CC BY
11
УДК 514.75
Н. А. Елисеева
Калининградский государственный технический университет
Гиперповерхность проективного пространства, оснащенная распределениями
В проективном пространстве изучается гиперповерхность О п_1, несущая тройку сильно взаимных подрасслоений. Приведено задание гиперповерхности Оп_1 в репере первого порядка и доказана теорема существования. Дана геометрическая интерпретация голономности основных структурных подрасслоений гиперповерхности О П_1.
Ключевые слова: гиперповерхность, распределение, голоном-ность, взаимность подрасслоений, гиперполоса.
В работе индексы принимают следующие значения:
I, К = 1, п; р, д, t = 1, г ; р, д = {1, г; п}; 7, 7, к = г +1, т; 7,7 = {г +1,т;п}; а,р,у = т + 1,п_1; а,¡3 = т +1,п ; а,т = 1,п_1; А, В = {1, г; т +1, п} ; а,Ъ,с = 1,т ; а = 0, т .
1. Задание гиперповерхности ^„.х проективного пространства
Известно [1; 2], что трехсоставное сильно взаимное распределение (^^-распределение) в репере 1-го порядка задается уравнениями (без соответствующих замыканий)
С = Л>|, С = ЛС0, С = л>о5, < = л>оК, С =ЛРК®К, С =Л>0К, С =ЛкаК, (1.1) С =Л-рк4, сор =Л>оК .
Напомним, что основные структурные подрасслоения РН-распределения связаны соотношениями
лг(Л) сМт(А0) с Нп_,(4), Мт(4) = [лг(4), Ц(4)],
фп_г_,(4,) = [Ц (4,), Еп_т_,(4,)],
т_,_,(4,) = [лг(Ао), Еп_т_,(4о)], ф п _г _,(4,) п Мт (4,) = Ц (4,),
т _,_1( 4) п Мт (4,) = л г (4,),
где ф п_r_1(Л0), Тп_s_1(Л0), Eп_m_1(Л0) — характеристики
гиперплоскости Н (4,) при смещениях центра 4 вдоль интегральных кривых Л-, Ц-, М- подрасслоении.
Рассмотрим специальный класс УИ-распределениИ, когда оснащающее #-подрасслоение голономно. В этом случае проективное пространство Рп расслаивается на однопараметриче-
ское семейство гиперповерхностей Уп _1, огибающих элементы ^-подрасслоения. При смещении центра 4 вдоль одной из
этих гиперповерхностей (ю^ = ,) уравнения (без соответствующих замыканий)
ю = ,, ю = лпю, ю = лХ, Ю = Лпю,
юр = ЛрЮ, юр =Лраю1, < = ЛХ, (1.2)
Ю =каЛ, юр =Лрю1, юр =лрю
задают в репере 1-го порядка гиперповерхность, несущую тройку взаимных подрасслоений, то есть каждое из Л-, Ц-, Е - подрасслоений взаимно.
Уравнения (1.2) получены из (1.1) с учетом, что ю^ = , .
Отметим, что Л -подрасслоение взаимно [3], если выполняются условия
Лра = 0, л;. = о. (1.3)
Аналогично, каждое из Ь-, Е-подрасслоений взаимно, если выполняются условия
Лпга = 0, л; = 0; (1.4)
Лпар = 0, Лпа1 = 0. (1.5)
Условия (1.3) — (15) являются в то же время и условиями взаимности соответственно Ф-, ¥-, М-подрасслоений.
Определение. Если выполнены условия (1.3) — (1-5), то будем говорить, что тройка (Л, Ь, Е) -подрасслоений, заданных на гиперповерхности ¥п_1, образует сильно взаимную
систему подрасслоений.
Гиперповерхность, несущую тройку сильно взаимных подрасслоений, обозначим символом Оп_1.
Замыкая уравнения (1.2), получим дифференциальные уравнения и соотношения, которым подчинены компоненты фундаментального объекта 2-го порядка Г2 :
VЛр+Л>0 =лргх,ул;+л>0 =ЛХ, (1.6)
Улар Л а=лпо0;
УЛ^ + Л>0 + Лпп50а< _ %а°р = лароХ,
УЛрао + Л00 + ЛпардРорп _ ^ = Л^Х, УЛо+ЛХ+ко: _ = , (1.7) УЛао + Л!ао^0 + ЛпрбРоп _ « = Л.аоУ0 ,
где
VAг,ет + А>0 + Крч3уп - 3>Ур = Крау0. + АХ + А] - = А.Х,
Ап = 0 Ап = 0 Ап = 0 Ап = О Ап = 0 Ап = 0
(1.8)
а все остальные функции, стоящие в правых частях уравнений (1.6), (1.7), вообще говоря, не симметричны относительно нижних индексов.
