Достаточные условия разрешимости нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Достаточные условия разрешимости нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных

четвертого порядка Акерова Дж. А.

Акерова Джылдыс Абдрамановна / Аквгоуа Dzhyldys АЬ^атапота - старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына (КНУ), г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: рассматривается задача существования и единственности непрерывно-дифференцируемого решения начально-краевой задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка. Найдены достаточные условия разрешимости этой задачи.

Ключевые слова: начально-краевая задача Коши, существование и единственность решения, интегро-дифференциальные уравнения в частных производных, метод последовательных приближений, условие Липшица, задача Коши, последовательность.

Введение.

Большое количество работ посвящено исследованию интегральных уравнений, в том числе существованию и единственности решения, и его устойчивости. Вместе с тем, как показывает обзор литературы и поиск в Интернете, ранее были получены некоторые результаты для интегральных уравнений первого и третьего рода [7] и для них исследованы некоторые явления и эффекты [6].

В [3] получена асимптотика решения в зависимости от параметра. В [4], подраздел 2.1, получены достаточные условия наличия оценки снизу для решения линейного ИДУ четвертого порядка типа Вольтера.

Ниже рассмотрена задача о существовании и единственности непрерывно -дифференцируемого решения начально-краевой задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка, доказательство существования и единственности решения проводится по схеме, как показано в [2].

Постановка задачи

Рассмотрим начально-краевую задачу вида дП д4П

^-дп = 11К (х, э,П(, (1)

д дх

с начальными условиями

П (0, х) = ф( х), (2)

где К (х, э) - известная функция, /(?, Э,П(?, э)) — известные непрерывные

функции в области Я .

Применяя для (1) преобразование Фурье, получаем уравнение

П (/, х) = ~тхП, (и

¿ж

ПтМ, х) = £(—*)4 е —П(и ¿ж

Тогда из уравнения (1) получаем

£ е,мхи( (г, х)Сх + Ц е-ихххх(г, х)Сх = £ е,м (с К(х, я)/(г, я,и(г, }ъ, и (г, м) + м4 и(г, м) = (х, я)сСх)/ (г, я, и (г, я))Ж,

и, (г, м) + м4 и (г, м) = К мХ / (г, я, и (г, я))Ж. (3)

Рассмотрим решение уравнения (3) в виде

и (г, м) + м4и(г, м) = о,

— 4

и (г, м) = с(м, г )е ~м0 . (4)

Теперь определяем общее решение уравнения (3), берем производную от и (', м) по t

--4 л 4

и, (г, м) = с'(м, г)е ~м' - с(м>, г)м4е ~м '. Подставляя в уравнение (3) получаем

4

с 'м ') = К {м)ем ' Ц / (', я,и (г, я))Ж, с м ') = С 0 (м,0) + % К (м)еМу £ / (у, я, и (у, я))СяСу.

Найденное значение с(м, ') подставляем в (4)

4 4,

-да г' --.....'

-».юJ

т.о. получили решение уравнения (4).

Проверим, действительно ли решение (5) есть решение уравнения (1) с начальным условием (2). Для этого находим из уравнения (5) и ,

и (', м) = -С 0 (м,0)м4е + К (м) / (', я, и (', - П м4 К (м)е -м4('-у) / (уV, я, и {у, я))с1*сУ подставляя в (3), получаем

- С0 (м,0)м4ем + ^ К (м) / (', я, и (', я))сСя - П .г м4 К (м)е-м,4('-у) /(у, я, и (у, я))ЖСу +

А ™ __ .....4,

и (', м) = С °(м,0)е ~м ' + ¡Хх\'0К (м)е ~м ('-у) / (у, я,и (у, я))ЖСу, (5)

+ С (м,0)м е-м ' +\ХХК(м)е (0-у) /(у, я,и (у, я))ЖСу = К(м)Х /(', я,и (', я))сСя,

П К (м)/(', я, и (', я))сЬ = К (м)П„ / (', я, и (', я))сЬ, т.е. получили тождество.

Теперь применяя обратное преобразование для (5), получаем решение для уравнения (1)-(2):

и (', х) = — С 0 (м,0)е -ме См +—Л^К {м)е-мс (0-у) / (у, з,и (у, я))СяСуСм(6)

Теперь проверим, действительно ли (6) является решением уравнения (1). Для этого находим из уравнения (6) и и и :

и, (0, х) = -—^ С 0 (м,0)м4 е-мхе ~ЛСм +—. К (м)е -мх / (0, я, и (0, -

^ .1-Х ^ ' ' ^ J ^х

1С*&К (м)м 4 е е/(у, я,и (у.,

2п

1 4

ихххх(0,х) = |_ххС^ ^,0)(-1м)Ае-мхе"м 'См +

2Ж

+ — IИ К (м)(-1м)4 е ~,мхе ~м4(0-у) / (у, я, и (у, я))сСясСусм. 2ж х

Подставляем в (1) и сокращая подобные, получаем

^ Л1ВДеэ,П(г, э))СэСм = ЦК (х, э)/(г, э,П(г, , ¿ж

так как -1е~™хК(м)См = К(х, э), получаем тождество.

