CC BY
16
УДК 517.926
ОТ МНОГОМЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ КАЛМАНА-МЕСАРОВИЧА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ СЛОЖНОГО ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА. II1
А.В.Бойков2, В.А.Русанов3, Г.М.Шишкин4
Восточно-Сибирский институт МВД,
664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 110.
2Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.
3Иркутская государственная сельскохозяйственная академия,
664038, г. Иркутск, пос. Молодежный.
В работе, являющейся продолжением части I, приведены алгоритмы параметрической идентефикации линейной стационарной модели сложных физико-механических процессов с программными уравнениями воздействия. Библиогр. 8 назв.
Ключевые слова: сложный физико-механический процесс, задача дифференциальной реализации, многомерные уравнения динамики СФМП, динамические системы, задача реализации с автономной системой, динамический процесс «вход-выход».
FROM THE MULTIVARIATE KALMAN-MESAROVICH IMPLEMENTATION TO THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF A COMPLEX PHYSICAL-MECHANICAL PROCESS.II A.V.Boikov, V.A. Rusanov, G.M. Shishkin
East Siberian Institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia 110 Lermontov St., Irkutsk, 664074
The Institute of System Dynamics and the Control Theory of Siberian Department of Russian Academy of Sciences 134 Lermontov St., Irkutsk, 664033 Irkutsk State agricultural Academy Molodezhniy settlement, Irkutsk, 664038
This paper, which continues the Part I, presents the algorithms of the parametric identification of the linear stationary model of complex physical- mechanical processes with program equations of impact. 8 sources.
Key words: complex physical-mechanical process, the task of differential implementation, multi-dimensional dynamic equations of complex physical-mechanical processes, dynamical systems, the task of implementing with an autonomous system, "input-output" dynamic process.
В этой части работы (являющейся продолжением [1]) обратимся к вопросу апостериорного моделирования конечномерной стационарной системы дифференциальных уравнений с программным управлением, описывающих динамику наблюдаемого сложного физико-механического процесса (СФМП), с позиций решения задачи дифференциальной реализации системы «вход-состояние-выход» минимального динамического порядка, позволяющего принципиально по-новому по сравнению с [2] подойти к проблеме дифференциального моделирования уравнений динамики СФМП.
Заметим, что вид дифференциального уравнения
исследуемого СФМП, а также факты его детерминированности, конечномерности и дифференцируемости можно установить лишь экспериментально (см. [2]), следовательно, - только с некоторой степенью точности. В дальнейшем не будем всякий раз подчеркивать это обстоятельство, а будем говорить о реальных СФМП так, как если бы они точно совпадали с нашими идеализированными математическими моделями, (терминология и обозначения [1] сохранены).
Существование модели «вход-состояние-выход», реализующей СФМП. Пусть R:=(<x>,<x>) - вещественная ось; Rч - д-мерное евклидово пространст-
1Работа поддержана грант-контрактами: Программа фундаментальных исследований № 15 отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления (проект № 2.5), Российский фонд фундаментальных исследований (№ 05-0100623), Грант Президента Российской Федерации по государственной поддержке научных школ Российской Федерации (№ НШ-1676.2008.1).
2Бойков Алексей Валентинович, старший преподаватель кафедры управления и надзора в системе обеспечения пожарной безопасности, тел.: (3952)410830, e-mail: alexb308@yandex.ru
Boikov Alexey Valentinovich, a senior lecturer of the Chair of Control and Supervision in the System of Provision of Fire Safety, tel.: (3952)410830, e-mail: alexb308@yandex.ru
3Русанов Вячеслав Анатольевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник.
Rusanov Vyacheslav Anatoljevich, a doctor of physical and mathematical sciences, a chief research worker.
4Шишкин Геннадий Михайлович, кандидат технических наук, профессор кафедры ремонта машин и технологии металлов.
Shishkin Gennadiy Mihailovich, a candidate of technical sciences, a professor of the Chair of Machinery Repair and Technology of
Metals.