Таким образом, имеет место
Теорема 1. Гиперповерхность оп-1 ^ Рп относительно
репера 1-го порядка задается в дифференциальной окрестности 2-го порядка уравнениями (1.2), (1.6), (1.7) и соотношениями (1.8).
Замечание. Согласно работе [4] функции {Ап }, (А" },
{А^} образуют тензоры (1.6) второго порядка. Система
функций Г2 = {Ар;А];Апар;Аарв;Араа;Ааш;Ат;А^;АЛ образует фундаментальный объект 2-го порядка гиперповерхности 0.п-1. Дальнейшие продолжения геометрического объекта
Г2 вводят фундаментальные геометрические объекты более высоких порядков г3, г4 ...
2. Теорема существования гиперповерхности йп-1
Теорема 2. Гиперповерхность Оп-1, заданная относительно репера 1-го порядка, существует с произволом 2т(п - т -1) + 2rs функций от п -1 аргументов.
Доказательство. Исследуем систему дифференциальных уравнений (1.6), (1.7). Чистое замыкание этой системы представим в виде
длр л® = 0, лл; л® = 0, АЛ^лаЦ = 0, АЛ" л < = 0, АЛ^ л < = 0, АЛ, л < = 0, (2.1)
ра 0 ' аа 0 ' ¡а
АЛаа л < = 0, ААра л 0, ЛЛРа л 0.
Разобьем систему уравнений (2.1) на три подсистемы:
АА"рЧ л® = 0, ААара лаа0 = 0, АЛра лаа° = 0; (2.2)
Щ л® = 0, АЛ^л® = 0, АЛрал< = 0; (2.3)
АЛ^лаЦ = 0, АЛ, л< = 0, АЛ'аа л< = 0 . (2.4)
Последовательно исследуем на инволютивность каждую из подсистем (2.2) — (2.4).
1. Учитывая, что п — 1 > г, найдем характеры системы (2.2): 51 = г + В, s2 = (г — 1) + В,..., = [г — (г — 1)] + В,
5г+1 = В,..., Sn—l = В, где В = 2г(п — т — 1). Найдем число Картана [5]:
^ „ , г (г +1)( г + 2) п( п — 1) „
е = ^ + 2^2 + 3^з +... + (п — 1)^п—1 = ^-£-+ В.
6 2
Применяя лемму Картана, систему (2.2) приведем к виду
^ = Л"РЛ , ^а = Лаа<, АЛРра = Л^Х. (2.5) Так как функции Л^ симметричны по нижним индексам,
то число N новых функций, появившихся в левых частях уравнений (2.5), равно
N = г (г + 1)(г + 2) + п(п — 1) В
Итак, N = Q , то есть система (2.2) находится в инволюции [5]. Следовательно, пара взаимных подрасслоений (Л, Е), ассоциированная с гиперповерхностью 0.п_ , существует с произволом 2т(п _ т _ 1) функций п _1 аргументов.
2. Аналогично, для системы (2.3) последовательно находим:
а) характеры (при п_ 1 > г): = 5 + С, s2 = (я _ 1) + С,...,
8т _г = [я _ (я _ 1)] + С , ^+1 = С, ., Яп_1 = С , где С = 2яг;
б) числа Q и N :
Q = 51 + 2я2 + 3я3 +... + (п _1)яп_1 = (я + С) + 2(я _ 1) + + 2С + 3(5 _ 2) + 3я +... + ф _ (я _ 1)] + С + (я + 1)С +...
+ (п _1)С = Ф +1)(я + 2) + пп^ С, N = Q. 6 2
Таким образом, система (2.3) находится в инволюции. Значит, пара взаимных подрасслоений (Л, Ь) , ассоциированная с
гиперповерхностью 0.п_1, существует с произволом 2гя
функций п _1 аргументов.
