О задаче Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с комплексными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5 (0.75)

Т.Р. Кыдыралиев

старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский национальный университет имени Жусупа Баласагына, г. Бишкек, Кыргызстан

О ЗАДАЧЕ КОШИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С КОМПЛЕКСНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Аннотация. Актуальность работы обусловлено необходимостью нахождения условий разрешимости задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с комплексными параметрами. Для доказательства существования и единственности дифференциальных уравнений часто применяются методы преобразования решений. Так, для доказательства разрешимости задачи Коши X = f(t,x), x(t0) = x0 исходное уравнение непосредственно преобразуется в интегральное уравнение Вольтера t

x(t) = x0 + Jf(s,x(s))ds к которой применяются топологические методы, в частности метод последовательных

to

приближений. Обзор литературы показал, что методы преобразования решений широко применяются в аналитической теории дифференциальных и интегральных уравнений. В данной работе исследованы разрешимости задачи Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и найдены структуры таких решений.

Ключевые слова: интегральное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, принцип сжатых отображений, условие Липшица, нелинейность.

T.R. Kydyraliev, Kyrgyz National University named after Jusup Balasagun, Bishkek, Kyrgyzstan

ON THE CAUCHY PROBLEM NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND ORDER PARTIAL

WITH COMPLEX PARAMETERS

Abstract. Relevance of the work due to the need of finding conditions for solvability of the Cauchy problem for nonlinear partial differential equations of second order with complex parameters.

To prove the existence and uniqueness of differential equations frequently used methods of transformation solutions. So, to prove the solvability of the Cauchy initial equation x' = f(t,x), x(t0) = x0 is directly converted into Volterra

t

integral equation x(t) = x0 + Jf(s, x(s))ds are to be applied topological methods, particularly the method of successive

t0

approximations. The literature review has shown that the methods of conversion solutions are widely used in the analytic theory of differential and integral equations.

In this paper we studied the Cauchy problem of nonlinear differential equations in partial derivatives and found the structure of such solutions.

Keywords: integral equation, partial differential equation of the second order, the principle of contraction mappings, Lipschitz condition, nonlinearity.

1. Введение

Обыкновенно задачи, приводящие к интегрированию уравнения в частных производных второго порядка, не требуют нахождения всех решений уравнения. Часто ищется только то решение, в котором искомая функция удовлетворяет некоторым, заранее поставленным условиям. Уравнения в частных производных становятся основным математическим аппаратом не только механики, но и новых областей физики - термодинамики, электродинамики, теории магнетизма. В теории дифференциальных уравнений в частных производных в это время находят новые идеи и методы, созданные в развитии всего математического анализа. В частности, появляются теоремы существования и единственности решений уравнений.

Исследование разрешимости задачи Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и нахождение структуры таких решений все еще остается актуальной задачей.

Академиком Иманалиевым М. и его учениками были заложены основы исследования разрешимости задачи Коши для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных [1-3]. Сутью этого метода является преобразование решений исходной задачи Коши к нахождению решений эквивалентного ей интегрального уравнения Вольтерра II рода, к которой применим принцип сжатых отображений. Позднее этот способ сведения к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра II рода назван методом преобразования решений в теории дифференциальных и интегральных уравнений [2]. Примечательно то, что одновременно находится и интегральное представление искомых решений задачи Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В настоящей работе изучена разрешимость и структура решений задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с комплексными параметрами.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

(ии + ихх + 2иху + иуу ) + а(и, + ¡(их + иу )) = / (X, х, у, и), (1)

где ¡ = V-1, с начальными условиями

и(0, х) = ^( х, у), (2)

(и,(0, х,у) + (их (0, х,у) + иу)(0, х, у)) = у(х,у). (3)

Обозначим

и, + (их + иу) ° г$, х, у). (4)

Дифференцируя обе стороны соотношения (4) по X имеем

ип + ¡(их( + иу() = г, (X, х, у).

