <S) ¡„р-^кортеж j,pmrtimpyü процесса (у.н)ьС '(ТЯ'")^С 'С/Я'") обладавш индексом к ■ рт в том л только том случае, если для
к+рт ъектор-фунщий sj..... Sk^^Stj.pm имеет
место r(fj..........тогда как для к+1 рт
$щтор-ф\лщцп} .., A+j+jnm из St¡pm определитель Грана равен нулю.
Доказательство. (Необходимость). Если hi щеке кортежа J .рт-струй SJi¡!lt/> ./-О, . . к динамического протвсса 0'-") равен к ■ рт. то (согласно определения 2) справедливы раветбетва dim Span Span Si.!pn,=k ■ рш
и, следовательно, для соответствующих определителей Г рам а бу,тет
гщ,.., о, t(si.....¿vJ+ÍW)=o,
что имеет место в силу предетаилсннн (3.2) и леммы I.
Достаточность у стандвтивастся прямым обращением приведенного выше вывода. Лемма доказана
Теорема 2. Пусть (у,н)<еС "(TJ?yxC T/líO - динамически процесс «вход-выход/>, Тогда (у,и) удовлетворяет решению задачи ¡реализации в классе систем (11) минимачыюго порядка н. если и только если <S, ¡¡„^¡¡-кортеж ил j,pm-струй, индуффованн ых вект off-функу tt#í¡ (v,íf) на интервале времени Т. имеет индекс к-рт. при этом кр-^>к.
Замечание Вариант. когда порядок и реализации равен к, иллюстрирован ниже в примере I (кроме того, он заведомо осуществляется для процессов с нулевым управлением - теорема I). случай п=кр в приведен примере 2.
Доказател ьство теоремы 2. (Достаточность) Поскольку множество линейно зависимо в С ' (ТЯГ)Т то найдутся, согласно леммы 1. такие (причем единственные) два напора вещественных чисел ¡í, (/=0, 1, ..., £-1) и #,¡ (r=l, 1. ..., ю). что процесс (vjí)будетудоййе-гворять вейгорно-метричному ди(^[|крснии11Ь-ному у равнению
d*y(lyái" +át_i¿f ()iá *'■.. +á¡ch{tyáí Hl&yt)=
= ß) . íi3)
гле /](у-К .... m) и GcM^R) имеют структуру согласно соответствующих им коэффициентов нухкрйиия чисел суть нумерация mcxíchtob матрицы íj, при этом векторы Д полезны при составлении передаточных вектор-функинй для вьсходтюго сигнала у относительно конкретного входного воздействия и,.
Теперь наметим (в продолжении хода доказательства) общую вычислительную сдоцедуру
динамической реализации моделируемых дифференциальных уравнений; условно си можно составить и} двух шагов. На шаге I будем строить реализацию системы "вход-выход" (3.3) в терминал некоторой системы с геометрической Структурой типа "вхид-еустояние-выхид' с кр-мерным пространством Состояний (и. следовательно. )1<кр). Второй шаг процедуры реализации заключается в построении системы «вход-состоянис-еыход». обладающей минимальным порядком, или. есьоря более формально, на mate 2 должны построить "фактор-систему" но модулю максимального ненаблюдаемого подпространства пространства состояний системы реализации типа "вход-еОотояиие-выход", найден-" ной на шаге I.
Шаг 1. Ведем в рассмотрение z{t) кр-мерный ве!аор состояния-
Это аналитическое представлена приводит (в силу дифференциальных уравнений (3.3)) к новой вектортю-матричной дифференциальной
системе
ifz{tydf^h[t) Hiм(/>, !t Т. (3.4)
\it')-Cz(t),
Г о Ек 0 .. .. 0 1 Го1
1 о 0 Ек . .. 0 1 1 ы
=1 % йЧ... 1
1 0 0 0 ... Ек I 1 о|
-PiE* -ájE/f . Ы
где Ек у- единичная ¿^матрица, матрицы А, <3, Г суть элементы соответствующих пространств
сшрЛт(я% с
истема
(3,4) решает задачу дифференциальной реализации. чотя возможно в чуть большей общности, чем -то обычно бывает еп~жип: с^ порялпк, как правило, не отвечает условию минимальности, что важно для преодоления процедурной '"переобусловленности' задачи моделирования Это зачру днение снимает- второй шаг реализаций.