Таким образом, найденное решение (6) является решением уравнения (1). Теперь (6) вставим в (2) и получим систему уравнений

1

—м40

П(0, х) —ЦС (м,0)е~'мхе" ¿ж

-1Ц С 0(м,0)е—мхСм = С к. ¿ж

См;

(7)

Для доказательства существования и единственности непрерывного решения интегрального уравнения (6) -(7) необходимо наложить ограничения на функцию П (г, х) и функция f (г, х, и (г, х)) удовлетворяет условию Липшица по аргументу и (г, х):

/(г, х, п1) — / (г, х, п1—1 )| < # (V, э)| П] — П]—1,

Доказательство существования и единственности решения интегрального уравнения (6) - (7) будем проводить с помощью метода последовательных приближений: за нулевое приближение возьмем ио(7, х) =0. Оценим первое приближение

Р1 (г, х)\ = -1 Г

¿ж

С (м,0)е^е -

дм +— и" гг

2ж 0

|П1 (г, х)| =± П|С 0(м,0)|| е-

|*С0

Г—СО

находим оценки

К(м)е-гмхе(г^

дм ЛССЮК (м)|| е—* ¿ж

/ (V, э, П0 (V, э)) сксЬс/м;

\/(V, э, П0 (V, э))| СэСуСм;

К (м) < С (м,0) <

, — м Т

(*)

4т

- м Т

Подставляя (*) получаем

Рх«, х) Г0 Ц—С

м4(Т+г—V)

/(V, я,0)|СэСгСи>. (8)

Пусть

\/(V,э,П0\ <М(V,э), ГС^М(V,э)Сэ <М0(v) <М = сопэг.

(9)

м =

р

41Т+г—V'

См =

Ср

41Т+г—V'

4 ¿ I—

ГСе~р Ср<—_хе~р Ср<-ж

и полученные значения подставляем в (8), получаем

П1 (г, х)\ < — £М . ^ СV <— м4ж\< 1 ¿ж 0 VТ + г—V ¿ж 10

введем обозначение и решаем интеграл

1

с <

м ю-

4Т + г—V ¿4^ 0 VТ + г—V

С,

4

оо

4

м г

е

е

е

1

1

T +1 — v = z

- 4 z dz = dv;

i

4rr+t ( 4 z3 dz)

4t

z

4(T +1 f - <4r;

=f+ 4 z2 dz = 4 [ - VF J< 44Т,

(10)

14 2

U (t, m ■ -Jr M4T

2yj к ° ° _

34KJ

\и1(0, х)\ м4т , Зу/ ж

т. е. мы нашли первое приближение. Теперь оценим второе приближение |и2 (', х)|

и 2(0, х^

применяя (*), получаем

и 2(', х)\ <10 ||-Х

2ж

далее применяя (9) и (10), получаем

iwx ^ — w t

Сu(w,0)e —iwe

dw +-1 iüLiS

2к

K (w)e —wxe

iwx — w (t—v

(t—v)

f (v, s, U (v, s)) dsdvdw

4

—w (T+t—v)

|f (v, s, Ul)| dsdvdw,

u

,(t,x] < f0М

2K

4ж

4jT+7—v

dv,

\u 2(t ,x)\ м4г,

3v ж

и так далее находим третье, четвертое, ..., n-ое приближение

\u,(t,x)| 0< t <T; j = 1,2,3,...n.

1 J 1 34Ж

Отсюда доказано, что все последовательные приближения не выходят из ограниченной области R: —да < x < да; 0 < t < T.

Далее докажем, что найденные последовательные приближения образуют сходящуюся последовательность, т. е. существует предел

lim|U (t,x)|, j = 0,1,2,3,...n, для этого достаточно доказать сходимость ряда

j^n J ' I'

U j = U 0 + (U ! — U o) + (U 2 — U,) + (U 3 — U 2) + ••• + (U j — U j—,), j = 0,1,2,... n .

Оценим абсолютные величины членов ряда ил < Uo\+ Ui — Uo\ + р2 — U\ + U — U2 + • • • + \Uj — Uj—i\, j = 0,1,2,...n (11)

U (t, x)—u0 (t, x) <-2=м4т ,

\U2 (t, x) — U (t, x)\ <2 i £ i0 K(w)\\e

з4К

\f (v, s, U2 (v, s)) — f (v, s,U (v, s))| dsdvdw •

На основании ранее полученных оценок (9) и (10), и условия Липшица, получаем \f(t, x,Uj ) - f(t, x,UJ_l)\ < N (v, s)\Uj - Uj^ С N (v, s)ds = N0 = const;

\U 2(t, x) - U1(t, x)\ <2 n 1 \U1 - U о \dv n\U1 - U 0|;

In 4 T +1 - v 2yl n 3

43

w (t—v)

e

\U2 (t, x) - \ (t, x)\ < 4TNо j|\ - Uo|.