3. Наконец, система (2.4) имеет следующие характеры: я = п _ т _ 1 + В , = п _т _ 2 + В ,..., яп_т1 = 1 + В,
*п-т = В,..., = В , где В = 2я(п _ т _ 1); Q = N = (п _ т _ 1)(п _ т)(п _ т +1) + п(п _ 1) В Q 6 2 . Система уравнений (2.4) в инволюции. Таким образом, пара взаимных подрасслоений (Е, Ь) , ассоциированная с гиперповерхностью ^п_1, существует с произволом 2я(п _ т _1) функций от п _1 аргументов.
Гиперповерхность qn-1, несущая сильно взаимную систему (л, L, E) -подрасслоений, существует с произволом
2r(n - m -1) + 2rs + 2s(n - m -1) = 2m(n - m -1) + 2rs функций от n -1 аргументов. Теорема доказана.
3. Голономность основных структурных подрасслоений гиперповерхности
1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
( = о, ( = 0, (3.1)
ассоциированную с системой уравнений (1.2), (1.6), (1.7), определяющей гиперповерхность Qn_1 ^ Pn. Тогда уравнения (1.2) с учетом выражения (3.1) примут вид
( = о, ( = 0, оо = 0, ( = 0, ( = 0; (3.2)
а=, а=, < = , а = ,
afa = A>0q, < = A%a>S, of = A>0'.
(3.3)
Система (3.2) вполне интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия
А" = 0 А = 0 А" = 0
уч рч] > уч рч] > уч рч] > (3 4)
А' А" = 0 А' А" = 0
Из условий (3.4) вытекает, что тензор т^ = {т", т'рч, г"Ч} неголономности А-подрасслоения [1] равен нулю, то есть
гй = 0. (3.5)
РЧ у '
При условии (3.5) А-подрасслоение определяет (" - г-1)-параметрическое семейство поверхностей Уг (плос-
кости Лr огибаются поверхностями Vr). При смещении центра Aq вдоль фиксированной поверхности Vr получим регулярную гиперполосу Hr ^ Pn с полем распадающихся характеристик [1]
ф n - r - i( Aq) = [ En _ m _i( Aq); Ls ( Aq)]. (3.6)
Гиперполоса Hr задается уравнениями (3.2), (3.3), а также замыканиями уравнений (3.3) и соотношениями (3.4).
Итак, в случае голономности Л-подрасслоения (3.5) гиперповерхность расслаивается на (n - r -1) -параметрическое семейство регулярных гиперполос Hr с распадающимися характеристиками Фп-r-1 (3.6).
2. Аналогично, пусть система дифференциальных уравнений
а>1 = Q, cQp = Q (3.7)
ассоциирована с уравнениями (1.2), (1.6), (1.7). Тогда уравнения (1.2) с учетом выражения (3.5) имеют вид
а" = Q , cQ = Q, < = Q, а" = Q, С = Q; (3.8)
< = A>¿, c = j, < = A>¿, c = j, (39) c = j, c = ЛС , ар = Л>0' .
Система (3.8) вполне интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия
Л" ] = Q Л" = Q К, ] = Q vj ] ' [j] ' VJ ] ' (3 1Q)
Лк Лп = Q Лк Лп = Q
Из условий (3.1Q) следует, что тензор rj = {r", r", rj} не-голономности L -подрасслоения равен нулю:
4 = 0. (3.11)
При выполнении условий (3.11) (точнее (3.10)) Ь -под-расслоение определяет (" — 5 — 1)-параметрическое семейство
поверхностей (плоскости Ь5 огибаются поверхностями ). При смещении центра А0 вдоль фиксированной поверхности получим 5 -мерную регулярную гиперполосу И 5 ^ Р" с полем распадающихся характеристик [1]:
Т" - 5-1( А0) = [А (А0); Е (А,)]. (312)
Итак, в этом случае гиперповерхность О"—1 представляет собой (" — 5 — 1)-параметрическое семейство регулярных гиперполос И5, характеристики —5—1( А0) которых имеют структуру вида (3.12).
3. Введем в рассмотрение систему дифференциальных уравнений
сор = 0, С = 0, (3.13)
ассоциированную с уравнениями (1.2), (1.6), (1.7), определяющими гиперповерхность Оп—1.