Шаг 2. Данный шаг процедуры реализации состоит в редукпии системы (3.4) клаЩш{ЩнЩ реализации типа "вход-состояние-выхол": то делается весьма просто при помоши координатного построения максимального ненаблюдаемого гюдпространства Меж* системы (3.4). и имеющего [ 11, с. геометрический вид
№=г>{к£г(^'1:г=1.....кр} ^ ЪЯ?,
которое представляет наибольшее ^-инвариантное подпространство, содержащееся в Кег С (ядро маггрицы (').
Пусть >?=л;/7-(}и1э N Далее, обозначим через Н" факггер-лроетранстяо К Ш, через А -
линейное отображение, индуцированное в И" оператором А системы (3.4) и. поскольку имеет
место включение Кег (,Ъ.\'Г то су ществу ют такие, линейные отображения ¿í' Rm-*Ry и С; R"— что для них справедлива fi=P(i. СР=С, где Р: /?t,,J->/ín - каноническое фактор-отображение по модулю N. Таким образом, для процесса (у,и) имеем возможность построить «фактор-систему!» дифференциальной реализации вида
dxí{}(/i=Ax{t)+fín(i), x(tv)=Fzn. aiT, (3.5)
I 1оскальку dim /¿"<dmi ifr,. то порядок n данной реализации не превышает- значения кр: систеата (3.5). вообще говоря (см. замечание 4), возможна i ie будет полностью управляемой, однако она обладает- одним приятым свойством, выраженным языком стру кгу ры матрицы GeAJ^ÍR), а именно, система (3.5) полностью управляема тогда и только тогда, когда (7 не имеет нулевых строк.
(Необходимость). Пуетт» проттссе (у,и) удовлетворяет решению некоторой системы (IJс минимальным пространством состояний R'\ и пусть к степень минимального полинома матрицы А. Продифференцировав к раз второе ура днение системы, и подставляя, каждый раз. выражение dxKfydt из первого уравнения, в результате эшх векторных ^манипуляции ' получим £+1 равенств >{tyCx(.t\
iiy{s)!dt==CAxlií)+CBum,
iihWdí'-( A-x{r): САВу{1)+С ИduUyJt,
............................................... (3.6)
á>y(t)tdÍ?=CJÍx($+CA-3Bu(r>+ Н CAi2BMt)idt Vr,+CBef*u
~d*\ii)!dt t^CAtxií) +CA11Вг0)± +CA Bdu(t)!dtfyi. £СВ<П((№
Сложим уравнения (3.6), ум нож и я пертюе на ¿¡о. второе - на áj. и т.д., последнее иа единицу, где ííj - коэффициенты нормированною минимально^ полинома
матрицы А системы (] Л) Учитывая, что А удовлетворяет уравнению л(ЛМ). вектор-функция a"(í) в правой части суммы уравнений системы (3.(i) исчезнет. Как результат приходим к вектгор-номдтричному дифференциальному уравнению Л-го порядка отиосительтю процесса (К")
dkyif)ídt Чт;,: d^'yitydt У-'+.., +ÍT; dtft)/dt+ícXl)=
h.Д J Jí 1 u(f)!dt . r4 B¡Mt)lJt+в,J»(/). (3.7)
где матрицы B^eM^JJl) в силу (3.6) имеют вид Ц =С(АН 1 + c¡t-i .'. +А + а}+}Ел)В,
.....A-I,
мнтрицы . , ¿-I заведомо нулевые r си-
лу- априорного предположения об отсутствии нулей векюрной передаточной функции ""вход-выход" (замечание 4),
Далее, поскольку степень полинома jí(^) не Biinne п. то минимальти>!н порядок отвс'Еает опенке п>):. Поэтому из стругюурь[ уравнения (3.7) вытекает: всппор-^ нкцин ((уяячггруи S^ ли-
нейно зависимы к С "(7\1{р)хС ('TJtоткуда, если dim Span S^.fjwr ^H-pát, to в доказательстве можно ставить «точку», В противном случае в силу (3.1), (3 2) найдется такой минимальный / что dim Span - dim Span Sj-i.pit —J --рт* ясно. что индекс у соотносится с .чини-мадьным порядком как ¡i^j при этом вариант п>;р приводит к противоречию, т к всегда можно построить реализацию для (у,н)„ ЯНЗ)ВД-гичнувд представлению (3.4). Доказательство завершено.
