CC BY
7
Н.А. Елисеева
УДК 514.75
Н. А. Елисеева
Калининградский государственный технический университет [email protected]
Инвариантные оснащения структурного Л -подрасслоения гиперповерхности Оп-1
Изучается гиперповерхность О п_1 с Рп, несущая тройку сильно взаимных подрасслоений [1]. Построены инвариантные оснащения структурного Л -подрасслоения гиперповерхности Оп-1.
Ключевые слова: гиперповерхность, распределение, плоскость Картана, плоскость Кенигса, уЛ -виртуальная плоскость Кенигса, точка Кенигса, уЛ -виртуальная точка Кенигса.
В работе индексы принимают следующие значения:
а,т= 1, п -1; р, д, / = 1, г ; и, V = г +1, п -1; 1, К = 0, п .
Изучаемая гиперповерхность Оп-1 является специальным классом трехсоставного сильно взаимного распределения (УИ -распределения) [2] проективного пространства Рп, основные структурные подрасслоения которого связаны соотношениями:
Лг(Л) сМт(Ао) с Ип-1(Л)), Мт(Ао) = [Лг(Л),4(А)],
Фп-г-1(А)) = [[ (А)), ^п-т-х(Ао)], Ч^Ао) = [Лг (Ао), Еп-т-1(Ао)},
Фп-г-1(Ао) П Мт (Ао) = 4 (Ао), Чп-^-х(Ао) п Мт (Ао) = Лг (Ао),
где Фп-г-1(Ао), Тп-^-х(Ао), £п-т-1(А) — характеристики гиперплоскости И(Ао) при смещениях центра Ао вдоль инте© Елисеева Н. А., 2о17
гральных кривых Л -, Ь -, М -подрасслоений. Если оснащающее Н -подрасслоение голономно, то проективное пространство Рп расслаивается на однопараметрическое семейство гиперповерхностей Уп_1, огибающих элементы Н -подрасслое-
ния. В случае, когда каждое из оснащающих Л -, Ь -, Е -подрасслоений является взаимным, получаем гиперповерхность Уп_х, несущую тройку сильно взаимных подрасслоений, которую обозначим Оп_ [1].
Пусть гиперповерхность О п_1 с Рп оснащена полем инвариантных нормалей у(А0) [3]. Найдем фокальное многообразие нормали 1-го рода Ып_г(А0) = [Фп_г_1(А0), ^(А0)] элемента Л-под-расслоения при смещении точки А0 е О п_1 вдоль интегральных кривых Л-подрасслоения:
(3) О = 0Х = 0,®0 = ^о, (1)
(Я): 1 0 / 0 0\ (1) [а о = о л о00,У/ир _ /ир Ц0 + о00) =
Плоскость Ып_г (А0) в локальном репере Я1 имеет вид:
х* _ ^уХ = 0, (2)
а соседний слой поля нормалей 1-го рода Nп_г Л-подрассло-ения представим в виде
~и _(У"„ _йуип + ...)~п = 0, (3)
где все преобразования ведутся с точностью до величин 1-го порядка малости [4].
Теперь, учитывая (2), (3), а также, что координаты точек проективного пространства Рп преобразуются по формулам
[4] х7 = х7 _ о'^хк , получим, что при смещении вдоль кривых
(1) координаты фокальной точки Г = х0А0 + хуАу + хпАп удовлетворяют уравнениям
(х0^ _ ЛХ + 0*щхп)м0 = 0, Хр _ урпхп = 0, (4)
Н. А. Елисеева
где
лр _ р
У — У — Л * УУ v у + у (мг\ — (и ж — л (и — у ж — у и/г,
пд пд гд о о пд пд о о д уд о о д г ода о
Система (4) допускает нетривиальное решение для произ-
- ЛпУ„ур„ V ур„ + ¿к - й(Ж - Лр( - уЖр( — ¿К
вольных /ид только тогда, когда
Х°3Рр +ЛдХ +УР„дХ"
Уравнения (5) задают (п - г -1)-мерное фокальное многообразие порядка г нормали Ып-г (Ао), которое обозначим
фп-Г-1(у) .
Линейная поляра точки Ао относительно фокального многообразия (5) имеет вид
хо - ху - у°хп — о, хр - урхп — о, (6)
— о, хр -Урхп — о. (5)
где ¿V — --Л*,, + ( — , г
У°о — -1 к - ЛпуУп ), V Уп0 + УЙ - + ( — УК .
Плоскость (6) является плоскостью Картана Со-г) с Ыо-г(Ао) [5] Л -подрасслоения в данном центре Ао. Отсюда следует, что поля геометрических объектов {ур} и {ур, ¿V ,у°} задают поле оснащающих плоскостей Картана Сп-гЖ) Л -подрасслоения.
