CC BY
13
2. Синельников К. Д., Усатая С. Н. Влияние поверхностного слоя на магнитные свойства стали, Известия АГУ, сер. Ест. и Мед., т. 4. Баку: 1926. с. 177-187.
3. Лобановой З. Е., Курчатов И. В. Об электролизе при алюминиевом аноде, известия АГУ, сер. Ест. и Мед. т. 4. Баку:1926: т. 4, с. 121-134.
4. Курчатов И. В. К вопросу об электролизе твердого тела. Баку, Научные Известия Азерб. Политехнического Института. Выпуск 2, 1926.
5. Алфимов А. Г. Явления при прохождении тока через контакт ртуть-уголь. Баку, Научные Известия Азерб. Политехнического Института. Выпуск 1, 1925.
Достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи Коши Акерова Дж. А.
Акерова Джылдыс Абдрамановна / Акегоуа Dzhyldys АЬ^атапота - старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына (КНУ), г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: рассматривается задача о существовании и единственности непрерывно-дифференцируемого решения начально-краевой задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения в частных производных. Доказательство существования и единственности решения проводится с помощью метода последовательных приближений.
Ключевые слова: начально-краевая задача Коши, существование и единственность решения, интегро-дифференциальное уравнения в частных производных, метод последовательных приближений, условие Липшица.
Введение.
Основные результаты теории интегральных уравнений могут быть распространены на более общие функциональные уравнения.
В работе [7] с учетом [5] исследование проводились для интегральных уравнений первого и третьего рода. Для интегральных уравнений первого рода показано, что оно является корректным, в пространстве целых аналитических функций экспоненциального типа, т.е. доказаны существование и единственность решения и его устойчивость. Для интегрального уравнения третьего рода построен пример, показывающий что вырожденное уравнение имеет явление частичного поворота решения, согласно определения, приведенным в [5].
В настояшей работе рассмотрена начально-краевая задача Коши для интегро-дифференциального уравнения в частных производных. Доказаны существование и единственность непрерывно-дифференцируемого до требуемого порядка решения начально-краевой задачи Коши.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу (1)-(2):
р2тт Р^ТГ 1*1
—т - «2 ТГ = | К(х, (1)
и их J о
начальные условия
Г (0, х) = ф( х); Г (0, х) = ф( х); (2) Г (^,0) = Г (*,1) = 0;
где К(х, = (^1ппкх^1плк5) / к , /(г, и) - известные непрерывные
функции.
Решение ищем в виде
и (г, х) = Ск (г )Бтплкх (3)
Тогда берем производные дважды по г и четырежды по х и, подставляя в уравнение (1) получаем
К=1 Ск (г) + ЕГ=1*2 (як)4 Ск (г) = Я=1 -1-Ц/(г, и)Япяк*Ж
к
или
C"(t) + a2 (як)4C(t) = f: f (t,s,U)Sinnksds,к = 1,2,3,...да (4)
к2 0
Решение уравнения (4) ищем в виде
Ск (t) = z: (t)Cosa {жк)21 + z2 (t)Sina{n:k)21 (5) где z (t) и z2 (t) новые неизвестные функции, подлежащие определению. Берем в (5) производные дважды по t и, подставляя в (4) получаем систему для нахождения Zi , Z9 :
1 К 2 К
2
' (t) = - sm(af \ t • f0 sin TTksf(t, s, U(t, s))ds, аж к
z ' (t) = cos(a2k) t. f0 sin TTksf (t, s, U(t, s))ds, аж к
0 rt sin(ажk) v ,1
z1K (t) = z1k (0) - ío-^^ . Jo sin жksf(v, s, U(v, s))dsdv
К 0 ax к
2
z2K (t) = z2к°(0) + J0 sin(4 v . íOsinTf (v,s,U(v,s))dsdv.
ax к
Теперь найденные значения z , z^ подставим в (5)
1 К 2 К
0 2 0 2 Ск(t) = z: (0)cosa(T) t + z2 (0)sina(^) t +
[t • / 4f1 sin жksf (v, s,U (v, s)) + J0 sin a(жk )2 (t - v)J0- 24 dsd v (6)
ax к
Полученное С к (t) подставляем в (3), тогда получаем U(t,x) = sin жкх. z: 0(0)cosа(жк)21 + z2 0(0)sin a(жk)21 +
+ J0sinaT)2« - v)f0K(x,s^i^^^^dsdv.