во над R со скалярным произведением \ ? /Rq );
Mn,m(R) - пространство всех nxm-матриц с элементами из R; T:=[fo,fi] - отрезок полуоси [0,<») и CM(T,Rg) - пространство всех бесконечно дифференцируемых на T функций со значениями в Rq. Считаем, что C M(T,Rg) наделено структурой бесконечномерного евклидова пространства со скалярным произведением
{<Р,Ф)с» :=i т{Ф)Ф(т))q dz, Ф,феС M(T,Rq).
Выделим класс динамических систем «вход-состояние-выход», описываемых в пространстве состояний R" векторно-матричным дифференциальным уравнением:
dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t), teT, (1) y(t)=Cx(t), x(to)=XoeRn,
где x(-)eCM (T,Rn) - траектория системы; u(-)eCM (T, Rm) - управление («вход» системы); y(-)eC M(T, Rp) - «выход» системы; AeMnn(R), BeMnm(R), CeMpn(R), p <n.
Центральная проблема задачи реализации заключается в том [1], чтобы для заданного отображения «вход-выход» (y(-),u(-))e C м(T, Rp)xCM(T, Rm) с переменными такими, что dim Span{y(): /=1, ..., p}=p и dim Span{u/(-): j=1, ..., m}=m, построить пространство состояний Rn минимального динамического порядка n, начальное состояние x(t0)=x0eRn и систему уравнений (1) («вход-состояние-выход»), эволюционирующую на Rn и имеющую такое же отображение «вход-выход» (y(), u()).
Требования dim Span{y,(): /=1, ..., p}=p, dim Span{uj(-): j=1, ...,m}=m оправданы с позиции рациональной минимизации апостериорной информации, отражающей динамику СФМП, но (по большому счету) все-таки недостаточны. Чтобы далее минимизировать возможную избыточность в этой информации и обосновать существование дифференциальной связи пары «вход-выход», необходимо, помимо прочего, чтобы любая переменная выходного сигнала не сводилась к некоторой линейной комбинации «входов»; это естественное требование формализует:
О п р е д е л е н и е 1. Процесс (y(-), u(-))e C M(T, Rp)xCM(T, Rm) назовем субинтернальным, если на нем выполняются следующие геометрические условия:
dim Span{y(): /=1, ..., p}=p, dim Span{u/(-): j=1, ..., m}=m, y/(-)gSpan{u/(-): j=1, ..., m}, /=1, ..., p.
Л е м м а 1. Динамический процесс (y(-), u(-))e C M(T, Rp)xC M(T, Rm) является субинтернальным в том и только том случае, если имеют место оба равенства:
^(yi, y2,..., yp)*0, (2)
Г(У/, ui, ..., u2, um)/0, /=1, ..., p, где соответствующие определители Грама Г(-,.,-) составлены для скалярных произведений функций класса CM(T,R).
Далее, заметим, что степень Мак-Миллана [3, с. 22] (степень «правильной» передаточной функции5, соответствующая минимальному динамическому порядку n системы (1)) требует корректива языка струй (см. определение 3 [1]); на самом деле, не считая сокращений «нулей-полюсов» в условии реализуемости «правильной» передаточной функции [3, с. 21], большого различия в возможных математических конструкциях этого корректива по существу не имеется. Поэтому ниже разработаем вариант реализации, обеспечивающий отсутствие данных «нулей».
Обозначим через {е1, e2, ..., ep} стандартный (естественный) базис в Rp [4, c. 15], через Uj - семейство вектор-функций {uj()e1, u()e2, ..., uj(-)ep}, где uj() - j-ая координата (/e{1, ..., m}) вектор-функции входного сигнала u()eC M(T,Rm).
Следующее определение важно как для уточнения основных понятий развиваемой ниже теории апостериорного моделирования дифференциальных уравнений СФМП, так и для согласованности их с введенными ранее (определение 3 [1]).
О п р е д е л е н и е 2. Пусть (y(-),u(-))e C M(T, Rp)xC M(T, Rm) - процесс «вход- выход» и k - некоторое неотрицательное целое число. Тогда множество Skpm вида
SKpm:={y(-), dy(-)/dt.....dky(-)ldtkMU: j=1.....m} (3)
назовем kpm-струей процесса (y(-),u(-)) на интервале времени T.
