Метод последовательных приближений в решении нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

рамках пар лемм, выбирая то число, которое принадлежит паре лемм с распределением, имеющим наиболее ярко выраженную острую форму.

Последний пункт объясняется тем, что при переборе пар лемм для заданных слов, могут быть отобраны несочетающиеся леммы, которые все равно имеют некие частотности. Подобные частотности, скорее всего, будут распределены так, что форма распределения будет близка к равномерному без выраженных пиков (все вероятности не соответствуют истине). Наоборот, для сочетающихся лемм в распределении должен быть хотя бы один четкий пик, который соответствует морфологически правильному сочетанию слов.

Литература

1. Gorshenev A., Pis’mak Yu. Scaling laws in evolution of large computer programs. Physics of Particles and Nuclei Letters, May 2008. Vol. 5, Issue 3, 201-206.

2. Haro M, Serra J, Corral A, Herrera P. Power-Law Distribution in Encoded MFCC Frames of Speech, Music, and Environmental Sound Signals. In 21st International World Wide Web Conference (WWW 2012): 4th International Workshop on Advances in Music Information Research (AdMIRe 2012), 2012. 895-902.

3. Chernykh G., Pis'mak Y. Piecewise scaling in a model of neural network dynamics. Mathematical Modeling and Computational Science. Vol. 7125 of Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2012. 302-307.

4. Сайт лингвистического корпуса [Электронный ресурс]: OpenCorpora. URL: http://opencorpora.org/dict.php, свободный (20.05.2015).

5. Levin K., Ponomareva I, Bulusheva A, Chernykh G., Medennikov I., Merkin N, Prudnikov A., Tomashenko N.. Automated closed captioning for Russian live broadcasting. Proceedings of Interspeech, 2014. 1438-1442.

6. Chialvo D. R. Emergent complex neural dynamics. Nature Physics, 2010. 6: 744-750.

7. Hesse J., Gross T. Self-organized criticality as a fundamental property of neural systems. Front. Syst. Neurosci, 2014. 8: 166.

Метод последовательных приближений в решении нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных

четвертого порядка Акерова Дж. А.

Акерова Джылдыс Абдрамановна / Akerova Dzhyldys Abdramanovna - старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, факультет математики, информатики и кибернетики,

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: исследована задача существования и единственности непрерывнодифференцируемого решения начально-краевой задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка. Доказательство существования и единственности решения интегро-дифференциального уравнения проводится с помощью метода последовательных приближений.

Abstract: the problem of existence and uniqueness of a continuously differentiable solution of the Cauchy initial-boundary value problem for the fourth order partial integral-differential equation have been researched. Proof of the existence and uniqueness of integro-differential equation solution is carried out by means of successive approximations method.

21

Ключевые слова: задача Коши, существование и единственность решения, интегро-дифференциальные уравнения в частных производных, преобразование Фурье, метод последовательных приближений, условие Липшица, последовательность.

Keywords: Cauchy problem, existence and uniqueness of solution, partial integral-differential equation, Fourier transform, successive approximations method, Lipschitz condition, sequence.

Введение. Большое количество работ посвящено исследованию интегро-дифференциальных уравнений, в том числе существованию и единственности решения и его устойчивости.

Ниже рассмотрена задача о существовании и единственности непрерывно -дифференцируемого решения начально-краевой задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка, доказательство существования и единственности решения проводится по схеме, как показано в работах [1] и [2].

I. Постановка задачи.

В настоящей работе рассматривается задача о существовании и единственности непрерывно-дифференцируемого до требуемого порядка решения задачи Коши вида

д_и±р__ а2 а у = (x_s) f ( t SiU( t s) ) ds ( t|X^eG, (i)

с начальными условиями

U ( 0 , x) = p (x) ; Ut ( 0 ,x) = p (x) , (2)

где - известные непрерывные функции.

Применяя для (1) преобразование Фурье по второму аргументу

U(t,co) = f

*/—с

1 Г

UM = 2ti

cU(t, x)dx,

JlxU(t,co)dco,

Получаем уравнение

p CO

Utt — a2co4U = K(co) j ff.s.Uf.s^ds

j — CO

U(и0 = elopK(p)dp. (3)

Решение уравнения (3) будем искать в виде:

U(t , со) = су ( t , со)ea°2t + с2( t, со)e~a02t, (4)

где и - новые неизвестные функции, подлежащие определению.