(7)
Проверим, действительно ли решение (7) есть решение уравнения (1) и (2). Для этого находим из уравнения (7) и# и и, подставляем в (1)
<
2 4 0 2 0 2 I
Utt(t,x) = Zr=isinГa (пк) (Z1 (0)с^а(пк) t + Z2 (0)sinа(л^) t )l+
+ /JK(x,s) f(t,s,U(t,s))ds - Jt|1 K(x,s)X^=1а(лк)2 sina(nt)2(t - v)f (v,s,U(v,s))dsdv;
a2Uxxxx (t, x) = a2 (пк)4 Хк=1sin лкх' ft f1
) 2 0 2 (O)cosa(^k) t + z2 (0)sin a(nk) t
+
+ jo j0k(x, s)x"=1sin a(nk) (t - v)
f (v, s,U (v, s))
2, 2 an к
dsdv,
сокращая подобные члены, получаем
11К (х, л) (I, л, Г = К (х, л) / (г, л, Г (?, ,
тождество.
Теперь (7) вставим в (2) и получим систему уравнений
г (0, х)=х г
ЛСК (0)8тжкх = ХГ=1 ак 8тжкх
Ut (0, x) = ХГ=1 С'к (0)Sin^kx = Х£=1 Ьк Бтякх
где
>t\^j - Хк Ск (0) = ак, Ск (0) = ¿к. Тогда
X^i z1 (0)Sinnkx = a1 (t )Sinnkx
fzi (0) = aK
(8)
Хда=1 a(xk)2 z^ (0)Sinnkx = Хда=1 ¿1(t)Sinnkx [a(^k)2 z^ (0) = ¿к
Для доказательства существования и единственности решения интегрального уравнения (7) -(8) необходимо наложить ограничения: функция f (t, x, U(t, x)) удовлетворяет условию Липшица по аргументу U (t, x):
f(t, x, U ) - f(t, x, U0 )| < N(v, s)IU1 - U01, /1N(v, s)ds = N0 = const. (9)
Доказательство существования и единственности решения интегрального уравнения (7) - (8) будем проводить с помощью метода последовательных
приближений: за нулевое приближение возьмем U 0(t, x) = 0. Оценим первое
приближение
|U1(t,x)| <Xk=i|sinпк^ ' (z^°(0)cosа(пк)21
+ J0 J0l K (x, s)| Хк=1 sin a(n )2(t-v)
Ы
+
z
'(0)sin a(n )21)+
If (v, s,U 0)
~0{лкк2)
dsdv <
< Vю
< x к=1
+
+/0 /01 k (x, s) x «=^^/(yylS,Ujo)dsdv.
Пусть
кк! <^ I ¿к| <^ x^x^; I к(x,s) <x^<П-;
|f (v, s,U0| < M(v, s), /¿M(v, s)ds < M0(v) = M0 = const. Тогда получаем
\U1(t, x)| <
(10)
(a0 X^=1?2 + 02 Хк=1 , 2 к an к
(i^да 1 M0 ^rr, 1
+ J0 X к=1
?2 2 Хк=17Ydv.
к an к
z
l
к
К
x)| <
/ b0 n (ao
an 6
+ n.Ml<fa0+0<t<t.
6 an2 6
Оценим второе приближение U2(t,x) = Xo=i|sinnkX ■ (z^°(0) cosa(nk)2t
+ Í0 i0l K (x, s) Z^=iSin a(nk )2(t -v)
an2 6a J 6
(0) sin a(nk)2t) dsdv<
z2 к
+
f (v, s,Ui)|
+
< Lk=1
к +
a(nk )2
+í0 í0l к (x, s) z?=i
(nk2!
f (v, s,Ui)|
"a^ñk^J
dsdv.
Пусть имеет места оценки (10). Тогда получаем
U2 (t, x) <
a0 +■
+
MT 2
an
'0T 6a
n
—, 0 < t < T 6
и так далее находим третье, четвертое, ..., j -ое приближение
Uj (t, x)
<
an +\ + M0T1—, 0<t <T; j = 1,2,3,..oo.
6a J 6
0 ■ 2 v an
Отсюда доказано, что все последовательные приближения не выходят из ограниченной области.
Далее докажем, что найденные последовательные приближения образуют сходящуюся последовательность, т.е. существует предел lim jUj (t, x)| \ j ^ ДО для
этого достаточно доказать сходимость ряда
Uj = Uо + (Ui - Uо) + (U2 - U) + (U3 - U2) + • • • + (Uj - Ujj = 1,2,...до. Оценим абсолютные величины членов ряда
|Uj < |Uj + |Ui-Uo| + U2 - + U3-Uj+••• + |Uj - Uj_i|
j = 1,2,...o
(11)
Ui(t, x) - U0(t, x)| <
U2(t, x) - U1(t, x)| = = í0 í0| K (x, s)|sin a(nk )2(t-v) E0=1
a0 +■ 2 v an
+
__0_ 6a у
n 6
—-2 x | f (v, s, U1) - f (v, s,U0 ) dsdv.
a(nk )
На основании ранее полученных оценок (10) и условия Липшица (9), получаем
„2 „2ЛГ _2-и 2 (г, X) - и(г, х)| <£ я
' 2 x)- и1(^ x)| <í0n ^n—0 ■ IU1 - U0 ldv< 0 í0
6 6an 6 a
í0 U1 - u0 dv
U2(t, x) - U1(t, x)| <
Также находим
n2 N0T 62 a
U - U 0
\U3(t,x) - U2(t,x)| =
= j0 j0| K ( x, s) sin a(nk )2(t -v) £ ^."Ad f (v, s,U2) - f (v, s,U.)| dsdv
afk )
на основании ранее полученных оценок (10) и условия Липшица (9), получаем
U3(t, x) - U2(t, x) <J(
<
0 • U2 - u,i ^ j« ^ - U« dv<
7T2N0 Ж2NnT
___<jr
6 a 6 a
62a J« 62a U. - U«|j«Tdv.