З а м е ч а н и е 1. Отсутствие в конструкции k,pm-струи производных от переменных входного сигнала u(-) a pr/or/ исключает наличие нулей правильной передаточной функции. Последнее обстоятельство делает корректным использование (в прикладных расчетах моделирования апостериорных дифференциальных многомерных уравнений динамики СФМП) в качестве входных сигналов u(-), класс кусочно-непрерывных функций; в этом контексте везде далее под системой реализации будем подразумевать систему - «вход-состояние-выход», обеспечивающую отсутствие нулей у векторной передаточной функции «вход-выход».
Ясно, что на интервале времени T любой <Sjpm>k-кортеж из j,pm-струй динамического процесса (y('),u(-))e CM(T, Rp)xCM(T, Rm) может обладать (или не обладать) структурным (алгебраическим) индексом в смысле определения 2 [1]. Разрешимость этого вопроса устанавливает следующая лемма.
Л е м м а 2. <Sj,pm>k-кортеж из jpm-струй на интервале времени T для субинтернального динамического процесса (y(■ ),u(- ))e C M(T, Rp)xCM(T, Rm) обладает индексом k+pm в том и только том случае, если для k+pm вектор-функций s1, ..., sk+pme Sk-1pm имеет место r(s1, ..., sk+pm)?0, тогда как для k+1+pm вектор-функций s1, ..., sk+1+pm из Skpm определитель Грама равен нулю.
5 То есть такой передаточной функции, у которой степень полинома в числителе не превосходит степени полинома в знаменателе [3, с. 21]; следующее уточнение этой позиции означено в замечании 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. (Необходимость). Если алгебраический индекс конечной последовательности j,pm-струй Sjpm, j=0, ..., k процесса (y(-),u(-)) равен k+pm, то (согласно определению 2 [1]) справедлива цепочка равенств
dim Span Skpm =dim Span Sk-ipm =k+pm и, следовательно, для соответствующих определителей Грама будет
r(si, ..., sk+pm)/0, Г(§1, ..., Sk+i+pm)=0 в силу аналитического представления (3) и леммы 2 [1].
(Достаточность устанавливается прямым обращением приведенного выше вывода утверждения леммы в части необходимости). Лемма доказана.
Внесенные выше аналитические коррективы, по существу обобщающие уточнения теоретических положений [1], позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия разрешимости задачи дифференциальной реализации минимального динамического порядка в классе систем (1) для моделирования уравнений динамики апостериорного субинтер-нального процесса «вход-выход», описывающего экспериментальные наблюдения СФМП.
Т е о р е м а 1. Пусть (y(-), u(-))e С M(T, Rp)xCM(T, Rm) - субинтернальный динамический процесс «вход-выход». Тогда процесс (y(-), u(-)) удовлетворяет решению задачи дифференциальной реализации в классе систем (1) минимального динамического порядка n, если и только если <Sj,pm>k-кортеж из j,pm-струй, индуцированных (y(-),u(-)) на T, имеет структурный индекс k+pm, при этом kp>n>k.
З а м е ч а н и е 2. Вариант, когда динамический порядок n равен k, иллюстрирован ниже в примере 1 (кроме того, он заведомо осуществляется при интер-нальном процессе - теорема 1 [1]), случай n=kp в приведен в примере 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. (Достаточность). Поскольку функциональное множество Skpm линейно зависимо в пространстве С M(T, Rp), найдутся, согласно лемме 2, такие (причем единственные) два набора вещественных чисел а, (i=0, 1, ..., k-1) и g,j (i=1, ..., p; j=1, ..., m), что субинтернальный процесс (y(-), u(-)) будет удовлетворять векторному дифференциальному уравнению вида
d ky(t)/dt k+ak-id k-1y(t)/dtk-1+. +aidy(t)/dt +a0y(t)=
=(giiei+...+gpiep) ui(f)+...+(gimei+...+gpmep)um(f)= (4)
=Piui(t)+...+pmum(t)=Gu(t),
где векторы ве Rp, j=1, ., m и матрица G <Mpm(R) имеют очевидную параметрическую структуру согласно соответствующим им коэффициентам gij; заметим, нумерация чисел gij суть нумерация элементов матрицы G, при этом векторы в полезны при составлении (по результатам гальванометрических экспериментов) передаточных вектор-функций для наблюдаемого выходного сигнала СФМП y относительно конкретного входного воздействия uj.