Следстйке 4. Динамический процесс iyjt) удовлетворяет /тетеиию задачи дифферещиáib-nwi pea/ttciíti(uu в классе систем {!.}) с минимальным порядком п (с оценкой кр> п JlÁ\> при id только при yCflOGUIL кп.'да для k \-pm аекнюр-
функщ& я¡.....ít+^eií-jjotí tLveem место
Г(и.....si+pa,)¿), {3.S)
mогда как для k+I+pm еектор-фупкциü s¡. ... JjH-i+jft из S^ Qydm
Г&.....{3.9}
Следствие 4 позволяет построить вычислительный алгоритм анализа разрешимости задачи реализации уравнений линейной динамики «вход-состояние-выход» с минимальным фазовым пространством состояний.
Следствие -i. Пара К\А) реализации (ii) (с мщнмаяьиц/и порядком п) процесса Hví) полностью наблюдаема,
Следующие примеры шатко коммфэтруют замечание 5.
П р и м е р i. Пусть yíO^oH^V-l), jí(í)= !, 7^[0j ji в татей постановке (у,и) - динамическая пара (н силу (3.Í® с индексами выходного и входного сигналов, равными р=2 и ;л=1. Следствие 4 справедливо с индексом к~ 1
при этом для процесса (г,ы) система дифференциальных уравнений его реализации минимального порядка п k имеет вид
dx;¡{tydt=2xiit\ dxL{í)!dt=x_<í)+it(t), xj(0)=l, хЩ))=<), не Т.
Пример?. Пусть .KO^ol^V-l). "(')-Ь 7-[4),11. В сил> (3.J) (у.м) - динамическая пара с рг2 и т-1 Следствие 4 справедливо с к- \
ity{()klt-y{i)=¡i{t)e?.
Для (>;í0 реализации мингагального порядка п=кр имеет вил
(lx¡{t)¡át=\-i{l)^ dx^sydt=x¿if)+-u (?), £Д0)=1,
ъ(0)=0.
Из примера 1 следует, что кортеж струй отдельной учзй переменной выходное сигнала может иметь значение k¡ индекса кортежа, которое меньшее (н примеру I для уц имеем kf=]) чем аналогичный индекс от всего выходного сигнала
(имеем к--2); т.е../-an строка матрицы вы\одною
сигнала такова, что не вес жордановы клетки мат-
рицы системы активируют сигнал ./-ей переменной от г; эго приводит к тому, что передаточная функция этой переменной ¡¡одержит не все по-тю-си общей векторной перслаточ*юи функции модели реал изат сии (см птап 4 раздела 4).
Пример 2 показывает, что минимальный порядок еиСчСмы "вяоД-СОСЮяннС-йыхОд" |н |[ри-мерс 2 п=2) ис во всех случаях можно восстановить но данным измерений, полу ченным на собственном движении объекта, т.е. предварительно восстановив структуру однородной системы (соответственно итН X что. например, культивировалось д^я идентификации этого порядка в [8],
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Наложенные идеи можно развить в нескольких направлениях
- нй системы с кусочно-непрерывным управлением. и имеющие структуру передаточных фу нкций с произвольном степенью Мак-Миллана (в этом контексте имеется в вид}-' естестве] гный симбиоз с теорией распределении |! 2|):
- на конечные пучки последу см ых траекторий (с различными мриаьггши, как вектор-функции управляющих воздействий! так н вектора т начальных состояний):
~ на системы, описываемые уравнениями с запаздываниями:
- на квазилинейные системы '"вход-состояние-еыход", включающие учет нелинейных членов в правой части уравнений состояния.