Из (4) получаем

¡ (ихх + ¡ (ихх + иху)) = гх (X, х, у), ¡ (иу + ¡ (иХу + иуу)) = ¡гу (X, х, у).

Составим разность

- ¡(гх + гу) = и„ + ихх + иуу + 2иху. (5)

С учетом (4) и (5) уравнение (1) запишем в виде

г, - / (гх + гу) + аг = / (X, х, у,и). (6)

Решение уравнения (6) находится по формуле г(Х, х, у) = еау{ х + X, у + X) +

х (7)

+| е-а(Х-^(8, х + ¡(X - в), у + ¡(X - в),и(в, х + ¡(Х - 5), у + ¡(X - в))Св.

0

С учетом (4), (5), уравнение (1) запишем в виде

Решение уравнения (6) находится с учетом (7). В самом деле

г1 = -аеау + ¡еа [у + уу ] +/ (X, х, у, и(Х, х, у) -

-о[ еа-в)Г (в, х^, х, у), у (X, х, у), и^, х, у ))с(в + (8)

-в),

0

X

а-в)

+¡1 е-^-в )[(/х + Гу) + 1и (их + иу )]св

0

Далее

( = еау (х +№, у + №) +| в-а(г -) / + /иих ] ds, (9)

0

У

= еауу( х + //, у + Я) +1 е-а([/у + ^и, ] ds. (10)

0

Из (8)-(10) находим

- /(гх + гу) = -аеау(х + у + К) + /(У, х, у, и) -

г

-а| еах + /(У - s), у + / (У - s),u(s, х + /(У - s) + у + / (У - s)) ds.

0

Отсюда учитывая (7) получим

^ -/(2х + /у) + аг = /(У,х,у,и),

т.е. мы получаем уравнение (6).

Искомое решение начальной задачи (1)-(3) представим в виде

у

и(/,х,у) = р(х - №,у - а) +12 (р, х - /(/ -р),у + /'(/ - Г)) йр . (11)

0

Из (7) имеем

2 (р, х-/(У-р), у - /Ц-р)) = е ару( х - /у-р) + /р, у -р

-/'(/ - р) + /р) +1еах - / (/ - р) + /(р - s),у - / (/ - р) +

0

+ /(р - s), u(s, х - /(У - р) + /(р - s), у - /(У - р) + /(р - s)) ds = (12)

У

= еару(х - П + 2/р,у - П + 2/р) +1е-а(р-)/(s, х - П + 2/р - /в,у - П +

0

+2/р - ),u(s, х - У + 2/р - /э,у - ^ + 2/р - /s). Тогда, из (11), учитывая (12) имеем нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно и(У, х):

У

1+ [е""ш(х - л + 2/р, у - л + 2/ р) йр +

и(У, х, у) = <р(х - у - 'Л) +1е ару(х - У + 2/р,у - У + 2/р) йр

0

I р

+11 е^"-/(s, х - У + 2/р - /s, у - У + 2/р - ^и^, х - Л + 2/р - (13)

- '/s, у + У + 2/р - я))dsdр ° Ри. Из (13) находим частные производные

и, = -/[рх (х - /У,у - У) + ру (х - /У,у - У)] +

(

+е-а [у (х - У + 2У, у - У + 2П)] + (-/)| е^ар [ух (х - Н + 2/р, у - У + 2/р) +

0

У

+уу (х - У + 2/р, у - У + 2/р)]йр +1 еа/(s, х - У + 2А - к, (14)

0

у - У + 2У - /s,u(s, х - У + 2/У - /s, у - У + 2И - /s))ds -

! р

-'"//е а(р в) / + /у + /и (их + иу)] dsdр.