Теперь наметим в ходе доказательства общую
вычислительную процедуру динамической реализации моделируемых дифференциальных уравнений СФМП; условно ее можно составить из двух шагов. На шаге 1 будем реализовывать систему «вход-выход» с уравнениями (4) некоторой системой «вход-состояние-выход» с А:р-мерным пространством состояний (и, следовательно, п<кр). Второй шаг процедуры дифференциальной реализации заключается в построении динамической системы реализации «вход-состояние-выход», обладающей минимальным динамическим порядком ; говоря более формально , на шаге 2 должны построить «фактор-систему» по модулю максимального ненаблюдаемого подпространства пространства состояний системы реализации, найденной на шаге 1.
Шаг 1. Введем в рассмотрение г(1) - кр-мерный вектор состояния:
2(0:=оо!(21(0, 12(1).....1к(1))е Rkp,
1№=у(Г), ..... 2к(Г)=бк-1у(тк'1;
символ оо!(-,.--,-) означает вектор-столбец с соответствующими элементами. Это аналитическое представление приводит (в силу уравнений (4)) к новой векторно-матричной дифференциальной системе
й(0/сйМг(0+6и(0, у(0=&(0, Zo=z(fo), 1еГ, (5)
Г 0 Ек 0 ... 0 1 Г 01
I 0 0 Ек ... 0 I I 0|
А= I...................................I , д=...| ,
I 0 0 0 ... Ек I I 0|
\_-ЭоЕк -¿1Ек -¿2Ек ... -Эк-1Ек\ |_б\
С=[Ек, 0.....0] ;
где Ек - единичная кхк-матрица; введенные матрицы А, д, С суть элементы соответствующих матричных пространств А е/Икр.кр^), д еМ^^), СеМРкР(R).
Система (5), очевидно, решает задачу дифференциальной реализации многомерного СФМП, хотя, возможно, в чуть большей общности, чем это обычно бывает нужно; её динамический порядок, как правило, не отвечает условию минимальности, что важно для преодоления процедурной «переобусловленности» задачи моделирования. Это затруднение снимает второй шаг реализации.
Шаг 2. Данный (заключительный) шаг процедуры динамической реализации апостериорного процесса (у(.), и(-)) состоит в редукции системы (5) к минимальной реализации типа «вход-состояние-выход». Это делается весьма просто при помощи вычисления максимального ненаблюдаемого подпространства Лс Rkp построенной системы (5), имеющего [6, о. 89] геометрический вид
Л/=П {Кег (СА-1): i=1,...,kp}Ф0eRkp, которое представляет наибольшее А-инвариантное подпространство, содержащееся в Кег С - ядре оператора (матрицы) С выходного сигнала у(0.
Пусть п=кр-сИт N. Далее, обозначим через ^ фактор-пространство Rkp/N, через А - Rп^Rп - линей-
ное отображение, индуцированное в Rn оператором А системы (5), и, поскольку имеет место включение Ker С э N, то существуют, причем такие, линейные отображения B: Rm^Rp и C: R%Rp, что для них справедливо
B=PG, CP=C, где P: Rkp^Rn - каноническое фактор-отображение по модулю N. Таким образом, для субинтернального динамического процесса (y( ),u( ■ )) имеем возможность построить «фактор-систему» дифференциальной реализации вида
dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t), x(to)=Pzo, teT, (6)
y(t)=Cx(t).
Ясно, что, поскольку dim Rn<dim Rkp, то динамический порядок n данной реализации наблюдаемого процесса (У( ),u( ■ )) не превышает значения kp.
Дифференциальная система (6) не будет, вообще говоря, возможно полностью управляемой, однако она обладает следующим приятным свойством, выраженным при помощи структуры матрицы Ge Mpm(R): система реализации (6) полностью управляема тогда и только тогда, когда матрица G не имеет нулевых строк.
