CC BY
22
Также находим
|У3 - У21 < ^/о / |е-гш(*-5) |(|e“"2(t-v) I - \e-™2W |) -gg- \f(y, s, U2)
—f (у,s, U1)\dvdcods.
На основании ранее полученных оценок (11) и условия Липщица, получаем
\и3-и2\<
3\(fna)
Далее находим | U4 — U3 | < N°Mр „ ; и т. д. I 1/,- - U,_ х
A\(yjna)
Найденные значения, подставляя в (9), получаем
< nj0 1MPi
/ NqR \
| U, | <M\e^ — l j;j = 0, 1,2 ,. . .,n; N0,M = const; R = VTTt — VT—t < Vzf. Таким образом, нами доказана
Теорема: Пусть выполнены все выше наложенные условия (8), (9), (10). Тогда задача Коши (1) с начальными условиями (2) имеет единственное решение в виде (6)-(7).
Литература
1. Акерова Дж. А. Достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи Коши // Наука, техника и образование, (РФ), 2016. № 1 (19). - С. 34-39.
2. Акерова Дж. А. Достаточные условия разрешимости нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Наука, техника и образование, (РФ), 2016. № 1 (19). - С. 40-44.
3. Иманалиев Т. М. К теории нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных // Тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф. «Аналитические и экспериментальные методы математической физики и проблемы их преподавания». - Ош, 1994. - С. 46-47.
4. Иманалиев М. И., Панков П. С., Иманалиев Т. М. К теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа Картовега-де-Фриза. // Докл. АН России. - 1995. - Т. 342, № 1. - С. 17-19.
5. Иманалиев М. И., Панков П. С., Иманалиев Т. М. Метод дополнительного аргумента в теории нелинейных волновых уравнений в частных производных // ДАН. - 1995. Т. 343. № 5. - С. 17-19.
Интервальный метод для доказательства решений интегро-дифференциальных уравнений Акерова Дж. А.
Акерова Джылдыс Абдрамановна / Akerova Dzhyldys Abdramanovna - старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, факультет математики, информатики и кибернетики,
Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: исследованы асимптотические свойства, в том числе устойчивость решений начальных задач для интегро-дифференциальных уравнений. Предложены способы получения содержательных достаточных условий на основе методов интервального анализа.
Abstract: the asymptotic properties, including solutions stability of the initial value problem for the integro-differential equations, have been investigated. The methods of obtaining meaningful sufficient conditions on the basis of the interval analysis methods have been offered.
25
Ключевые слова: асимптотические свойства, интегро-дифференциальные уравнения в частных производных, метод интервального анализа, знакопостоянство решений Keywords: asymptotic properties, partial integro-differential equations, interval analysis methods, sign constancy of solutions.
Введение. Большое количество работ посвящено исследованию асимптотических свойств, в том числе устойчивости решений начальных задач для интегро-дифференциальных уравнений. Ранее были получены некоторые результаты о знакопостоянстве решений, в том числе следующие.
В [1] получена асимптотика решения в зависимости от параметра.
В [5] рассматривается уравнение
y(n)(t) + Х a,y' ) (t) + H(t)JK(t - s)G(y(s))ds, t e R, n > 2, an < 0.
j=1 0
При многих предположениях, в том числе: характеристический многочлен для
n
дифференциальной части Р(Л) = Л” + ^ aj Л1- имеет только действительные корни,
j=1
H(t), G(y) - возрастающие функции,
0< H(t)<1, K(t) > 0,
an + J K (s)ds = 0
доказано, что это уравнение с
оо
о
дополнительными условиями имеет положительное решение.
Однако систематически не рассмотрен такой актуальный вопрос качественного поведения решений интегро-дифференциальных уравнений, как сохранение знака решения в некоторых областях.
Ниже предложены способы получения таких содержательных достаточных условий на основе методов интервального анализа.