Заметим, что при выборе другого поля инвариантных нор*
малей 1-го рода {уп} Л -подрасслоения уравнения плоскости
Картана в данной точке Ао е Оп-1 имеют вид
* *
о ^о V о п р р п г\
X - ¿уХ -У пХ — о, хг - УрХ — о, * 1 * * * ** * где уп—- - (Урпр -Лпр у'пурп), Vy0n+y:®0 -¿¿(V +( — у Пй то
есть плоскость ¿п-г-2(Ао) — [KV ] — [а + ¿¿Ао ] является осью осна-
щающих плоскостей Картана в нормалях 1-го рода Nn_r Л -подрасслоения в данной точке А0 е Оп_1. В результате справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для пучка нормалей 1-го рода Nn_r (А0) плоскости Л(Ао) в данном центре А еОп_1 все плоскости Картана этого пучка проходят через неподвижную плоскость К_г_2(Ао) = [К ] — ось пучка плоскостей Картана, которая
определяется соотношениями: хп = 0, хр = 0, х0 _ = 0.
Если охваты квазитензоров {ууп} и {уУ} представить в виде
1 о о VI = л; = - А^ЛР , ^ +о1 =КпО и у0 =4, то плоскость г
Картана
Кп_г_1(Ао) ^ К (у), К = А + ] (7)
является плоскостью Кенигса [4], а точка
Кп УР) = £ Ао + уРАр +Л1А + Ап (8)
есть точка Кенигса соответствующей нормали {уР} , где
А = Уп0 + ЛХ, У АО + Ур®Р + Л\о0 + о0 = .
Инвариантную плоскость Кп_г_1(Ао) (7) и инвариантную точку Кп (8) будем называть соответственно уЛ -виртуальной плоскостью Кенигса и у Л -виртуальной точкой Кенигса [2], так как их построение ассоциировано с Л -подрасслоением и зависит от выбора поля нормалей 1-го рода {ур} Л -подрас-слоения.
Отметим, что точка Кп лежит на инвариантной прямой
4(Ао) = [АО; Хп ]= Ап +уРАр + Л\А ], (9)
где Кп = + Хп, 4(Ао) с (Ао) . 54
Н.А. Елисеева
Резюмируя, приходим к следующему предложению.
Теорема 2. В дифференциальной окрестности порядка t (t — порядок инвариантной нормали 1-го рода {vf} Л -подрассло-ения):
1) поля геометрических объектов {vf}, {vf,^,/} задают поле оснащающих плоскостей Картана Cn_r_1(vf) Л -подрас-слоения;
2) поля геометрических объектов {vf}, {vf,^0,/} задают поле vЛ -виртуальных точек Кенигса Kn(vf) (8), которые лежат на соответствующих инвариантных прямых / (9);
3) поля геометрических объектов {vf}, {/}, {vf,^,/} задают поле vV -виртуальных плоскостей Кенигса Kn_r_1(A0)
(7).
Список литературы
1. Елисеева Н. А. Гиперповерхность проективного пространства, оснащенная распределениями // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 52—63.
2. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства : монография. СПб., 1992.
3. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
4. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара. М., 1973. Т. 4. С. 71—120.
5. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по вект. и тензорн. анализу. М., 1937. Вып. 4. С. 147—159.
N. Eliseeva
The invariant equipments of structure A -subbundles of hypersurface Q„_j
A hypersurface Qn_1 c Pn with three strongest mutual subbundles is studied [1]. The invariant equipments of structure A -subbundles of hypersurface Qn_1 are constructed.
Key words: hypersurface, distribution, Cartan plane, Kenigs plane, vA -virtual plane of Kenigs, Kenigs point, vA -virtual point of Kenigs.
УДК 514.75
М. В. Кретов
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Комплексы однополостных гиперболоидов без фокальных многообразий
Продолжается исследование в трехмерном эквиаф-финном пространстве комплексов (трехпараметриче-ских семейств) однополостных гиперболоидов, у которых центр луча прямолинейной конгруэнции осей од-нополостного гиперболоида описывает линии с касательными, параллельными первому координатному вектору, а индикатрисы координатных векторов являются прямыми, параллельными этим векторам с пустым фокальным многообразием. Доказана теорема существования исследуемого многообразия. Геометрически охарактеризовано характеристическое многообразие образующего элемента рассматриваемого комплекса. Получены для него геометрические свойства.
Ключевые слова: комплекс, репер, однополостный гиперболоид, характеристическое многообразие, фокальное многообразие, эквиаф-финное пространство, индикатриса вектора, конгруэнция.
© Кретов М. В., 2017 56