(Необходимость). Пусть апостериорный субинтер-нальный СФМП (y(- ), u( )) удовлетворяет решению некоторой системы (1), причем с минимальным пространством состояний Rn, и пусть k - степень минимального полинома матрицы A (этой системы). Продифференцировав k раз второе уравнение означенной системы и подставляя каждый раз выражение dx(t)/dt из первого уравнения, в результате этих векторных «манипуляций» получим k+1 равенств: y(t)=Cx(t), dy(t)/dt=CAx(t)+CBu(t),
d 2y(t)/dt 2=CA2x(t)+CABu(t)+CBdu(t)/dt, (7)
d/y(t)/dt/=CA/x(t)+CA/-1Bu(t)+CA/-2Bdu(t)/dt+.
+CBd/-1u(t)/dt/-1, dky(t)/dtk=CAkx(t)+CAk-1Bu(t)+CAk-2Bdu(t)/dt+.
+CBd-k1u(t)/dtk-1.
Теперь сложим данные уравнения, предварительно умножив первое на вещественный коэффициент а0, второе - на а1, и т.д., последнее - на единицу, где а, -коэффициенты нормированного минимального полинома ■K(l)=lk+an-1lk-1+...+a1l+a0 матрицы A системы реализации (1) динамического процесса (y( ■ ),u( )). С учетом того, что матрица A удовлетворяет уравнению %(A)=0eMnn(R), вектор-функция x(t) в правой части означенной суммы уравнений системы (7) исчезнет. Как результат, приходим к обыкновенному линейному векторно-матричному дифференциальному уравнению k-го порядка относительно апостериорных измерений и их математической обработки операцией дифференцирования сигнала «вход-выход» исследуемого субинтернального процесса:
d ky(t)/dt k+ak-1 d k-1y(t)/dt k-1+...+a1 dy(t)/dt +a0 y(t)= =Bk.1d k-1u(t)/dt k-1+...+B1du(t)/dt+B0 u(t), (8)
Bj =C(Ak-j-1 + ak-1 A4-2 +.+ a+2 A + fyEJBeMp^R), j=0, ..., k-1;
матрицы Bj-1, j=1, ..., k-1 заведомо нулевые в силу априорного предположения об отсутствии «нулей» векторной передаточной функции «вход-выход» (см. замечание 1). Далее, поскольку степень минимального полинома я(Х) не выше n, то минимальный динамический порядок реализации отвечает оценке n>k. Поэтому из структуры дифференциального уравнения (8) вытекает: система вектор-функций k,pm-струи Skpm линейно зависима в пространстве C M(T,Rp)xC M(T,Rm), откуда, если dim Span Sk-1pm =k+pm, то в доказательстве можно ставить «точку». В противном случае в силу (2), (3) найдется индекс j, k-1>j>1, для которого
dim Span Sj,pm = dim Span Sj-1pm =j+pm; ясно, что индекс j соотносится с минимальным динамическим порядком реализации как n>j, при этом n<jp (вариант n>jp приводит к противоречию, т.к. всегда можно построить реализацию, аналогичную (5)). Доказательство завершено.
С л е д с т в и е 1. Субинтернальный процесс (y(■ ),u( ))e C M(T, Rp)xC M(T, Rm) удовлетворяет решению задачи реализации в классе систем (1) минимального динамического порядка n (с оценкой kp>n>k) при и только при условии, когда для k+ +pm вектор-функций s1, ..., sk+pme Sk-1pm имеет место r(s1, ..., sk+pm)*0, тогда как для k+1+pm вектор-функций s1, ...,
sk+1+pm из Sk,pm будет Г(^ ..., sk+1+pm)=0.
(Доказательство - прямая компиляция теоремы 1 и леммы 2). Следствие 1 по существу позволяет построить прямой вычислительный алгоритм анализа разрешимости задачи дифференциальной реализации стационарных уравнений линейной динамики СФМП с минимальным фазовым пространством состояний.