Также находим U3 (t, x) - U2 (t, x) < -L J J-" (w)||e

|f (v, s, U3 (v, s)) - f (v, s, U2 (v, s))|dsdvdw ■

на основании ранее полученных оценок (10) и условия Липшица, получаем

U3(t, x) - U 2 (t, x)\ <J^ J£ Y —

w4(T+t-v)

\f (v, s,U2) - f (v, s,U1)|dsdvdw,

\U3(t,x) - U2(t,x)| < ^N04k- J0m 1 \U2 - U \dv;

2n 4 T +1 - v

p3(t,x) -U2(t,x)\ < 14TNo j \U1 -U0\

(г, х)—и—¿г, х)\ < ^{{"[V м\{в-*"^f (V, 8,и]—1(у, з)) — f (V, 8,и]—1(у, з))\ах^а™. На основании ранее полученных оценок (9), (10) и условия Липшица, получаем

\п] (г, х) — Пм(г, х)\ 4гN0 ^ р1 — п„|.

Найденные значения подставляем в (11). Тогда получаем

П | < р1 — П 01 + ^N0 — п 01 + ^ ^Т N 0 ^ р1 — П 01 +

+1 (01П — П 0\+1 (01П — П 0+•"+(7—1) (N 0) "П — П 0^;

N < U - и0

Zn

jj

(j- I.

Uj| < - U0

s

n

J=0-

допустим

3лЩ

VTNn

< 1 тогда s

00 j=0

< 2

з4к

1 f 2

v з4П

f i У „

м-Jr

Zn

jj

(j -1)! 13уЩ

-yfFN0

0|

j

J

-i

J!.

|U J < i- U - U0| < i—=m4T M4T ,

3V П 3-\l n

|u,| <-^MyfT, J = 0,1,2,...,n, M = const.

1 J| з4П

Таким образом, нами доказана

ТЕОРЕМА. Пусть выполняются все вышеизложенные условия (9), (10). Тогда задача Коши (1) с начальными условиями (2) имеет единственное решение в виде (6) - (7).

Литература

-w it-v)

-iwx

e

2

/

1. Акерова Дж.А. Задача Коши для нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Асимп., топол. и комп.

44

методы в математике: Труды Межд. научной конференции - Бишкек: 2001. Вестник КГНУ: Сер.3, Ест.-техн. науки. - Вып.6. стр. 283-287.

2. Акерова Дж.А. Достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи Коши // Наука, техника и образование, (РФ), 1 (19) (2016). - C. 34-39.

3. Иманалиев М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными. - Бишкек: Илим, 1992.

4. Иманалиев М.И., Иманалиев Т.М., Какишов К. О задачах Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными шестого порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2007. - Вып. 36. - С. 19-28.

5. Иманалиев М.И., Байзаков А.Б. О разрешимости задачи Коши для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Поиск, сер. ест.-техн. наук, №1, -Алматы, 2009. - С. 209-213. Научное приложение международ. журнала «Высшая школа Казахстана».

6. Kenenbaeva G.M., Kasymova T.D. Computer Modeling of Phenomena in Dynamical Systems //Наука, техника и образование, (РФ), 12(18), (2015). - С. 7-10.

7. Кененбаева Г.М. Эффекты и явления в теории интегральных уравнений // Вестник науки и образования, (РФ), №1 (13), (2016) - С. 9-13.

Бинарный алгоритм возведения в степень и его прикладное значение Приньков А. С.

Приньков Алексей Сергеевич /Prinkov Alexey Sergeevich - студент, кафедра прикладной математики, факультет автоматизации и информатики, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк

Аннотация: в статье анализируется эффективность бинарного алгоритма возведения в степень, и необходимость его применения на практике для экономии ресурсов и стабильной работы криптосистем. Выявлена обобщенность алгоритма и возможность его применения для различных алгебраических структур. Ключевые слова: бинарный алгоритм в схеме Эль-Гамаля, эффективность алгоритма, возведение в степень, математика криптографии.

Возведение в степень - бинарная операция, определенная как результат многократного выполнения операции над аргументом: аь = а. . а, где • -

V

ь

некоторая операция. Это определение справедливо для объектов и операций различной природы. Для удобства интерпретации и программной реализации, рассмотрим полную мультипликативную группу кольца вычетов.

Прежде всего, необходимо установить критерии эффективности алгоритма. Мы будем рассматривать быстродействие как меру эффективности [1].

t = С X к, где t - общее время работы, c - число операций, k - потребность во времени на одну операцию.

t = У с х г - формула для операций с разной потребностью времени.

^^^ I I

I

Сравним два алгоритма: по определению и бинарный. Если х = (хихи_г..х0) , то

для вычисления хь потребуется пь операций (умножение цифр каждой на каждую) [2]. Данный подход, очевидно является неэффективным. Сравнение по модулю следует производить по мере возведения, а именно Ь - раз.

45