Тогда система уравнений (1.2) с учетом выражений (3.13) примет вид
с0" = 0, с0Р = 0 , С = 0, с" = 0, с" = 0; (3.14)
С = арс , < = КрсЦ, = АЪ®о, с = ,
С =АрХ, С =АРС, с" =А"С . (3Л5)
Система уравнений (3.14) вполне интегрируема, если выполнены условия
Ап - 0 Ар - 0 А' - 0
ар] ~ и , ар] ~ и , ар]~ и ,
А А" - 0 Ау А" - 0 (316)
Из условий (3.16) слеДУет, что тензор Г^р- {г"р, г'ар, ГРр) неголономности Е-подрасслоения равен нулю:
Гр- 0. (3.17)
При условии (3.17) (точнее (3.16)) Е -подрасслоение определяет т -параметрическое семейство поверхностей Уп _т1
(плоскости Еп _т1 огибаются поверхностями Уп_ т1). При смещении центра А0 вдоль фиксированной поверхности Уп_ т1 соотношения (3.16) вместе с уравнениями (3.14), (3.15) и их замыканиями задают регулярную гиперполосу Нп_т_1 ^ Рп с полем распадающихся характеристик
Ы(А0) - [а(Д,);Ь(Л0)]. (3.18)
В этом случае (Гр- 0) гиперповерхность 0.п _1 ^ Рп представляет собой т -параметрическое семейство гиперполос Нп_т_1, характеристики М(которых имеют структуру (3.18).
4. Рассмотрим систему уравнений
« - 0, (3.19)
ассоциированную с системой уравнений (1.2), (1.6), (1.7) гиперповерхности 0,п _1.
При условии (3.19) уравнения (1.2) примут вид
« - 0, « - 0, « - 0, (3.20)
« - , «г - , - л>06, (а - ,
«-л-Л, « -л« . (3-21)
Отметим, что уравнения (3.20) вполне интегрируемы тогда и только тогда, когда выполняются условия
А" - 0 А" = 0 А" - 0
УЧрч]~ 0, 1У[И] " 0, УЧРЧ]~ 0, (3 22)
а" = 0 А А" = 0
А[у] = 0 , А"[аА|ф] = 0 .
Из уравнений (3.20), (3.21) и соотношений (3.22) (здесь мы не рассматриваем замыкания уравнений (3.21)) следует, что в этом случае гиперповерхность оп—1 расслаивается на ("—т—1)-параметрическое семейство гиперполос Ит, базисное подрасслоение которых скомпоновано: М(А0) = [А(А0);Ь(А0)], УА0 е Ут .
Аналогичные утверждения получим, когда рассмотрим систему уравнений: С = 0 или С = 0 , ассоциированных с системой уравнений, задающих гиперповерхность О "—1.
Таким образом, проективно-дифференциальную геометрию гиперповерхности О"—1 с Рп можно применить для исследования гиперполос специального вида, несущих двух-компонентную систему взаимных подрасслоений, а также для изучения распределений на гиперповерхности О п—1.
Список литературы
1. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства : монография. СПб., 1992.
2. Попов Ю. И. УИ-распределения проективного пространства // Вестник Чувашского гос. пед. университета им. И. Я. Яковлева. 2006. № 5(52). С. 128—133.
3. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. 1975. Т. 7. С.117—151.
4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
5. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М. ; Л., 1948.
N. Eliseeva
Hypersurface of projective space equipped with distributions
A hypersurface Qn_ с Pn with three strongest mutual subbundles is studied. The giving the hypersurface Qn_ in the 1st order frame is adduced and the existence theorem is proved. The geometrical interpretation of a holonomicity of the main structural distributions of hypersurface Q n_ is given.
УДК 514.75
В. П. Козяйкин
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Полные условия неподвижности точки и гиперплоскости в проективном пространстве
В проективном пространстве аналитическим аппаратом с условием проективности найдены полные уравнения стационарности точки и гиперплоскости. Показано, что при переходе к неоднородным координатам точки и неоднородному уравнению гиперплоскости появляются формы, характерные для другого аналитического аппарата проективного пространства.
Ключевые слова: проективное пространство, условия неподвижности точки, условия неподвижности гиперплоскости.
Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {Дт} (I,...= 0,...,n), инфинитезимальные перемещения которого определяются деривационными формулами
