Поля фундаментальных и охваченных объектов гиперповерхности gn-1, оснащенной распределениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

A. Egorov

Trends for the development of Egorov's method in the theory of movements

This work proves that if the space of affine connection with the torsion tensor H'jk ^ 0 allows the group of moving Gr of order r > n2 - 3n + 20

(r > n2 - 5n + 30), it is necessary that

njk =Sjnk-S'k + A'Bjk

H =S'pk -S'kHj + A'Bjk + C'Djk) in any coordinate system.

УДК 514.75

Н. А. Елисеева

Калининградский государственный технический университет [email protected]

Поля фундаментальных и охваченных объектов гиперповерхности £2п_1, оснащенной распределениями

Продолжается исследование гиперповерхности О.п_1 с Рп, несущей тройку сильно взаимных подрасслоений [1]. Построены поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов гиперповерхности О п_1 .

Ключевые слова: гиперповерхность, распределение, нормализация, соответствие Бомпьяни — Пантази.

© Елисеева Н. А., 2016 68

В работе индексы принимают следующие значения:

р,т, р,%,д,ф,у = 1, п -1; р, д, t = 1, г ;

г, ],к = г +1, т ; а,р,у = т +1, п -1.

1. Известно [2], что дифференциальные уравнения гиперповерхности 0.п-1 с Рп в репере 1-го порядка имеют вид

С = 0.

(1)

Трехкратное продолжение уравнения (1) приводит к следующим соотношениям:

С = КСо, УЛр +Л>0° = Л,ррСРР,

УЛ" + 2Л" с0 + ЛПрС + Л"сР + Л\С1 -

(2)

^рр^^^рр^^о т 7р^ р

- (Л"^Л"рр + Л"ртЛ"р$ + Л,рЛПр^)сп - 0 >

где функции, стоящие в правой части уравнений (2), симметричны по всем нижним индексам.

Совокупность функций {Лр,} образует симметрический тензор 2-го порядка, являющийся основным фундаментальным тензором гиперповерхности Оп-1 с Рп. Полагая, что гиперповерхность Оп-1 с Рп регулярна, т. е.

йе/

\Г I

рр

Лп рд 0 0

det 0 Л" V 0

0 0 Л а/3

= Л • Ь • Е Ф 0,

(3)

введем в рассмотрение обратный симметрический тензор {Л, , компоненты которого удовлетворяют условиям:

ЛррЛ\т = 3? , УЛрр -Лррс0 = -Л^ЛрЛ^С .

1п А 1 рт

(4)

Дифференциальное уравнение относительного инварианта 5 (3) 2-го порядка имеет вид

й 1п 5 + (п +1)(®0° +ю"п) = Б с,

а компоненты =-Ба квазинормали {53-го порядка

п +1

подчиняются дифференциальным уравнениям

5 а +Ю1 = КаК + 5 атаО ,

где

~0 = 1 б б = дтРдп 5 ар- П+15 ер' а -^п1 рта э

УБа + Ба®0 + (П +1)(©0 -ЛТа^П) = Бр^Р .

2. Нормализация в смысле А. П. Нордена [3] регулярной гиперповерхности Оп-1 с Рп равносильна заданию на ней двух полей тензоров {у? }, {ур}: У у? + = уТМ, Vур + = у°Х, определяющих, соответственно, поля нормалей 1-го рода N и 2-го рода Ып-2.