Берем в (4) производные дважды по t и, подставляя в (3), получим систему для нахождения , :

К(ш)

с 1 = ■

2 асо

с, = - -

К(со)

2 аш'*

I г“

I е1ШБ f(t,s, U(t,s))ds

j — СО

р со

I ell0S f(t,s,U(t,s))ds

J — СО

eft, ал) = eft, со) +

J 2^ 2 eai0>2v J eiajs f(v,s, U(v,s))dvds,

(t,co) = cft,co) — f ^ ^ eaaj2v f eiajs f(v,s, U(v,s))dvds. J ZUCO J-co

Теперь найденные значения с1 и с2 подставим в (4):

eft, co)eaoj2t + с°

U(t,co) = cft,co)eao)1 + eft, оо)е~аш 1 +

22

+/о “ 2(t_v) — е~а ш 2 (t ~v) )f (v’s’u (vs) )dvds • (5)

т. е. получили выражение для Фурье-образа (4). Применяя обратное преобразование Фурье, получаем интегральное уравнение, эквивалентное уравнению (1) с начальным условием (2).

1 Г°°

U(t,x) = (IU)(t,x) =— I е~1ШХ(с1(0, to)eao>2t + с2(0, to)e~aa>2t)dto +

2n:J-oo

*(<«)

ш.

+ — III e-i"(*-s)(e“<" (t-v) -е-™> (t_V))2^^(V'S'U(V'S))dvd<UdS- (6)

Проверим, действительно ли решение (6) есть решение уравнения (1) и (2). Для этого находим из уравнения (6) Utt и U хххх и подставляем в (1), получаем тождество. В самом деле:

и.

t

1 Г гг°°

+toJJLe'

О

1 г°°

t(t,x) = — J е~1ШХ (ato2)2 (c1eaoj2t + c2e~ao>2t)dto +

1 г г00

+ — е-г«»(*-®)2аш2 ^^^t<SjU(tjS))d(uds +

-to(x-s)(a(li2y^ea<oHt-v) _ g-aaj2(t-v)) Sj JJ(Vj s))dvdtods;

1 r°°

X(t,x) = — J a2 (~ito)4 e~L0>x (c1eaoj2t + c2e~ao>2t)dto +

+

r rr OO

— a2(-i<u)4e-i"(*-s)(e“"2(t-v) -e-“<"2(t-v))_L-i/(v,s,[/(v,s))dvd<uds

Z7T ,/ J J _co ACL(u

0

Сокращая подобные члены, получаем:

/'/’ОО /" оо

— II e~l°^x~s^K(to)f(t,s,U(t,s)')dtods = I К(х — s)f(t,s,U(t,s))ds.

JJ — оо ‘'—СО

/* оо Г °° 1 Г оо

| — e~LCO<'x~s^K(to)dtods = I К(х — s)f(t,s, U(t,s))ds.

т. к. Л- (x — s) = — e_ 1 " (x _ s) Л- (о ) d о, получаем тождество

/* OO /* ОО

| K(x — s)f(t,s,U(t,s))ds = I K(x — s)/(t,s,U(t,s))ds.

‘'—CO ‘'—CO

Подставляя (6) в (2), получим систему уравнений

c1 (0, ai) + c2 (0, to) = ф (to),

c± ( 0 ’O ) —c2( 0 ’O )=^T’ (7)

откуда однозначно определяются cx ( 0’ a ) и c2 (0’ a) .

Для доказательства существования и единственности

непрерывного решения уравнения (6)-(7) необходимо наложить ограничения: функция / ( t’ X’ U) - удовлетворяет условию Липщица по аргументу U:

\f(v,s,U1) -f(v,s,U2)\ < Nfy.s)^ - U21,

N (V’s) ds = N0 = cons t < oo . (8)

Доказательство существования и единственности решения интегрального уравнения (6) будем проводить с помощью метода последовательных приближений: за нулевое приближение возьмем .

Пусть

Un+1 = / U„, n = 0’ 1 Д ’. . .

23

Оценим эти приближения

Wn+l\ <

1 гс

2п J

е шх ( су

(О,o))ea"2t| + |c2(0,a))e a"2t|)dai +

+

s//£

\е 1ш(х s)|Qeaa)2(t v)| _ |g aui2(t v)|) ^ ^ ^ |/(v, 5, l/n(v, s))\dvdcods .

Находим оценки:

t

J 1^0^)I jc-ta)('x-s~)|Qcaa)2('t-v~)j _ |g-aw2(t-v)

0

И пусть

I К(a) | < 2 а(х>2е~ао>2т; | cx | < а<а4е_а"2т; | c2 | < аш4е~аш2т. (9)

Тогда получаем

Wn+l\ <

hit

0—ico(x—s) I Ipao)2(T—

(T t+v'j _|_ e аш (T+t v)^\f(yiS,Un)\dvdcods.