U3(t, x) - U2(t, x)|
<
2!
Ж N«T v 62 a y
2
U. - U e
и так далее находим \Uj (t, x) - U,-.(
= 1« f«| K ( x, s) sin afk )2(t -v) E f (v, s,Uj-.) - f (v, s\. - 2)| dsdv,
a^ )
на основании ранее полученных оценок (10) и условия Липшица (9), получаем
2 2
U(',x) -Uj-.(>.x) <f«f•fN
<
<
1 ж N« ft (j - 2)! 62a
'2 „ f«
f '
Je
f ?
' ж N«T v 6 a y
2
V - 2
• \Uj _1 - Uj _ 21 dv<
\U. - U « |dv <
1 ж Nn
f 2^T Y - 2
ж N
(j - 2)! 62
a
v 62 a y
U. - U«IfT-2dv
<
V N«TV-1 v 62 a y
Найденные значения подставим в (11). Тогда получаем
Uj (t, x) - Uj _.(t, x)
(J -1)!
\U. - U«|.
Ж2 NT,
\u,\ < U, - U«\ + f N«T U - u«+-
\ J| U 1 « 62a 1 1 « 2!
(fNj}
v 62a y
\ - U«l +1
Ж2 N«T ^
v 62« y
U1 - U«|
+
1
+ — 4!
Гж2 N«T v 62 a y
\4
\U - Un I + • • • +-1—
\ 1 « (J -1)!
V N«TV-1 v 62 a y
U. - U«| <
1
2
3
< U - U0
. ж2 NpT 1
1 +-r-0-+ —
62 a 2!
^ж2 N0T
v у
1
+ — 3!
У N0^3
v 62a у
+-----+-
(j -1)!
V N0T^-1
v 62a у
<
< U1 - U o
j=0^ j j!
допустим -
j!
' ж2N0T ¿2
v 6 a y
1 2
ж2 N0T
v 62 a у 1
j
< —, тогда Vю--< 2,
j " 0 2 j
U,
<
2 • U - U0 < 2
a0 +■
v
ЙЖ
0
6a у
ж <ж 6 < 3
v
b m 0T Л
a0 + + 0
aж
6a
j
Ul < — | a0 + + — I ; j = 0,1,2,.. л; M = conrf. 3 v пж 6a J
j
Таким образом, нами доказана
ТЕОРЕМА. Пусть выполняются все вышеизложенные условия (9), (10). Тогда начально-краевая задача Коши (1) с начальными условиями (2) имеет единственное решение в виде (7) -(8).
Необходимые для получения более содержательных результатов из теоремы, мы предлагаем применять компьютер, согласно [5].
Литература
1. Байзаков А.Б. Методы преобразования решений в аналитической и асимптотической теории дифференциальных и интегральных уравнений //Автореферат дисс. д.ф.-м.н., специальность 01.01.02. - Бишкек, 2011. - 32 с.
2. Джураев Т.Д., Сопуев А.К. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: ФАН, 2000. -144с.
3. Иманалиев М.И., Панков П.С., Иманалиев Т.М. К теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа Картовега-де Фриза //Докл. АН России, 1995. -Т.342, №1.-С.17-19.
4. Иманалиев М., Байзаков А.Б., Айтбаев К. Разрешимость и структура решений задачи Коши одного класса интегро-дифференциальных уравнений четвертого порядка //Актуальные проблемы теории управления, топологии и операторных уравнений: Материалы 2-й международной конференции, посвященной 20-летию образования КРСУ им. первого президента РФ Б.Н. Ельцина и 100-летию профессора Я.В.Быкова. Том 2. - Бишкек, 2013. - С. 114-118.
5. Kenenbaeva G.M., Kasymova T.D. Computer Modeling of Phenomena in Dynamical Systems // Наука, техника и образование, (РФ), 12(18), (2015).-С. 7-10.
6. Кененбаева Г.М., Касымова Т.Дж., Аскар к.Л. Классификации применения компьютеров в математических исследованиях // Проблемы современной науки и образования (РФ), 1(43), (2015).-С. 23-30.
7. Кененбаева Г.М. Эффекты и явления в теории интегральных уравнений // Вестник науки и образования, (РФ), 13), (2016). - С. 9-13.
1