С л е д с т в и е 2. Для субинтернального процесса (У(■ ),u())e C M(T, Rp)xCM(T, Rm) дифференциальная реализация с минимальным динамическим порядком индуцирует полностью наблюдаемую пару (C, A) системы (1).
Следующие примеры кратко комментируют замечание 2.
П р и м е р 1. Пусть y(t)=col(e2t,e-1), u(t)=1, T=[0,1]; в такой постановке (y( ),u( ■ )) - субинтернальный процесс (в силу (9)) с индексами p=2 и m=1.
Следствие 1 справедливо с индексом k=2: d2y(t)/dt2-3dy(t)/dt+2y(t)=-2u(t)e2, при этом для изучаемого процесса (y( ■ ), u( )) система дифференциальных уравнений его реализации минимального динамического порядка n=k имеет вид dx1(t)/dt=2x1(t), teT, dx2(t)/dt=x2(t)+u(t), x1(0)=1, x2(0)=0; y1(t)=x1(t), y2(t)=x2(t).
П р и м е р 2. Пусть y(t)=col(et,et-1), u(t)=1, T=[0,1]; в такой постановке в силу (2) вектор-функция (y( ■ ),u( )) - суть субинтернальный процесс с соответствующими индексами p=2 и m=1.
Очевидно, что условия следствия 1 удовлетворены с к=1:
с(у(0М-у(0=и(0е2,
при этом, как несложно убедиться, для процесса (у(-),и(-)) система уравнений реализации минимального динамического порядка п=kp имеет вид
с1х1(()/сН=х1((), ¿еТ, dx2(f)/df=x2(f)+u(f), Х1(0)=1, Х2(0)=0;
У1^)=ХШ У2()=Х2().
Из примера 1 следует: кортеж струй отдельной ]-ой переменной выходного сигнала может иметь значение к индекса кортежа, которое меньше (в примере 1 для у2(.) имеем к;=1), чем аналогичный индекс от всего выходного сигнала (имеем к=2). На практике это приводит к тому, что передаточная функция этой переменной содержит не все полюсы общей модели реализации (см. этап 4 раздела 2).
Пример 2, помимо прочего, показывает, что минимальный динамический порядок системы «вход-состояние-выход» не во всех случаях можно восстановить по данным измерений, полученным на собственном движении объекта, т.е. предварительно восстановив структуру автономной системы реализации, что, например, культивировалось для идентификации этого порядка в [7].
2. Алгоритм идентификации (АДС)-модели. Соберем вместе основные «вычислительные» этапы параметрического построения линейной (минимального динамического порядка) стационарной системы типа «вход-состояние-выход», реализующей поведение «вход-выход» субинтернального СФМП; для этого выделим в общем контексте моделирования четыре (последовательные) ключевых этапа апостериорного математического моделирования уравнений динамики СФМП и кратко прокомментируем их содержание:
Этап 1: приведение комплекса апостериорных гальванометрических наблюдений «вход-выход» к многомерной модели субинтернального динамического процесса (у(-), и(-))е С М(Т, Rp)хC М(Т, Rm); достигается эмпирическим перебором переменных «входов» и «выходов» через обеспечение выполнения условий (2).
Этап 2: вычисление структурного индекса для ^^гкортежа j,pm-струй динамического процесса (у(.), и(-))е С м(Т^)хС М(Т, Rm); разрешимость данной задачи устанавливается посредством процедуры, организованной согласно лемме 2.
Этап 3: идентификация параметров дифференциальной модели «вход-выход» (4) и определение на базе этой модели системы «вход-состояние-выход» вида (5) с использованием прямых вычислительных методов текущей идентификации.
Этап 4: построение минимальной реализации «вход-состояние-выход»; либо вариант а) - вычисление максимального ненаблюдаемого подпространства системы (5) и факторизация по этому подпространству
пространства состояний системы (5), либо вариант б) - определение минимальной (по динамическому порядку) реализации для отдельной переменной вектор-функции выходного сигнала у(-).