Следуя работе [4], введем соответствия Бомпьяни — Пан-тази между нормалями 1-го и 2-го рода гиперповерхности ^п-1 с Рп:

у? =ДПР(у0р - р (5)

Разрешая уравнения (5) относительно {уР} с учетом соотношений (4), получим

У0 =А1рУР+ ~0. (6)

Итак, при помощи формул (5), (6) устанавливается биективное соответствие между нормалями 1-го и 2-го рода гиперповерхности Оп-1 . Полагая последовательно а = р,п,а из (5), (6), получим

уР =АП (у0 - ~0), У°р =АПрУ + §р, (7)

Уп =АП(ур -~р), ур = А"ук + ~0, (8)

уа =Аа/У - ~0), У°а =АПаУ„+ Б а. (9)

Квазинормали {5"°}, {5;0}, {5^}, удовлетворяющие, соответственно, уравнениям

У~0 + а°О = А^а* + ~>0ет , Ч + а° = ЛРра'п + ,

+ а>°° = А ра(о" + ,

задают взаимно-однозначные соответствия Бомпьяни — Пан-тази между нормалями 1-го и 2-го рода соответственно А-, Ь-, Е-подрасслоений, заданных на гиперповерхности О. п_1 .

3. Построим ряд основных геометрических объектов в окрестностях 2-го и 3-го порядка образующего элемента гиперповерхности О п_1 . Совокупности функций {Апрд}, {АЧ}, {А^}

образуют симметрические тензоры 2-го порядка [1]. Полагая, что эти тензоры невырожденные:

Се/ и ц Се/ ц ц Се/ „ ц

А = ае^ А^ * О, Ь = аей АПЧ * О, Е = аеА АпаЛ * 0,

введем для них обратные симметрические тензоры 2-го порядка (Ар9}, {Ап }, {Аа/}, компоненты которых определяются из соотношений

А? а; = 8Щ, А* А% = 8Ч, Аа? Апру = 8ау (10) и удовлетворяют соответственно уравнениям

УА? -А» = А%К , УАП -Апа0 = А^,

УАа/ -Аа/аО =Аа1а>0. (11)

"О _ 11пашО

Заметим, что величины А, Ь и Е являются относительными инвариантами

С 1п А = 2арП - г(а° +аЩ) + А^а^ , С 1пЬ = 2аI - я(аО +аЩ) + ЬааО^, С1пЕ = 2ааа - (п -т-1)(аЦ +а%) + Е^,

где

Аа =АР/АРа, Ьа=ДП1А^а , ^ = Аа? Аара . (12) Продолжение соотношений (12) приводит к уравнениям

УАр + АрМр - (г + 2)АрУп + (г + 2)®0 = АрМ , УАг + Ам0 - гАМ + МО = А1аа0,

УАа +АаМ0 - гАаМ + гМа = Ааа< ,

уЬр + ЬрМр - ,КПрМ + Я^р = Ьра^о ,

УЬг + цМ - (Я + 2) АПМ + (Я + 2Мр = Ца< ,

уЬа + 4мр -яАар(0? + = Ьааав , (13)

УЕр + Ера( -(п-т- 1)ЛирМ + (п-т-\)Мр = Е^М,

УЕп + Емр - (п -т -1) АуЮ? + (п -т - 1)®р = ЕааюО, , УЕа + ЕаМ - (п - т + Х)Аар(о? + (п - т + 1)М = ЕаМ .

Исследуя функции (12) и их соответствующие дифференциальные уравнения (13), построим в дифференциальной окрестности 3-го порядка ряд квазинормалей [4; 5], ассоциированных соответственно: а) с А-подрасслоением:

А°р = г+2 А°р, уАр +М =АпрпМ +А рамр, ~ = ир, УЬр +Мр = Апрп( + ЬраМ, (14)

Ер =-т_Ер , УЕ0р +Мр = А рпМ + ЕрМ;

п- т -1

б) с Ь-подрасслоением:

Ар =1 Ар, УАр +М =АП(П +А (

г

~р = -+ГЬр, У~ + ар = АМ + ЕМ, (15)

я + 2 7

Ер =-Ер, уЕр + ар = АПМ + ЕМ ;

п - т -1

в) с Е-подрасслоением:

Аа = 1 < , УАа + ( = А"а?Ф? +ЕаМ , г

Ьа = 1 Lа, уЬР +■Ма = К/М? + ЬРМ , (16)

Я

Еа = Еа, уЕа + м = ерМ+Е^а.