00

У р У

их =рх (х - /У, у - /У) + Л е-ар)[/х + /ии ] dsdр +1 ер ]dр, (15)

0 0 0

00

t р

uy =jy (x - it, y - it) + JJ e-al(p-s) f + fuuy ] dsdp + J e-j ]dp. (16)

Умножив (15) и (16) на i и сложив почленно с равенством (14) получаем

ut + i(ux + uy) = e ay(x + it,y + it) + Je a(t s)f(s,x + i(t - s),y

(17)

+/'(Х - 5),и(в,х + ¡(X - в),у + ¡(Х - в))сСв ° г(t, х,у). Очевидно, что начальное условие (3) выполняется, если в (17) положить X = 0 Теперь к оператору (13) будем применять принцип сжатых отображений. Допустим, что

Q = {u(t,x,y): u(t, x,y) e C(2'2'2)(G^ x C xC)n \\u\\ < h}.

Обозначим

j(x - it, y - it) + J e apy( x - it + 2ip, y - it + 2ip) dp

= q.

(18)

(19)

Определим постоянное T0,h из неравенства

q + MTo < h,

a

где M = max | f(s, x,y,u) |.

Тогда оператор Pu : Q ® Q . В самом деле, из (13) используя предположение (L) имеем

t р 1 t м

u < q + M if e-a(p-s ]dsdp = q + M— J e-ap{eap- 1)dp< q +—T0 < h.

0 0 ao a

Теперь покажем, что оператор Pu определенный равенством (13) является оператором

сжатия.

Pu1 - Pu2 <

t р

J J e-a(p-s) [f (s, x - it + 2ip - is, y - it + 2ip - is,

u1 (s, x - it + 2ip - is,y - it + 2ip - is)) - f (s, x - it + 2ip - is, y - it + +2ip - is, u2 (s, x - it + 2ip - is, y - it + 2ip - is))]dsdp <

t p T

< L||u1 - • J J e-a(p-s)dsdp< La\ |u1 - u2||.

00

a

Следовательно, в силу предположения (£) и принципа сжатых отображений нелинейное интегральное уравнение Вольтерра (13) имеет единственное решение

—(2,2,2)

и^,х,у) е С (вТо хСхС).

Рассмотрим теперь дифференциальные свойства решений начальной задачи (1)-(3) на множестве О. Из (11) используя предположение (11) и (19) имеем

||u(t, x, y)|| <

j(x - it, y - it) + J e ay(x - it + 2ip, y - it + 2ip)dp

t p

J J e-a(p-s) f (s, x - it + 2ip - is, y - it + 2ip - is,

u(s, x - it + 2ip- is, y - it + 2ip- is))dsdp| < q + M— = const.

a

Из (15) и (16) аналогично можно доказать равномерно ограниченность ux и uy. Тогда из (14) следует равномерная ограниченность ut. В силу предположения (L) из (11) также можно

0 0

0

0

0

00

+

0

+

00

показать равномерную ограниченность uxx, uyy, uxy, utt.

Очевидно, что из (11) при t = 0 следует (2), а из (14) учитывая (15), (16) получаем начальное условие (3).

ТЕОРЕМА. Пусть выполнено предположение (L). Тогда начальная задача (1)-(3) имеет решение

u(t, x,y) e C(2'2'2)(GTo x C x C),

которое имеет интегральное представление в виде (11).

3. Заключение

Найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и построены интегральные представления таких решений.

Список литературы:

1. Иманалиев М.И., Иманалиев Т.М., Какишов К. О задачах Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными шестого порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2007. - Вып. 36. - С. 19-28.

2. Иманалиев М.И., Байзаков А.Б. О разрешимости задачи Коши для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных // Поиск, сер. естеств.-техн. наук. - Алматы, 2009. - № 1. - С. 209-213. - Науч. прил. междунар. журн. «Высш. шк. Казахстана».

3. Байзаков А.Б., Айтбаев К.А. Разрешимость задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2009. - Вып. 41. - С. 13-20.

4. Imanaliev M.I., Baizakov A.B., Kydyraliev T.R. Sufficient conditions for the existense of solutions of the Cauchy problem of partial differential eguations of third order // Proceedings of V Congress of the Turkic World mathematicians. - Bishkek, 2014. - V.1. - P. 121-126.