• Этап 1 осуществляет эвристический подход (слепой поиск решения задачи минимизации апостериорной информации методом «проб и ошибок»), когда входное воздействие и(-) естественно рассматривать как причину, а выходную функцию у(.) - как реакцию на этот вход. Иными словами, в контексте устранения избыточности первичной информации задачи моделирования «вход» можно представить себе как то, что не зависит от модели, а определяется лишь внешней средой, с которой исследуемая модель взаимодействует (т.е. переменные и(-) являются свободными, поведение системы не накладывает на них ограничений и они причинны для поведения), в то время как «выход» у(.) зависит от модели, входа и начальных условий (предыстории системы). Таким образом, дифференциальные модели и, в частности типа «вход-состояние-выход» класса (1), по существу проявляют и свойство причинности, и наличие памяти; при этом (как показывают современная теория управления, динамическое программирование, марковская теория решений, калмановская фильтрация и т.п.) они представляют собой класс систем, наиболее подходящий для использования и в динамическом моделировании сложных апостериорных процессов и в задачах принятия решений на основе экспериментально построенных математических моделей динамики.
• Этап 2 алгоритмически сводится к итеративной процедуре последовательного к-расширения (к=1, 2, ...) ^^гкортежа j,pm-струй субинтернального процесса (у(-), и(-))е С М(Т, Rp)хC М(Т, Rm) до минимального значения индекса к, при котором для k+1+pm вектор-функций 51, ..., из струи Б^ будет выполнен критерий Г(51; ..., 5^+^=0; итеративность данной процедуры подразумевает использование свойства главных миноров определителя Грама, отмеченное в замечании 2 [1].
• Этап 3 ставит своей целью вычисление коэффициентов аI (=0, 1, ..., к-1) и д (=1, ..., p; j=1, ..., т) дифференциальной системы (4) (соответственно системы реализации (5)) на базе структурного индекса к, полученного на втором этапе моделирования. Обратим внимание на тот факт, что означенные коэффициенты зависят лишь от экспериментальных измерений крт-струи Бк^т, т.е. носят исключительно апостериорный характер, при этом алгоритм использует матрицу Грама, формируемую по осредненным измерениям данной струи, что повышает помехозащищенность алгоритма вычисления означенных коэффициентов а, д; поскольку вследствие сглаживающего свойства операции интегрирования (при осуществлении численной процедуры вычисления скалярного произведения в функциональном пространстве С М(Т, Rp)) улучшается обусловленность задачи идентификации при наличии высокочастотных шумов в апостериорных данных.
Обозначим через ¡=1, ..., рт элементы множества и{Ц: ¡=1, ..., т} из представления (3). Тогда, согласно функциональной структуре <5^рт>^-кортежа, коэффициенты а,, д, являются решением следующей (совместной и определенной; решение единственно) системы линейных алгебраических уравнений:
(*.> ^ (21> 2г) с" ■■■■ (*1>
«к-1 Г£ 1
а0 £
Еи £к+1
и _ £ ^ к+рт
{2к , с" , 2г) с" "" ( , 2к+Д.
(2к+1> 2\1с» (2к+1> " """ (2к+1> 2к+р^с»
\ к+1/ с" \ к+рт^ 2/ с" \ к+рт^ к+рт / с
где к"У(0/Л к-/, £=<-6 куО)М к,г,> С" для ,=1, 2, ..., к и 1к+==-ш, £=<-с(ky(•)/df к, Шу>С" для¡=1, ..., рт. Остается заметить, что результаты данного этапа моделирования позволяют скорректировать «субинтернальную» модель СФМП, а именно, если в системе (4) найдется нулевой вектор-столбец в (=1, ., т), то переменную ^¡(•) можно исключить из состава вектор-функции и(^).
• Этап 4 приводит дифференциальную реализацию (5), построенную на предыдущем этапе, к «фактор-системе - вход-состояние-выход» минимального динамического порядка (алгоритмизация варианта а)) либо устанавливает параметрическую модель минимальной динамической реализации для каждой (отдельной) переменной вектор-функции у(-) (алгоритмизация варианта б)). Ниже подробно рассмотрим вариант б), поскольку он приводит к системе уравнений, наиболее приемлемой с позиции обеспечения помехозащищенности моделирования СФМП на основе известного в линейном анализе факта устойчивости численных методов имитационного моделирования линейно независимых систем.