Райота поддержана грэлт-кшггр актами: Российский фонд фундаментальных исследований (проект № 1)9-01-00274), Программа фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН. Гран г Президент Российской Федерации пи государственной поддержке научных школ Российской Т>едерации (№ НШ-
1б7ъ201Жи
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Льюи? Л. Идентификация систем. Теория для пользователя, - М,; Наука. 199 3,
2. Русанов И.А., козыре« В.А., Д.К. Урйаносич, Шишкин ГМ Оптимизация процесса гальваностегии на £азе апостериорной моде.ли ее динамики Н Вест ник Московского государственного техзточсского университета Сер. "Естественные науйг. - 2007. - - С 98-{09.
3. Кашан Р.. Фа:б П.. Арбиб М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971.
4. Месарович М, Такахара Я. ОЗшан теория систем: математические основы,- М: Мир.
5. Pitldernum J. И-'., Willems J.С, Introduction to iiia-
themalical systems theory: Л behavioral approach. - Berlin. Springer-Veilag, 1997.
6. Данеев A.B., Гусиное В.А.. Р\>санов M. B. Or pcinH'.iauHH Ka.iM3iiíL-MÉ:gpnBH4ii к линейном моле л и нормально-гипкрболи'Ееското типа П Кибернетика и системный диализ. - 2D05, - JTi 6. - С. 137-157.
7. Дзнеев Л И., Лакцев А Н.. Русанов Н А, Русанов
At В. К теории реализации сильных дифференциальных молелен. I // Сибирский ж\ риал индустриальной математики - 2005 - Т УШ,-№ 1.-С |3-6¿ ti. Д\mnipuea A fi.. Дружинин Э.И, Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных ыод&йей с условиях полной
параметрической Неопределенности & И:зт5ее-тия RAI i. Теория и системы управления. -1P>№1-C, 44-52.
У. ГЪтпшаер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука,
i т.
]0, Поляк К.Т., Щербаков ПЛ' Робаспная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002.
3!. Уог/лн Л/ Линейные многомерные системы управления- I »метрический подход, - М.: Наука, 1980.
12. Гаишун И.В. Идентификация линейных нестационарных систем по реакции на обобщенные управления i! Дифференциальные уравнения - - Т. 44,- № 3. -С. 301-3(07,
ABOUT STRUCTURALLY-PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF STATIONARY MULTIDIMENSIONAL SYSTEMS
© 2009 A.V. Daneev1, V.A. Kozyrev2, A.E. Kumenko3, V.A. Rusanov2
'East-Siberian institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia, Irkutsk 2 Institute of Dynamics of Systems and the Theory of Management of the Siberian Branch of the Russian Academy of Science, Irkutsk 313-th State Scientific Research Institute of the Ministry of Defence of Russia, Lyubertsy
In the paper it conducted research of the qualitative properties of aposteriorial dynamic processes of a type
"input-exit", supposing modelling realisation of Kalman-Mesarovich in a class of linear invariant in time
multidimensional systems "input-condition-exit" of minimal order. Constructive procedure for reception
of such realisations (both with managing program variables, and without them) is offered.
Key words: structurally-parametrical identification, dynamic process, the task of realisation Kalman-
Mesarovich
Alexey Daneev, Doctor of Technics, Chief of Department. E-mail: [email protected]. Vladimir Kozyrev, Graduate Student.
Anton Kumenko, Candidate of Technics, Head of Laboratory. Vyacheslav Rusanov, Doctor of Physics and Mathematics, Chief Research Fellow.