п - т +1

С помощью фундаментальных симметрических тензоров 2-го порядка {Лрп}, {Л^}, {Еа?} (Ю), (11) введем в рассмотрение группу основных квазитензоров 2-го порядка гиперповерхности О п-1 :

1 1 1 ■■ 1 ■■

А? = 1 Ерп ЕПР , А? = 1 Ерп Епр , ЬР = 1 АР А?, Ьап = 1 А" А? ,

г 1 1 д а Р Я1 Р а (17)

Еп = 7Аа/3Ап , Еп = 7Аа/Ап .

п - т -1 п - т -1

Рассматривая свертки по верхнему и соответствующему ему нижнему индексу соответственно функций Арп, Ащ, АР ,

А а , Аар//, А?, получим еще одну группу основных квазитензоров 2-го порядка гиперповерхности О п-1 :

/ = -1ер / = -1ер 1 р = -1 А п ¡о = -1 А

г г Я Я

ер =__1_Аа е° =__1_А

п - т -1 п - т -1

Легко убедиться, что каждый из квазитензоров (17), (18) удовлетворяет соответственно одному из следующих дифференциальных уравнений:

Уп , п п с \-7 1.1 1 с \-7 а , а ас

Уу0р +Ф0р = у°рааС , У у0 +®г0 = у*^, УуОО = у^К •

4. Нормализация в смысле А. П. Нордена [3] Л-подрас-слоения, ассоциированного с гиперповерхностью О п_1, равносильна заданию на ней двух полей квазитензоров {уР} , {у0р}: Уур +®р =ура®£ , У У +а1 =у0Раао , определяющих, соответственно, поля нормалей 1-го рода Ып_г и 2-го рода Ыг_1 Л-под-расслоения.

Квазинормали Л0р (14), Ь°р (15), Ё°р (16) позволяют установить биекции между нормалями 1-го рода Nп_г и 2-го рода Ыг_х Л-подрасслоения:

ур =лп У _Л), ур =ЛпрУ +Л0р ,

уР = Лрпп (ур _ !р), У°р =ЛпрУ + Ь0р , (19)

У р = Лрп(у0 _Ё0) у10 = Лп уп + Ё0

С помощью (19), (7) построим:

¡р =Лр(¡1 _Л\), и =Лр(¡0 _Ё), Ёр =Лр(¡0_Ё0),

8Рр =ЛР0(¡0 _Ё0), ер =Лпо(е°0 _Л00), (20)

кр =ЛР0(е0 _Ё0), ер =Лпо(е0° _Ё0°), ЁР = Лрпп(е0° _Ё°);

т° = Лп тп + Л0 и° =Лп Тч + Ё0 Ё0 =Лп Т + Ё0 ^р 11рп п р' Ир ^ро^п^^р? ^р ^рп п р?

нр = Лпрсрп + Ёр0, ёР =ЛпрЁ +Ё0р, (21)

к0 =Лп ЁП + Ё0 е0 = Лп ЁП + Ё0 к0 = Лп ЁП + Ё0

р ро р р ро р р ро р

Таким образом, имеет место

Теорема 1. В дифференциальной окрестности 3-го порядка гиперповерхность Оп-1 порождает 16 полей внутренних

нормализаций в смысле Нордена — Чакмазяна А-подрасслоения следующего вида: (¡рп ;ф, („р ;ф, (//;ф, « ;ф, (ерп ;ер),

(крп ;ер), (ер;ер), (ЕпР;ер), (Ь°р;), („Р;Ь), ;¿П), (#Р;ЬПп), (ЕР; ЕЩ), (кР; ЕЩ), (е°; ЕЩ), (Н°р; ЕЩ).