Путем последовательного применения элементарных преобразований можно перейти от системы «вход-выход» (4) к системе «вход-состояние-выход» (1), отражающей дифференциальную связь между фиксированной переменной вектор-функции у(-) выходного сигнала и вектор-функцией входных воздействий и(-).
С этой целью обозначим через у/-) - ¡-ую координату (/е{1, ..., р}) вектор-функции у(-), после чего введем вспомогательный вектор состояния /¡(•):=со\(/1(^), ¡(•), ., /^•))еС"(Т, Як) с координатными переменными, равными
/л(0:=уф, v¡2(f);=dy¡(f)/df, у№=1 У(
/у(0:=с( '-1уф! '-1, (/=3.....к).
В результате приходим к системе реализации «вход-состояние-выход» для отдельной (выделенной) переменной у() выходного сигнала:
у(0=</0,
Г0 1 0 ... 0 1 |0 0 1 ... 0 I
Д=1.......................... I ,
|0 0 0 ... 1 I
\_-3o -&1 -¿2 ... -а-]
с=[1, 0, ..., 0] ,
при этом все вектор-строки матрицы ]^/еМкт(Р) нулевые, кроме к-ой, равной ¡-ой вектор-строке матрицы ве Мрт(Р) системы (4).
Поскольку теория преобразований Лапласа и передаточных функций, разложение которых на элементарные сомножители дает всю необходимую информацию и открывает возможность решения достаточно широкого круга задач, приведем в (в предположении, что к=к; см. выше комментарий к примеру 1)6 терминах системы (4) передаточные функции от управления и к выходу у:
у=1'=1.....т(^+ап-Дк-1+...+аД+ао)~1ди', (¡=1, ., р);
где I - комплексная переменная из преобразований Лапласа.
Заключение. Предложенная статья заключалась в рассмотрении моделирования и идентификации линейных многомерных стационарных систем типа «вход-состояние-выход», описывающих динамику апостериорных СФМП, при этом преследовалось несколько достаточно общих целей. Во-первых, предложить четкий концептуальный подход для исследования СФМП в условиях гидромеханической активации, во-вторых, разработать эффективный язык кортежа струй, на котором можно обсуждать вопросы точного моделирования, основывающегося на наблюдениях, и, в-третьих, указать алгоритмы для построения многомерных динамических моделей СФМП исходя непосредственно из наблюдаемого процесса.
Изложенные в статье идеи могут получить развитие в нескольких направлениях теоретических изысканий:
- на электролизные системы с кусочно-непрерывным вектором управления, а также имеющие структуру правильных передаточных функций (обладающих степенью Мак-Миллана) с возможными нулями у полинома в числителе (в этом контексте имеется в виду естественный симбиоз с теорией распределений);
- на электролизные системы, имеющие конечный пучок траекторных гальванометрических измерений (с различными вариантами как вектор-функции управляющих воздействий, так и вектора и начальных состояний);
- на дифференциальные системы гальвано-процессов в условиях гидромеханической активации, описываемые уравнениями с запаздываниями;
- и наконец, на квазилинейные системы «вход-состояние-выход», включающие учет «нелинейных членов» при описании дифференциальных уравнений моделируемой динамики СФМП (т.е. без опоры на теорему о линеаризации [8]).
В противном случае необходимо пройти все этапы (от 1 до 3), характеризующие дифференциальную реализацию для ¡-ой переменной выходного сигнала.
1. Бойков А.В., Русанов В.А., Шишкин Г.М. Использование многомерной реализации Калмана-Месаровича для построения апостериорной модели динамики сложного физико-механического процесса. I // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2009. № 3. С. 217-219
2. Русанов В.А., Козырев В.А., Д.Е. Урбанович, Шишкин Г.М. Оптимизация процесса гальваностегии на базе апостериорной модели ее динамики // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2007. № 4. С. 98-109.
3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 304 с.
4. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.
ческий список
5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.
6. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980. 376 с.
7. Дмитриев А.В., Дружинин Э.И. Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных моделей в условиях полной параметрической неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. № 3. С. 44-52.
8. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. 243 с.