В первом разделе дана постановка задачи для интегро-дифференциального уравнения с частной производной и его преобразование к обыкновенному интегро-дифференциальному уравнению.
Во втором разделе получены достаточные условия знакопостоянства решений.
1. Постановка задачи
Рассматривается линейное уравнение c частной производной
t q
ut'(t, x) = A(t)u(t, x) + JK(t,s)Ju(s,R)d^ds, t e R, x e [p,q] (1)
0 p
с начальным условием
u(0,x)=p(x), xe[p,q], (2)
где A(t) eC(R), K(t,s) e C(G2), cp(x) e C[p,q] - заданные функции.
Здесь обозначено G2={(t,s): 0<s <t <x}.
Обозначим еще
q
y(t) = J u(t, £)d£, t e R. (3)
p
Тогда получаем
t
ut '(t, x) = A(t)u(t, x) + JK(t, s)y(s)ds, t e R, x e [p,q]. (4)
0
26
Интегрируем:
q q q t
I ut \t,^)dC =
P P P 0
Отсюда получается линейное уравнение типа Вольтерра
t
У (t) = A(t)y(t) + (q - p)|K(t, s)y(s)ds, t e R, (5)
0
с начальным условием
q
y(0) = Уо = I (p(^)d^ (6)
P
В силу свойств уравнений типа Вольтерра, задача (5)-(6) всегда имеет решение в CI(R). Очевидно, что из условий
Уо>0; (7)
A(t)>0, teR; (8)
K(t,s)> 0, (t,s) e G2 (9)
следует
y(t)>0, teR. (10)
В свою очередь, из условия
p(x)>0, xe[p,q] (11)
следует (7), откуда, в свою очередь, следует неравенство (10), а из (10) и (4), где x рассматривается как параметр, следует
u(t,x)>0, teR, xe[p,q]. (12)
Поставим задачу: найти более общие условия, также обеспечивающие свойства вида (9), а также аналогичные.
2. Достаточные условия знакопостоянства решения в терминах областей При построениях будем использовать общую классификацию методов, применяемых в теории динамических систем, разработанную Т. Т. Халиловой [6] под руководством М. И. Иманалиева.
В первую очередь отметим, что условие (8) не обязательно:
ЛЕММА 1. Если выполняются условия (7) и (9), то для решения начальной задачи (5)-(6) имеет место (10).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяем метод преобразования решений. Заменим
t
| A(v)dv
y(t) = z(t), t e R,
I A(t)u(t,£)d% +11K(t, s)y(s)dsd%, t e R.
тогда получаем
| A(v)dv
y'(t) = e° z '(t) + A(t) y(t).
Подставляя в (4), получаем
‘ t s
I A(v)<dv t I A(v)<dv
e° z' (t) = (q - p)| K(t, s)e0 z(s)ds, t e R,
. I A(v)dv
z'(t) = (q - p)I K(t, s)e‘ z(s)ds, t e R.
0
0
Таким образом, получается уравнение вида (5) с выполнением условий вида (7) и (9). Лемма доказана.
27
Для общего случая отметим следующее очевидное утверждение в рамках общей теории операторов:
ЛЕММА 2. Если 1) для непустых множеств VAY решение операторного уравнения
y=F(y), F:Y^Y (13)
может быть получено последовательными приближениями для любого начального значения y0;
2) из y eV следует F(y) eV, то уравнение (13) имеет решение в V.
Применительно к пространствам функций получаем:
ЛЕММА 3. Если 1) решение операторно-функционального уравнения
y(t)=F(y)(t), F:C(R+) C (R+) (14)
может быть получено последовательными приближениями для любого начальной функции y0(t);
2) существуют такие функции V-(t)< V+(t) eC(R+), что из
V-(t)<y(t) <V+(t) (15)
следует
V-(t)<F(y)(t) <V+(t), (16)
то уравнение (14) имеет решение, удовлетворяющее двойному неравенству (15). Отметим следующий факт: Любая функция f(x) eC может быть представлена в виде разности «положительной и отрицательной частей»
f(x)= Pf)(x) -Nf)(x); Pf)(x),Nf)(x) eC; Pf)(x)>0,Nf)(x) >0,
(Vx) (min{P(f (x),N(f (x)}=0).