Пусть

CO =

|f (v,s,U)| < M(v,s) ,/_^M (v,s) ds < M0(v) < M = const; (10)

p о dp

; со = ; do = -----

л]а(Т — t + v л]а(Т — t + v yja(T — t + v

p ОЭ

; I e~p2dp = *spH,

‘■' — CO

тогда, получаем

I Un

t

<±f

~2nJ

M

*Jn *Jn

: + - | dv.

у/a(T — t + v) -yja(T + t — v)

Вычисляя интеграл, получаем:

| un+! | < Ц; p = VTTT- VT-7 < V22f,

|Wn+ll <

MVIr

Jn+1\ — I--- ■

\тта

Отсюда доказано, что все последовательные приближения не выходят из ограниченной области.

Далее докажем, что найденные последовательные приближения образуют сходящуюся последовательность, т. е. существует предел limn Un (t,x); для этого

достаточно доказать сходимость ряда

ип = и0 + {иг - и0) + (и2 - UJ + (и3-и2) + - + (Uj - Uj.h),

j = 1,2 ,. . ,,n.

Оценим абсолютные величины членов ряда

| Un | = | u0 | + | U± - U01 + |U2 - u±| + • • .+ |U - Uj_! I ,j = 1,2 n.

| U4-Uo

t _

W2-Ui\<^~l ff |е-^(ж-х)|(|еай,2С^| - |e-a"2(t-v)|)l|^i|/( v.s.Uj

Z7T J J J _co ACL(u

0

— /(v, s,U0)\ dvdcods.

На основании ранее полученных оценок для | Ux - U0 | и условия Липщица (8), получаем

t _

1

\и2-и1\ <

1 f лт tiz ( 1

2лJ

: + ■

yJ(T -t + v) yJ(T + t - v)

IUx - U0\dv <

< —jv 'Г* mp r1 ( 1

r/o(

: +

^ rfV =

N0Mp n _ N0Mp

( l \&.V _ 2jD— ’

2tt 0 Va VH J0 \1/(r=t+v) yj(T+t-v)J 2(V?fa)2 2\(yjna)

(11)

24

Также находим

|У3 - У21 < ^/о / |е-гш(*-5) |(|e“"2(t-v) I - \e-™2W |) -gg- \f(y, s, U2)

—f (у,s, U1)\dvdcods.

На основании ранее полученных оценок (11) и условия Липщица, получаем

\и3-и2\<

3\(fna)

Далее находим | U4 — U3 | < N°Mр „ ; и т. д. I 1/,- - U,_ х

A\(yjna)

Найденные значения, подставляя в (9), получаем

< nj0 1MPi

/ NqR \

| U, | <M\e^ — l j;j = 0, 1,2 ,. . .,n; N0,M = const; R = VTTt — VT—t < Vzf. Таким образом, нами доказана

Теорема: Пусть выполнены все выше наложенные условия (8), (9), (10). Тогда задача Коши (1) с начальными условиями (2) имеет единственное решение в виде (6)-(7).

Литература

1. Акерова Дж. А. Достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи Коши // Наука, техника и образование, (РФ), 2016. № 1 (19). - С. 34-39.

2. Акерова Дж. А. Достаточные условия разрешимости нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Наука, техника и образование, (РФ), 2016. № 1 (19). - С. 40-44.

3. Иманалиев Т. М. К теории нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных // Тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф. «Аналитические и экспериментальные методы математической физики и проблемы их преподавания». - Ош, 1994. - С. 46-47.

4. Иманалиев М. И., Панков П. С., Иманалиев Т. М. К теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа Картовега-де-Фриза. // Докл. АН России. - 1995. - Т. 342, № 1. - С. 17-19.

5. Иманалиев М. И., Панков П. С., Иманалиев Т. М. Метод дополнительного аргумента в теории нелинейных волновых уравнений в частных производных // ДАН. - 1995. Т. 343. № 5. - С. 17-19.

Интервальный метод для доказательства решений интегро-дифференциальных уравнений Акерова Дж. А.

Акерова Джылдыс Абдрамановна / Akerova Dzhyldys Abdramanovna - старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, факультет математики, информатики и кибернетики,

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: исследованы асимптотические свойства, в том числе устойчивость решений начальных задач для интегро-дифференциальных уравнений. Предложены способы получения содержательных достаточных условий на основе методов интервального анализа.

Abstract: the asymptotic properties, including solutions stability of the initial value problem for the integro-differential equations, have been investigated. The methods of obtaining meaningful sufficient conditions on the basis of the interval analysis methods have been offered.

25