Используя (8), (9), построим квазитензоры:

Л =Е^ Л - А), „П =Апп (Л> - Е), ~п = АпП (Ар - Ер),

4 =Ап (е°-А), кП = АПп (ер - Ц), ^ = А? (е° - Е°), (22) я? =Ап(Л -~р), ~П = АпП(ер? -~р);

¿р =ЕП,ЛП +Ер, „р =АП,ЕП + Ьр, Е° = А? А п + Ер ,

Я° = А?А? +Ер, Е° = АПуЕП +Ар, к° =АуЕУ + Ьр, (23)

е0 =АуЕП + Ер, нр =А"ЕП + Ер;

лр =аО(Лр-А/), еа =ла/(л/-Ь/), еа = лр//(л°-Е/),

< = Ер//(ЛЛ - Ер), ¡а = Ер//(¡P-А/), (24)

„р =Лр (¡р - Е), „ =ЕР; (I р - Ер), ЕР =ЕР; (I р - Е);

др = Л д / + А „о = Л д / + О = дп д / +

ер = ЕрВЕп +Ер , „р = Еа ВЕп + Ьр , ер = ЕрВЕп + Ер ,

р// п а га ^п а р р/ п

Нр = Ер/3Ап + 5р , Ьр = ЕрРЬп +ар ,

ер = л Тр + Гр ~ р = дп тр + нр = л тр + ^ Н-р ~ р/Ьп Ьр , _ р//Ьп Ер , _ р//Ьп 5р .

В силу функциональной независимости квазитензоров (17), (18), (20—25) справедливы следующие предложения.

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка каждый элемент Л-,Ь-,Ё-подрасслоений, заданных на гиперповерхности Оп-1 с Рп, оснащен соответственно:

а) однопараметрическим пучком внутренних нормалей

1-го рода в смысле Нордена, определяемым соответственно квазитензорами:

(Л):ЬР(?) = ьр + ?(Ё* -¿р), (Ь): Лп (?) = Мп + ?(Ё\ - Л:п), (Ё): Ьап (?) = Ьап + ?(Лап - Ьап);

б) однопараметрическим пучком внутренних нормалей

2-го рода в смысле Нордена, определяемым соответственно квазитензорами:

(Л):IР(?) = ¡0 +Л(е°р _10), (Ь): ¿р(?) = ¿0 +?(ер -4°), (Ё): ¿0(?) = _Я0а) .

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 3-го порядка каждый элемент Л-,Ь-,Ё-подрасслоений, заданных на гиперповерхности Оп-1 сРп, несет:

а) 28 однопараметрических пучков внутренних нормалей

1-го рода в смысле Нордена, определенных соответственно квазитензорами (20), (22), (24);

б) 28 однопараметрических пучков внутренних нормалей

2-го рода в смысле Нордена, определяемых соответственно квазитензорами (21), (23), (25).

Список литературы

1. Елисеева Н. А. Гиперповерхность проективного пространства, оснащенная распределениями // Диференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 52—63.

2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

4. Лаптев Г. Ф., Остиану Н.М. Распределения да-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геом. семинара. М., 1971. Т. 3. С 49—94.

5. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения да-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии. Итоги науки и техн. / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

N. Eliseeva

Fields of the fundamental and enveloped objects of hypersurface i2n_1 equipped with distributions

The research of hypersurface Q„_j с Pn with three strongest mutual subbundles proceeds [1]. The fields of the fundamental and enveloped geometrical objects of hypersurface equipped with distributions are constructed.

УДК 514.75

М. В. Кретов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

[email protected]

Об одном комплексе однополостных гиперболоидов

Исследуются в трехмерном эквиаффинном пространстве комплексы (трехпараметрические семейства) однополостных гиперболоидов, у которых центр луча прямолинейной конгруэнции осей однополостного гиперболоида описывает линии с касательными, параллельными первому координатному вектору, а индикатрисы координатных векторов являются прямыми, параллельными этим векторам. Доказана теорема су-

© Кретов М. В., 2016