А именно, можно определить
Pf)(x)=max{f(x),0}, N(f)(x)= -min{f(x),0}.
Если функция зависит от нескольких переменных, то нижним индексом будем указывать переменную, по которой действуют операторы P и N.
ТЕОРЕМА 1. Если y0>0, существуют такие 0<a- < a+, что (PA)(t)(Уо + a-t) - (NA)(t)(yo + a+t) +
t
+ (q - p)\ ((PsK)(t, s)(yo + a-s) - (NsK)(t, s)(yo + a+s))ds > a-, t e R, (17)
0
(PA)(t)(Уо + a+t) - (NA)(t)(yo + a-t) +
t
+ (q - p)\((PsK)(t, s)(Уо + a+s) - (NSK)(t, s)(Уо + a-s))ds < a+, t e R,
o
то задача (5)-(6) имеет положительное решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим V-t) = y0+a-t; V+(t) = y0+ a+ t.
Если функция y(t) удовлетворяет (15), то
t
(F(y))'(t) e [min{A(t)q(t) + (q - p)^K(t, s)q(s)ds | yo + a-t < q(t) < yo + a+t,
0
t
max{A(t)q(t) + (q - p)^K(t, s)q(s)ds | y0 + a-t < q(t) < y0 + a+t}].
0
Оценивание правых частей по правилам интервального анализа (см. например [3 ]) и дает (17).
Теорема доказана.
ПРИМЕР 1. Положимp=0,q=1, A(t)=a>0, K(t,s) =-k<0.
28
Тогда (17) принимает вид
t
a(y + a_t) -1 k(y + a+s))ds > a_, t e R,
0
t
a( Jo + a t) - J к(Уо + a- s))ds < a+, t e R,
0
a(y0+a-1) - ky0t-к a+t2/2> a-; a(y0+a+1) - ky0t-к a-t2/2<a+.
Отсюда видно, что существование положительного решения обеспечено на некотором конечном отрезке.
Выбирая другие «пробные функции» V_(t), V+(t), можно получать другие условия типа (17).
В общем, математические преобразования, необходимые для получения более содержательных результатов из Теоремы 1, могут быть слишком сложными, поэтому мы предлагаем применять компьютер, согласно [5].
Литература
1. Александрийский Б. И. Асимптотические свойства решений линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка // Известия вузов. Серия математика, 1963, № 6(37). - С. 3-14.
2. Акерова Дж. А. Достаточные условия разрешимости нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Наука, техника и образование, (РФ), 2016, № 1 (19). - С. 40-44.
3. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев З. X Методы интервального анализа. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1986. - 221 с.
4. Панков П. С. Доказательные вычисления на электронных вычислительных машинах. - Фрунзе: Илим, 1978. - 179 с.
5. Хачатрян Х. А. О разрешимости одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высшего порядка с некомпактным интегральным оператором типа Гаммерштейна // Уфимский математический журнал, 2011, том 3, № 1. - С. 103-111.
6. Халилова Т. Т. Существование и ветвление в решении задачи Коши для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных // Автореферат дисс. ... к. ф.-м. н. - Бишкек, 2014. - 18 с.
Регуляризация и единственность решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на оси
Камбарова А. Д.
Камбарова Айсалкын Даминовна / Kambarova Aisalkyn Daminovna - преподаватель, кафедра математического анализа, факультет математики и информационных технологий, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызская Республика
Аннотация: в данной работе построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности для решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на оси.
Abstract: in this work the regulyariziruyushchy operator according to M. M. Lavrentyev is constructed and the theorem of uniqueness for the solution of the nonlinear integrated equations of Voltaire of the first sort on an axis is proved.
29
